ABSTRACT

It is proved that the four points of orthogonal 4-sphere, concave and convex, have their own concentricity and radii, and the three coordinates of their respective concentric coordinates are all the same. It is proved that with the change of the same dimension, the points of the 2 spherical centers and the Euler-line have the difference of common point, collinear, coplanar and common body. The figure shows that the Euler-line meets the line of 2 spherical centers approximately at the H point. According to the connection of 4 soap bubbles, the conjecture of 5 Lagrange-points is proposed.

Keywords:Volume Pythagorean Theorem, Orthogonal 4 Spheres, Eight Intersections of Sphere, Lagrange Point, Proof, Algorithm

正交4球面8交点2共球心与欧拉线关系 及L_n猜想

——四维体积勾股定理的应用(公式八)

蔡国伟

上海汇美房产有限公司，上海

收稿日期：2020年4月1日；录用日期：2020年4月21日；发布日期：2020年4月28日

摘 要

证明正交4球，球面内凹、外凸各4点有各自的共球心及半径，其各自球心坐标的3个分坐标代数值都相同，并得出2球心间距公式；且证明随相同维数的变化，2球心与欧拉线各点具有共点、共线、共面、共体的区别。图示欧拉线与2球心连线约交于H垂心点；根据4个肥皂泡相接，提出5个拉格朗日点的猜想。

关键词 :体积勾股定理，正交4球，球面8交点，拉格朗日点，证明，算法

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1. 引言

正交4球 [1] 8球面交点 [2] 为8原点，其中各4点内凹、外凸的2共球半径及其球心坐标的性质有哪些特征？以及2球心连线与欧拉线 [3] 的关系如何？自然界中可见哪些现象？

2. 证明正交4球球面内凹和外凸各4交点共球半径及其坐标

2.1. 设共球半径及其球心坐标符号

2.1.1. 正交4球球面内凹4交点坐标见文 [2]，其共球半径及球心符号为

设4个球面内凹交点 $A_{-},B_{-},C_{-},D_{-}$ 坐标见文 [2]，共球半径平方为 $r_{-}^2$，共球球心为 $O_{-}$。

2.1.2. 正交4球球面外凸4交点坐标见文 [2]，其共球半径及球心符号为

设4个球面外凸交点 $A_{+},B_{+},C_{+},D_{+}$ 坐标见文 [2]，共球半径平方为 $r_{+}^2$，共球球心为 $O_{+}$。

2.2. 计算证明正交4球球面内凹、外凸各4点2个共球半径及其球心坐标

根据文 [2] 得知，正交4球的球面构成内凹、外凸各4点3球面交点为8原点，其中可分内凹4点和外凸4点2组。计算证明2组各4原点共球和球心坐标如下：

2.2.1. 计算证明正交4球球面内凹4交点的共球半径及其球心坐标

证明正交4球面4内凹交点共球球心有相同的3个分坐标，且均为共球半径的 $\frac{1}{\sqrt{3}}$，即共球半径为各相同分坐标的 $\sqrt{3}$ 倍。即证明：

正交4球面4内凹交点共球半径为：

$r_{-}=\frac{\sqrt{3}abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}$ (1)

3个分坐标相同的共球球心坐标为：

$O_{-}\{\begin{array}{l}x=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ y=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ z=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\end{array}$ (2)

证明如下：

• 根据2点距离公式，球面内凹4原点A₋，B₋，C₋，D₋，与其共球球心O₋可联立方程组为：

$r_{-}^2=\{\begin{array}{l}{\left|O_{-}{A}_{-}\right|}^{\text{2}}={\left[x-\frac{-abc\left(abc+bcd+v\right)t}{d\left(v+bcd\right)}\right]}^2+{\left(y-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v+bcd}\right)}^2+{\left(z-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v+bcd}\right)}^2\\ {\left|O_{-}{B}_{-}\right|}^{\text{2}}={\left(x-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v+acd}\right)}^2+{\left[y-\frac{-abc\left(abc+acd+v\right)t}{d\left(v+acd\right)}\right]}^2+{\left(z-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v+acd}\right)}^2\\ {\left|O_{-}{C}_{-}\right|}^{\text{2}}={\left(x-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v+abd}\right)}^2+{\left(y-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v+abd}\right)}^2+{\left[z-\frac{-abc\left(abc+abd+v\right)t}{d\left(v+abd\right)}\right]}^2\\ {\left|O_{-}{D}_{-}\right|}^{\text{2}}={\left(x-0\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2+{\left(z-0\right)}^2\end{array}$

