Advances in Applied Mathematics
Vol.
09
No.
06
(
2020
), Article ID:
36338
,
7
pages
10.12677/AAM.2020.96114
A Kind of Dynamic Opial-Type Inequalities on Time Scales
Guangyi Cheng, Zhengrong Li, Kai Zhou*
School of Big Data and Artificial Intelligence, Chizhou University, Chizhou Anhui
Received: Jun. 8th, 2020; accepted: Jun. 23rd, 2020; published: Jun. 30th, 2020
ABSTRACT
In this paper, by using the tools of Cauchy-Schwarz inequality and Keller’s chain rule on time scale, we obtain a class of Opial type inequality on time scale, and generalize the corresponding Opial type inequality in continuous and discrete cases.
Keywords:Time Scale, Opial-Type Inequality, Cauchy-Schwarz Inequality
一类时标上的Opial型不等式
程光一,李峥嵘,周恺*
池州学院大数据与人工智能学院,安徽 池州
收稿日期:2020年6月8日;录用日期:2020年6月23日;发布日期:2020年6月30日
摘 要
本文利用时标上的Cauchy-Schwarz不等式、Keller链式法则等工具,得到了一类时标上的Opial型不等式,推广了连续和离散情形下的相应Opial型不等式。
关键词 :时标,Opial型不等式,Cauchy-Schwarz不等式
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1960年,波兰数学家Opial [1] 证明了下面不等式
, (1)
其中 为区间 上的绝对连续函数,且 。由于其在微分方程、差分方程初边值问题研究中的重要性,许多学者给出了Opial不等式的各种推广及离散化的Opial不等式 [2] [3] [4],其中,Yang [5] 简化了(1)式的证明,并给出了推广的不等式
,
其中 、连续且满足 , 且为 上的有界非增函数;同时,Yang [5] 还给出了更一般的不等式
, (2)
其中 。关于离散形式的Opial不等式,Lasota [6] 也讨论了不等式
,
并给出了证明,其中 为一实数列满足 。
1988年,德国学者S. Hilger为了统一连续、离散情形的研究,在其博士论文中提出了时标的概念。此后,时标理论得到了快速发展,特别是M. Bohner和A. Peterson在文献 [7] [8] 中,系统分析了时标上一类非常重要的动力方程:时标上的动力方程。时标上的动力方程(系统)不仅可以统一连续和离散这两种特殊的情形,而且在其他学科中也有巨大的应用潜力,如量子力学等,是一个比较新的有着广泛应用前景的应用数学分支,其理论研究主要集中在边值问题、振动性、稳定性等方面。关于时标上的不等式研究,也有相关结果 [9] - [14]。
本文将研究Opial型不等式(2)在时标上的推广,其中在第二部分对时标的基本概念及基本理论作简要介绍,在第三部分中给出主要结果及其证明。
2. 预备知识
实数集 的任一非空闭子集称为时标,记为T。设时标T上的拓扑由 上的标准拓扑诱导,则有
下列定义:
定义1 [7]:设T为时标,对任意 ,定义 ,称 为前跳算子; ,称 为后跳算子。
在上面的定义中,称 (即如果t为时标T的最大值,则有 ),而 (即如果t为时标T的最小值,则有 ),其中 表示空集。
设 且 ,若 ,称点t是右发散(右稠密)的;若 ,称点t是左发散(右稠密)的。既右发散又左发散的点称为孤立点,既右稠密又左稠密的点称为稠密点。
如果T的左发散点有最大值 ,则定义 ,否则 。
时标T上的区间 定义为 。
定义2 [7]:定义前跳graininess函数 为
,对任意的 。
设 为时标T上的一实函数,则 定义为 ,即 为 的复合;同理, 定义为 ,即 。
对于时标T上的实函数f,下面给出f在点 时的 导数(Hilger导数)的定义。
定义3 [7]:若对任意的 ,存在t的邻域U,使得对任意 ,都有
成立,则称 为f在t的 导数(Hilger导数)。
关于 导数,下列性质成立。
引理1 [8]:设函数 在 处可微,则有:
1) 若 存在,则 ;
2) ;
3) ;
4) 若 ,则 。
定义4 [7]:函数 称为右稠连续的,如果f在T的右稠密点出连续,在左稠密点出左极限存在。
记T上的右稠连续函数为 。
定义5 [7]:对任意的 ,若满足 ,则称函数 为f的一个原函数,且定义 积分为
,。
关于 积分,有下面引理。
引理2 [8]:若 ,,,则有
1) ;
2) ;
3) ;
4) 若 ,,则 ;
5) 。
在后面的证明中,主要用到下面的时标上的Cauchy-Schwarz不等式。
引理3 [8]:设 ,,且满足 ,则对函数 ,有
成立。
3. 主要结果及证明
下面给出主要定理。
定理1:设T为任一时标, , 为 上的右稠连续函数,且满足 ,则
,。 (3)
证明:对任意的 ,定义 ,则有 。由于
,
对上式运用指标分别为 和q的Cauchy-Schwarz不等式,可以得到
。
注意到 是单调递增的,利用其单调性, ,。设 ,根据链式法则,有
,
注意到 ,
。
对上式两边同时进行积分,并由 ,得
,
由此可得
,
故(3)式得证。
定理2:设T为任一时标, ,, 为 上的右稠连续函数,且满足 ,则
,。 (4)
证明:对任意的 ,定义 ,易知 非减且。由于
,
对上式运用指标分别为 和q的Cauchy-Schwarz不等式,可以得到
。
进一步可得
。
由于
,,
注意到 为非减函数,可得
。 (5)
由(5)式,可计算得
,
故(4)式得证。
定理3:设T为任一时标, ,且 , 为 上的右稠连续函数,且满足 ,则
,。(6)
证明:因为
。 (7)
令 ,分别运用定理1、定理2结论可知,
,
,
将上面两不等式代入(5)式可得(6),定理得证。
基金项目
国家级大学生创新创业训练项目(201811306045),池州学院教学团队(2018XJXTD03)。
文章引用
程光一,李峥嵘,周 恺. 一类时标上的Opial型不等式
A Kind of Dynamic Opial-Type Inequalities on Time Scales[J]. 应用数学进展, 2020, 09(06): 965-971. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.96114
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NOTES
*通讯作者。