天津职业技术师范大学理学院，天津

收稿日期：2023年9月10日；录用日期：2023年10月12日；发布日期：2023年10月23日

摘要

本文讨论不变调和函数的梯度范数估计的最优系数 $C\left(x,l\right)$ 。根据不变Poisson核 $P\left(a,\eta \right)={\left(\frac{1-{\left|a\right|}^2}{{\left|\eta -a\right|}^2}\right)}^{n-1}$ 及Möbius变换，计算出常数 $C\left(x,l\right)$ 的具体表达式。

关键词

不变Poisson核，Möbius变换，梯度范数

An Estimate of the Gradient Norm of the Invariant Harmonic Function

Yuxin Yao

School of Science, Tianjin University of Technology and Education, Tianjin

Received: Sep. 10^th, 2023; accepted: Oct. 12^th, 2023; published: Oct. 23^rd, 2023

ABSTRACT

In this paper, we discuss the optimal coefficient $C\left(x,l\right)$ for the estimation of the gradient norm of the invariant harmonic function. According to the invariant Poisson kernel $P\left(a,\eta \right)={\left(\frac{1-{\left|a\right|}^2}{{\left|\eta -a\right|}^2}\right)}^{n-1}$ and Möbius transforms, the specific expression of the constant $C\left(x,l\right)$ is calculated.

Keywords:Invariant Poisson Nucleus, Möbius Transform, Gradient Norm

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

不变调和函数是拉普拉斯–贝尔特拉米方程 $u=0$ 的解，调和函数应用广泛，在数学、物理学以及随机过程理论中起重要作用。从1992年Kresin和Maz’ya对Khavinson猜想的提出开始，Dmitriy Khavinson得到了单位球 $B^3:=\left\{x\in {ℝ}^3:\left|x\right|<1\right\}$ 中的有界调和函数径向导数绝对值的一个最优点估计，并猜想：在 $B^3$ 中有界调和函数的梯度模量的较强的点估计中应该出现相同的系数。Gershon Kresin和Vladimir Maz’ya推测有界调和函数的梯度范数也有同样的估计，并提出有界调和函数的梯度模量的更强的不等式也是存在的，这一问题及其在半空间中的类似情况得到了更为一般的考虑。这类估计可用于与静电学以及理想流体的流体动力学、粘性不可压缩流体的弹性和流体动力学等有关的问题。这对研究在不变调和函数下的情况提供了便利。本文将先研究不变调和函数下的不变Poisson核及其梯度，然后通过不变Poisson核及Möbius变换探究函数为 $C\left(x,l\right)$ 的单位球的积分表达式。为之后探究不变调和函数下的Khavinson猜想做铺垫。

2. 基础知识

设B为欧式空间单位球，且 $\tilde{\Delta }$ 为B上的不变拉普拉斯算子。对于 $x,y\in B,x\ne y$ ， $\tilde{\Delta }$ 对应的格林函数 $G\left(x,y\right)$ 为 [1]

$G\left(x,y\right)=f\left(\left|{\phi }_y\left(x\right)\right|\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{\left|{\phi }_y\left(x\right)\right|}^1\frac{{\left(1-s^2\right)}^{n-2}}{s^{n-1}}\text{d}s}.$ (1)

例 当 $n=2$ 时， $\tilde{\Delta }f=\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\Delta f=0$ 的一般解为 $f\left(r\right)=\frac{1}{2}\log \frac{1}{r}$ ，即基本解为 $f\left(\left|x\right|\right)=-\frac{1}{2}\log \left|x\right|$ ，易知

$\frac{1}{2}\left(1-\left|x\right|\right)\le f\left(x\right)\le \frac{1-\left|x\right|}{2\left|x\right|}$ (2)

当 $n>2$ 时，估计 $f\left(r\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_r^1\frac{{\left(1-s^2\right)}^{n-2}}{s^{n-1}}\text{d}s}$ 中的积分，得到与x无关的正常数 $C_1$ 和 $C_2$ 使得对于所有的 $x\in B,x\ne 0$ ，有

$C_1\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}}{{\left|x\right|}^{n-2}}\le f\left(\left|x\right|\right)\le C_2\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}}{{\left|x\right|}^{n-2}}$ (3)

定义2.1令 $f\in C^2\left(B\right)$ ， $\tilde{\Delta }$ 可表示如下 [1] ：

$\tilde{\Delta }f\left(x\right)=\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left[\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\Delta f\left(x\right)+2\left(n-2\right)Rf\left(x\right)\right]$ , (4)