这里： $t=\frac{-d^2}{v+abc}$，$v=\sqrt{a^2{b}^2{c}^2+a^2{b}^2{d}^2+a^2{c}^2{d}^2+b^2{c}^2{d}^2}=6V_{ABCD}$ ；

• 用高斯消元法求得内凹4点共球心 $O_{-}\left(x,y,z\right)$ 坐标为：

$O_{-}\{\begin{array}{l}x=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ y=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ z=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\end{array}$

(注：上述3个分坐标代数值均相同)

• 将上述坐标代入联立公式任何一行，得内凹4点共球半径为：

$r_{-}=\frac{\sqrt{3}abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}$

公式(1)、公式(2)证毕。

2.2.2. 计算证明正交4球球面外凸4交点的共球半径及其球心坐标

证明正交4球面4外凸交点共球球心有相同的3个分坐标，且均为共球半径的 $\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1-\frac{2bcd}{abc+v}\right)$，其共球半径为各相同分坐标的 $\frac{\sqrt{3}\left(abc+v\right)}{abc-2bcd+v}$ 倍，且与内凹共球半径共轭，区别在分母正的体积元为负。即证明：

正交4球面4外凸交点共球半径为：

$r_{+}=\frac{\sqrt{3}abcd}{abc+abd+acd+bcd-v}$ (3)

3个分坐标相同的共球球心坐标为：

$O_{+}\{\begin{array}{l}x=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ y=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ z=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\end{array}$ (4)

证明如下：

• 根据2点距离公式，球面外凸4原点A₊，B₊，C₊，D₊与其共球球心O₊可联立方程组为：

$r_{+}^2=\{\begin{array}{l}{\left|O_{+}{A}_{+}\right|}^2={\left[x-\frac{abc(abc-bcd+v)t}{d(v-bcd)}\right]}^2+{\left(y-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v-bcd}\right)}^2+{\left(z-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v-bcd}\right)}^2\\ \left|O_{+}{B}_{+}\right|{}^2={\left(x-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v-acd}\right)}^2+{\left[y-\frac{abc(abc-acd+v)t}{d(v-acd)}\right]}^2+{\left(z-\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v-acd}\right)}^2\\ {\left|O_{+}{C}_{+}\right|}^2={\left(x-\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v-abd}\right)}^2+{\left(y-\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v-abd}\right)}^2+{\left[z-\frac{abc(abc-abd+v)t}{d(v-abd)}\right]}^2\\ {\left|O_{+}{D}_{+}\right|}^2={\left(x-\frac{-2a{b}^2{c}^{2}t}{v-abc}\right)}^2+{\left(y-\frac{-2a^{2}b{c}^{2}t}{v-abc}\right)}^2+{\left(z-\frac{-2a^2{b}^{2}ct}{v-abc}\right)}^2\end{array}$

这里： $t=\frac{-d^2}{v+abc}$，$v=\sqrt{a^2{b}^2{c}^2+a^2{b}^2{d}^2+a^2{c}^2{d}^2+b^2{c}^2{d}^2}=6V_{ABCD}$ ；

• 用高斯消元法求得外凸4点共球心 $O_{+}\left(x,y,z\right)$ 坐标为：

$O_{+}\{\begin{array}{l}x=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ y=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ z=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\end{array}$

(注：上述3个分坐标代数值均相同)