这里 $\Delta$ 是Laplace算子且 $Rf\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{x}_j\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(x\right)}$ 。

注：(4)也可以改写为

$\tilde{\Delta }f\left(x\right)={\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2\Delta f\left(x\right)+2\left(n-2\right)\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\langle x,\nabla f\left(x\right)\rangle$ (5)

定义2.2令 $f\in C^2\left(B\right)$ 。如果 $\tilde{\Delta }f\left(x\right)=0\left(x\in B\right)$ ，f就被称为B上的M-不变调和函数(简称为不变调和函数或双曲调和函数)。本性有界不变调和函数空间记为 $h^{\infty }$ 。

文献 [2] 给出B上的不变泊松核

$P\left(x,y\right)={\left(\frac{1-{\left|x\right|}^2}{{\left|y-x\right|}^2}\right)}^{n-1}$ (6)

经过基本但繁琐的计算可以证明，固定 $t\in S$ ，函数 $x\mapsto P\left(x,t\right)$ 在B上是M-不变调和的 [2] 。反之，一般拉普拉斯算子 $\Delta$ 在 $B\times S$ 上的Poisson核 $\mathcal{P}$ 由

$\mathcal{P}\left(x,t\right)=\frac{1-{\left|x\right|}^2}{{\left|x-t\right|}^n}\left(x,t\right)\in B\times S$ (7)

给出。

而 $C^n$ 中hermitian双曲球B上的不变拉普拉斯算子 $\tilde{\Delta }$ 的Poisson核 $\tilde{\mathcal{P}}$ 由

$\tilde{\mathcal{P}}\left(z,t\right)=\frac{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^n}{{\left|1-\langle z,t\rangle \right|}^{2n}}\left(z,t\right)\in B\times S$ (8)

给出。

定义2.3 Möbius变换与反演密切相关。一个形如 $f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}$ 的Möbius变换可以分解成四个变换：

1) $f_1\left(z\right)=z+\frac{d}{c}$ (按 $\frac{d}{c}$ 做平移变换)

2) $f_2\left(z\right)=\frac{1}{z}$ (关于单位圆做反演变换，然后关于实数轴做镜面反射)

3) $f_3\left(z\right)=\frac{-\left(ad-bc\right)}{c^2}\cdot z$ (做关于原点的位似变换，然后做旋转)

4) $f_4\left(z\right)=z+\frac{a}{c}$ (按 $\frac{a}{c}$ 做平移变换)

这四个变换的复合就是Möbius变换。

3. C(x, l)的表示公式

令 $n\ge 3$ 。若 $u\in h^{\infty }$ ，我们用 $C\left(x\right)$ 表示在 $x\in B^n$ 处满足

$\left|\nabla u\left(x\right)\right|\le C\left(x\right)\underset{y\in B^n}{\sup }\left|u\left(y\right)\right|$ (9)

的最小常数(不依赖于u)。对于每个 $l\in S^{n-1}$ 及 $x\in B^n$ ，用 $C\left(x,l\right)$ 表示在x处沿l方向满足

$\left|\langle \nabla u\left(x\right),l\rangle \right|\le C\left(x,l\right){\sup }_{y\in B^n}\left|u\left(y\right)\right|$ (10)

的最优常数(不依赖于u)。因为

$\left|\nabla u\left(x\right)\right|=\underset{l\in S^{n-1}}{\sup }\left|\langle \nabla u\left(x\right),l\rangle \right|$ (11)

我们有 $C\left(x\right)=\underset{l\in S^{n-1}}{\sup }C\left(x,l\right)$ 。

我们猜想一个类似于有界调和函数的结果 [3] [4] [5] 。当 $x\in B^n\backslash \left\{0\right\}$ 时，有

$C\left(x,\stackrel{\to }{n_x}\right)=C\left(x\right)$ (12)

这里 $\stackrel{\to }{n_x}$ 是方向 $\frac{x}{\left|x\right|}$ 。

类似于 [5] ，易证下面引理：

引理3.1任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，则有 $C\left(Ax;Al\right)=C\left(x;l\right)$ ，其中A是 $R^n$ 的正交变换。

下面给出 $C\left(x;l\right)$ 的积分表达式。

定理3.2任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，有

$C\left(x;l\right)=\frac{2-2n}{1-{\left|x\right|}^2}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \eta ,l\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}$ (13)

$\text{d}\delta$ 表示单位球 $\partial B^n$ 的归一化面积测度。

证明：设 $U\left(x\right)$ 为单位球 $B^n$ 上的有界M-不变调和函数，则几乎处处存在径向边界值：

$U^{*}\left(\zeta \right)={\lim }_{r\to 1^{-}}U\left(r\zeta \right),\zeta \in \partial B^n$ (14)