• 将上述坐标代入联立公式任何一行，得外凸4点共球半径为：

$r_{+}=\frac{\sqrt{3}abcd}{abc+abd+acd+bcd-v}$

公式(3)、公式(4)证毕。

2.2.3. 计算证明正交4球球面内凹、外凸共球球心间距

证明正交4球面内凹、外凸交点2共球球心间距为：

$O_{-}{O}_{+}=\left(1-\frac{2bcd}{v+abc}\right)r_{+}-r_{-}$ (5)

• 根据2点距离公式，因内凹、外凸2共球球心坐标均分别相同，其距离公式

${\left|O_{+}{O}_{-}\right|}^2=3{\left[\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}-\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\right]}^2$

• 两边开方为：

$\begin{array}{c}\left|O_{+}{O}_{-}\right|=\sqrt{3}\left[\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}-\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\right]\\ =\frac{\sqrt{3}abcd}{abc+abd+acd+bcd-v}\frac{v+abc-2bcd}{v+abc}-\frac{\sqrt{3}abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ =\left(1-\frac{2bcd}{v+abc}\right)r_{+}-r_{-}\end{array}$

公式(5)验证毕。

2.3. 证明正交4球球面内凹、外凸2共球心与欧拉线关系

2.3.1. 证明当4维相同，5点共点

当正交4球半径均相同时，内凹、外凸球面交点2共球球心 $O_{-},O_{+}$ 与 $H,G,O$ 欧拉线(欧拉线权取3点坐标见文 [3]，其余点作省略) 5点均共点。其坐标为位置：见图1。

$H\left(\frac{a}{6},\frac{a}{6},\frac{a}{6}\right)=G\left(\frac{a}{6},\frac{a}{6},\frac{a}{6}\right)=O\left(\frac{a}{6},\frac{a}{6},\frac{a}{6}\right)=O_{-}\left(\frac{a}{6},\frac{a}{6},\frac{a}{6}\right)=O_{+}\left(\frac{a}{6},\frac{a}{6},\frac{a}{6}\right)$ (6)

图1. 四维相同，5点共点图

公式(1)坐标共点验证如下：

当 $\left(a=b=c=d\right)$ 时：

$v=\sqrt{a^2{b}^2{c}^2+a^2{b}^2{d}^2+a^2{c}^2{d}^2+b^2{c}^2{d}^2}\Rightarrow v=2a^3$ ;

$t=\frac{-d^2}{v+abc}\Rightarrow t=\frac{-a^2}{2a^3+a^3}=\frac{-1}{3a}$

• 验算垂心H坐标：

$H\{\begin{array}{l}x=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}\Rightarrow H\{\begin{array}{l}x=\frac{-a^5}{2a^3}\left(\frac{-1}{3a}\right)=\frac{a}{6}\\ y=\frac{-a^5}{2a^3}\left(\frac{-1}{3a}\right)=\frac{a}{6}\\ z=\frac{-a^5}{2a^3}\left(\frac{-1}{3a}\right)=\frac{a}{6}\end{array}$

• 验算重心G坐标：

$G\{\begin{array}{l}x=\frac{a+bct}{4}\\ y=\frac{b+act}{4}\\ z=\frac{c+abt}{4}\end{array}\Rightarrow G\{\begin{array}{l}x=\frac{a+a^2\left(\frac{-1}{3a}\right)}{4}=\frac{a}{6}\\ y=\frac{a+a^2\left(\frac{-1}{3a}\right)}{4}=\frac{a}{6}\\ z=\frac{a+a^2\left(\frac{-1}{3a}\right)}{4}=\frac{a}{6}\end{array}$

• 验算外接球球心O坐标：

$O\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)\\ y=\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)\\ z=\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)\end{array}\Rightarrow O\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\left[a+a^2\left(\frac{-1}{3a}\right)\frac{2a^3+2a^3}{2a^3}\right]=\frac{a}{6}\\ y=\frac{1}{2}\left[a+a^2\left(\frac{-1}{3a}\right)\frac{2a^3+2a^3}{2a^3}\right]=\frac{a}{6}\\ z=\frac{1}{2}\left[a+a^2\left(\frac{-1}{3a}\right)\frac{2a^3+2a^3}{2a^3}\right]=\frac{a}{6}\end{array}$

• 验算内凹球面交点共球心 $O_{-}$ 坐标：

$O_{-}\{\begin{array}{l}x=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ y=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ z=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\end{array}\Rightarrow O_{-}\{\begin{array}{l}x=\frac{a^4}{4a^3+2a^3}=\frac{a}{6}\\ y=\frac{a^4}{4a^3+2a^3}=\frac{a}{6}\\ z=\frac{a^4}{4a^3+2a^3}=\frac{a}{6}\end{array}$

• 验算外凸球面交点共球心 $O_{+}$ 坐标：

$O_{+}\{\begin{array}{l}x=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ y=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ z=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\end{array}\Rightarrow O_{+}\{\begin{array}{l}x=\frac{a^4\left(2a^3+a^3-2a^3\right)}{\left(4a^3-2a^3\right)\left(2a^3+a^3\right)}=\frac{a}{6}\\ y=\frac{a^4\left(2a^3+a^3-2a^3\right)}{\left(4a^3-2a^3\right)\left(2a^3+a^3\right)}=\frac{a}{6}\\ z=\frac{a^4\left(2a^3+a^3-2a^3\right)}{\left(4a^3-2a^3\right)\left(2a^3+a^3\right)}=\frac{a}{6}\end{array}$

公式(6)验证毕。

2.3.2. 当3维相同，5点共垂线

当3维相同：正交4球球面内凹、外凸2共球球心 $O_{-},O_{+}$ 连线与 $H,G,O$ 欧拉线各点，5点共垂线(且该垂线过另一点球心)。见图2。

根据文 [2] 得知：垂线过球心 $D\left(bct,act,abt\right)$，也过原点 $D_{-}\left(0,0,0\right)$，根据2点式过D点垂线的直线坐标参数方程为：

$l_D\{\begin{array}{l}x=bct{t}_n\\ y=act{t}_n\\ z=abt{t}_n\end{array}$

这里： $t=\frac{-d^2}{v+abc}$，$v=\sqrt{a^2{b}^2{c}^2+a^2{b}^2{d}^2+a^2{c}^2{d}^2+b^2{c}^2{d}^2}$。

当 $\left(a=b=c\right)$ 时：根据2点式过D垂线的直线坐标参数方程为：

$l_D\{\begin{array}{l}x=a^{2}t{t}_n\\ y=a^{2}t{t}_n\\ z=a^{2}t{t}_n\end{array}=l_D\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\left(a-\sqrt{a^2+3d^2}\right)t_n\\ y=\frac{1}{3}\left(a-\sqrt{a^2+3d^2}\right)t_n\\ z=\frac{1}{3}\left(a-\sqrt{a^2+3d^2}\right)t_n\end{array}$ $\Rightarrow$ 即： $x=y=z=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_n$ (7)

这里： $v=a^2\sqrt{a^2+3d^2}$，$t=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3a^2}$，$a^{2}t=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}$ 以下同。

可见当3维相同时，该线每点的3个分坐标均相同，点的变化仅在于参数 $t_n$。

图2. 三维相同6点共线图

验证如下：

当 $\left(a=b=c\right)$ 时

• 验算垂心H坐标为：

$H\{\begin{array}{l}{x}_H=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y_H=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z_H=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}\Rightarrow H\{\begin{array}{l}\frac{a\left(-a+\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{3\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_H\\ \frac{a\left(-a+\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{3\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_H\\ \frac{a\left(-a+\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{3\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_H\end{array}$

解方程得参数： $t_H=\frac{-a}{\sqrt{a^2+3d^2}}$。

• 验算重心G坐标为：

$G\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{a+bct}{4}\\ y_G=\frac{b+act}{4}\\ z_G=\frac{c+abt}{4}\end{array}\Rightarrow G\{\begin{array}{l}\frac{4a-\sqrt{a^2+3d^2}}{12}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_G\\ \frac{4a-\sqrt{a^2+3d^2}}{12}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_G\\ \frac{4a-\sqrt{a^2+3d^2}}{12}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_G\end{array}$

解方程得参数： $t_G=\frac{d^2-a\left(a+\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{4d^2}=\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4d^2}-\frac{a\sqrt{a^2+3d^2}}{4d^2}$。

• 验算外接球球心O坐标为：

$O\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)\\ y_O=\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)\\ z_O=\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)\end{array}\Rightarrow O\{\begin{array}{l}\frac{a^2-3d^2+2a\sqrt{a^2+3d^2}}{6\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_O\\ \frac{a^2-3d^2+2a\sqrt{a^2+3d^2}}{6\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_O\\ \frac{a^2-3d^2+2a\sqrt{a^2+3d^2}}{6\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_O\end{array}$

解方程得参数： $t_O=\frac{-a\left(a^2+d^2\right)+\left(-a^2+d^2\right)\sqrt{a^2+3d^2}}{2d^2\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{1}{2}-\frac{a^2}{2d^2}-\frac{a}{2\sqrt{a^2+3d^2}}-\frac{a^3}{2d^2\sqrt{a^2+3d^2}}$。

• 验算内凹球面交点共球心 $O_{-}$ 坐标为：

$O_{-}\{\begin{array}{l}{x}_{O-}=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ y_{O-}=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ z_{O-}=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\end{array}\Rightarrow O_{-}\{\begin{array}{l}\frac{ad}{a+3d+\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_{O-}\\ \frac{ad}{a+3d+\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_{O-}\\ \frac{ad}{a+3d+\sqrt{a^2+3d^2}}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_{O-}\end{array}$

解方程得参数： $t_{O-}=\frac{a}{a-d-\sqrt{a^2+3d^2}}$。

• 验算外凸球面交点共球心 $O_{+}$ 坐标为：

$O_{+}\{\begin{array}{l}{x}_{O+}=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ y_{O+}=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ z_{O+}=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\end{array}\Rightarrow O_{+}\{\begin{array}{l}\frac{a\left(3a+d-\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{6\left(a+d\right)}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_{O+}\\ \frac{a\left(3a+d-\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{6\left(a+d\right)}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_{O+}\\ \frac{a\left(3a+d-\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{6\left(a+d\right)}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_{O+}\end{array}$

解方程得参数： $t_{O+}=\frac{a\left(-3a-d+\sqrt{a^2+3d^2}\right)}{2\left(a+d\right)\left(-a+\sqrt{a^2+3d^2}\right)}$。

• 验算正交球球心D坐标为：

$D\{\begin{array}{l}{x}_D=bct\\ y_D=act\\ z_D=abt\end{array}\Rightarrow D\{\begin{array}{l}\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_D\\ \frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_D\\ \frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}=\frac{a-\sqrt{a^2+3d^2}}{3}{t}_D\end{array}$

解方程得参数： $t_D=1$。

公式(7)证毕。

同理：当其余3组ABD，ACD，BCD半径相同时，上述5点坐标，且依次共线过球心C、B、A垂线(略)。

2.3.3. 当2维相同，5点共垂面

当2维相同：正交4球球面内凹、外凸2共球球心 $O_{-},O_{+}$ 线与 $H,G,O$ 欧拉线交于H，5点共垂直面。且该面垂直交同维长2球心连线中点、且过另2点球心间连线。见图3。

图3. 二维相同，7点共面图(上述为2个视点图)

例：

• 证明当 $\left(a=b\right)$ 2维相同， $O_{-},O_{+},H,G,O,C,D$ 7点中任意取C，D，H 3点的平面方程见文 [4] 为：

$0=\left|\begin{array}{ccc}x-0& y-0& z-c\\ act-0& act-0& a^{2}t-c\\ \frac{a^3{c}^2{d}^2}{a^{2}cv+v^2}-0& \frac{a^3{c}^2{d}^2}{a^{2}cv+v^2}-0& \frac{a^{4}c{d}^2}{a^{2}cv+v^2}-c\end{array}\right|=x-y$ (8)

当 $\left(a=b\right)$ 2维相同，欧拉线各点H，G，O与球面内凹、外凸2共球球心 $O_{-},O_{+}$ 连线约交于垂心H，上述5点共面，该共面垂直交于A，B 2球心连线中点，且与C、D 2球心连线共面。其平面方程 ${\Pi }_{CD}$ 见文 [4]：见图3。

当 $\left(a=b\right)$ 时： $v=a\sqrt{a^2{c}^2+a^2{d}^2+2c^2{d}^2}=a\sqrt{s_{ACD}^2+c^2{d}^2}$，$t=\frac{-d^2}{v+a^{2}c}=\frac{-d^2}{a\left(ac+\sqrt{a^2{c}^2+a^2{d}^2+2c^2{d}^2}\right)}$

$H\{\begin{array}{l}{x}_H=\frac{-a{b}^2{c}^{2}t}{v}\\ y_H=\frac{-a^{2}b{c}^{2}t}{v}\\ z_H=\frac{-a^2{b}^{2}ct}{v}\end{array}\Rightarrow H\{\begin{array}{l}{x}_H=\frac{a^3{c}^2{d}^2}{a^{2}cv+v^2}=\frac{a{c}^2{d}^2}{c^2{d}^2+cv+s_{ACD}^2}\\ y_H=\frac{a^3{c}^2{d}^2}{a^{2}cv+v^2}=\frac{a{c}^2{d}^2}{c^2{d}^2+cv+s_{ACD}^2}\\ z_H=\frac{a^{4}c{d}^2}{a^{2}cv+v^2}=\frac{a^{2}c{d}^2}{c^2{d}^2+cv+s_{ACD}^2}\end{array}$

$G\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{a+bct}{4}\\ y_G=\frac{b+act}{4}\\ z_G=\frac{c+abt}{4}\end{array}\Rightarrow G\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{a\left(a^{2}c-c{d}^2+v\right)}{4\left(a^{2}c+v\right)}\\ y_G=\frac{a\left(a^{2}c-c{d}^2+v\right)}{4\left(a^{2}c+v\right)}\\ z_G=\frac{a^2{c}^2-a^2{d}^2+cv}{4\left(a^{2}c+v\right)}\end{array}$

$O\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{1}{2}\left(a+bct\frac{v+2abc}{v}\right)\\ y_O=\frac{1}{2}\left(b+act\frac{v+2abc}{v}\right)\\ z_O=\frac{1}{2}\left(c+abt\frac{v+2abc}{v}\right)\end{array}\Rightarrow O\{\begin{array}{l}{x}_O=\frac{a\left(-2a^2{c}^2{d}^2+a^{2}cv-c{d}^{2}v+v^2\right)}{2v\left(a^{2}c+v\right)}\\ y_O=\frac{a\left(-2a^2{c}^2{d}^2+a^{2}cv-c{d}^{2}v+v^2\right)}{2v\left(a^{2}c+v\right)}\\ z_O=\frac{-2a^{4}c{d}^2+a^2\left(c^2-d^2\right)v+c{v}^2}{2v\left(a^{2}c+v\right)}\end{array}$

$O_{-}\{\begin{array}{l}{x}_{O-}=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ y_{O-}=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\\ z_{O-}=\frac{abcd}{abc+abd+acd+bcd+v}\end{array}\Rightarrow O_{-}\{\begin{array}{l}{x}_{O-}=\frac{a^{2}cd}{a^{2}c+a^{2}d+2acd+v}\\ y_{O-}=\frac{a^{2}cd}{a^{2}c+a^{2}d+2acd+v}\\ z_{O-}=\frac{a^{2}cd}{a^{2}c+a^{2}d+2acd+v}\end{array}$

$O_{+}\{\begin{array}{l}{x}_{O+}=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ y_{O+}=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\\ z_{O+}=\frac{abcd\left(v+abc-2bcd\right)}{\left(abc+abd+acd+bcd-v\right)\left(v+abc\right)}\end{array}\Rightarrow O_{+}\{\begin{array}{l}{x}_{O+}=\frac{a^{2}cd\left(a^{2}c-2acd+v\right)}{\left(a^{2}c+a^{2}d+2acd-v\right)\left(a^{2}c+v\right)}\\ y_{O+}=\frac{a^{2}cd\left(a^{2}c-2acd+v\right)}{\left(a^{2}c+a^{2}d+2acd-v\right)\left(a^{2}c+v\right)}\\ z_{O+}=\frac{a^{2}cd\left(a^{2}c-2acd+v\right)}{\left(a^{2}c+a^{2}d+2acd-v\right)\left(a^{2}c+v\right)}\end{array}$

$C\left(0,0,c\right)$

$D\left(bct,act,abt\right)\Rightarrow D\{\begin{array}{l}{x}_{O+}=\frac{a^{2}cd\left(a^{2}c-2acd+v\right)}{\left(a^{2}c+a^{2}d+2acd-v\right)\left(a^{2}c+v\right)}\\ y_{O+}=\frac{a^{2}cd\left(a^{2}c-2acd+v\right)}{\left(a^{2}c+a^{2}d+2acd-v\right)\left(a^{2}c+v\right)}\\ z_{O+}=\frac{a^{2}cd\left(a^{2}c-2acd+v\right)}{\left(a^{2}c+a^{2}d+2acd-v\right)\left(a^{2}c+v\right)}\end{array}$

$0=\left|\begin{array}{ccc}x-0& y-0& z-c\\ act-0& act-0& a^{2}t-c\\ \frac{a^3{c}^2{d}^2}{a^{2}cv+v^2}-0& \frac{a^3{c}^2{d}^2}{a^{2}cv+v^2}-0& \frac{a^{4}c{d}^2}{a^{2}cv+v^2}-c\end{array}\right|=x-y$

(这里取 $C,D,H3点$ )

将上述 $O_{-},O_{+},H,G,O,C,D$ 7点中任意3点的 ${\Pi }_{CD}$ 平面方程均为：

$0=x-y$

公式(8)证毕。

同理可证：(平面方程参见文 [4])

当 $a=c$ 则 $H,G,O,O_{-},O_{+},B,D$ 7点共面于 ${\Pi }_{BD}$ 平面，该平面⊥交于AC连线中点，平面方程为：

$0=x-z$ ;

当 $b=c$ 则 $H,G,O,O_{-},O_{+},A,D$ 7点共面于 ${\Pi }_{AD}$ 平面，该平面⊥交于BC连线中点，平面方程为：

$0=y-z$ ;

当 $a=d$ 则 $H,G,O,O_{-},O_{+},B,C$ 7点共面于 ${\Pi }_{BC}$ 平面，该平面⊥交于AD连线中点，平面方程为：

$0=\left(2bc+\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+2b^2{c}^2}\right)x+acy+abz-abc$ ;

当 $b=d$ 则 $H,G,O,O_{-},O_{+},A,C$ 7点共面于 ${\Pi }_{AC}$ 平面，该平面⊥交于BD连线中点，平面方程为：

$0=bcx+\left(2ac+\sqrt{a^2{b}^2+2a^2{c}^2+b^2{c}^2}\right)y+abz-abc$ ;

当 $c=d$ 则 $H,G,O,O_{-},O_{+},A,B$ 7点共面于 ${\Pi }_{AB}$ 平面，该平面⊥交于CD连线中点，平面方程为：

$0=bcx+acy+\left(2ab+\sqrt{2a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}\right)z-abc$ ;

• 共面的欧拉线 $H,G,O$ 与 $O_{-},O_{+}$ 连线约交于H点，计算证明交点不在H点：

根据 $G,O$ 2点式直线参数方程： $L_{GO}$

$L_{GO}=\{\begin{array}{l}x=x_G-\left(x_O-x_G\right)t_1\\ y=y_G-\left(y_O-y_G\right)t_1\\ z=z_G-\left(z_O-z_G\right)t_1\end{array}$ (9)