而且可以用 $U^{*}\left(\zeta \right)$ 的泊松公式表示 $U\left(x\right)$ ：

$U\left(x\right)=P\left[U^{*}\right]\left(l\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}P\left(l,\zeta \right)U^{*}\left(\zeta \right)\text{d}\delta \left(\zeta \right)}$ . (15)

注意到 $\tilde{\Delta }$ 的泊松核为

$P\left(y,\zeta \right)={\left(\frac{1-{\left|y\right|}^2}{1-2y\zeta +{\left|y\right|}^2}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1-{\left|y\right|}^2}{{\left|\zeta -y\right|}^2}\right)}^{n-1}$ (16)

经过Möbius变换计算得

$\nabla P\left(x,\zeta \right)=\frac{-2x\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-2}{\left|x-\zeta \right|}^2-2\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}\left(x-\zeta \right)}{{\left|x-\zeta \right|}^{2n}}$ (17)

因此任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，我们有

$\langle \nabla U\left(x\right),l\rangle ={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle U^{*}\left(\zeta \right)\text{d}\delta \left(\zeta \right)}={\text{Λ}}_l\left(U^{*}\right)$ , (18)

上面方程左边的 ${\text{Λ}}_l$ 表示 $U^{*}$ 的泛函。考虑 $L^{\infty }\left(B^n\right)$ 和 $L^{\infty }\left(\partial B^n\right)$ 上所有有界调和函数的空间之间通过泊松延拓等距同构， ${\text{Λ}}_l$ 也可以看作 $L^{\infty }\left(B^n\right)$ 上的有界线性泛函，且有

$\Vert {\text{Λ}}_l\Vert =C\left(x;l\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle \text{d}\delta \left(\zeta \right)}$ (19)

设 $T_x\left(y\right)$ 是B上的Möbius变换 [2] ：

$T_x\left(y\right)=\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(y-x\right)-{\left|y-x\right|}^{2}x}{{\left[y,x\right]}^2}$ , (20)

其中 $\left[y,x\right]=\left|y\right|\left|y^{*}-x\right|$ ， $y^{*}=\frac{y}{{\left|y\right|}^2}$ 。

映射 $T_x\left(y\right)$ 将单位球变换为它本身，当限制在单位球面上时，有如下形式：

$\begin{array}{c}{T}_x\left(\eta \right)=\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(\eta -x\right)-{\left|\eta -x\right|}^{2}x}{{\left[\eta ,x\right]}^2}\\ =\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(\eta -x\right)-{\left|\eta -x\right|}^{2}x}{{\left|\eta -x\right|}^2}\\ =\frac{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\left(\eta -x\right)}{{\left|\eta -x\right|}^2}-x\end{array}$

下面做变量替换： $\zeta =-T_x\left(\eta \right)$ 。

首先，将 $x-\zeta =\left(1-{\left|x\right|}^2\right)\frac{\eta -x}{{\left|\eta -x\right|}^2}$ ， $\left|x-\zeta \right|=\frac{1-{\left|x\right|}^2}{\left|\eta -x\right|}$ 代入到 $\nabla P\left(x,\zeta \right)$ 中去，

$\begin{array}{c}\nabla P\left(x,\zeta \right)=\frac{-2x\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-2}{\left|x-\zeta \right|}^2-2\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}\left(x-\zeta \right)}{{\left|x-\zeta \right|}^{2n}}\\ =\frac{-2x\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-2}\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^2}{{\left|\eta -x\right|}^2}-2\left(n-1\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}\frac{\eta -x}{{\left|\eta -x\right|}^2}\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}{\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{2n}}{{\left|\eta -x\right|}^{2n}}}\\ =\frac{\left[\left(2-2n\right)x{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n+\left(2-2n\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n\left(\eta -x\right)\right]{\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{2n}}\\ =\frac{\left(2-2n\right)\left[x+\eta -x\right]{\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n}\\ =\frac{\left(2-2n\right)\cdot \eta \cdot {\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^n}\end{array}$

由于

$\text{d}\delta \left(\zeta \right)=\frac{{\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{n-1}}{{\left|\eta -x\right|}^{2n-2}}\text{d}\delta \left(\eta \right)$ (21)

我们有

$\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle \text{d}\delta \left(\zeta \right)=\left(2-2n\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{-1}\langle \eta ,l\rangle \text{d}\delta \left(\eta \right)$ (22)

因此，

$\begin{array}{c}C\left(x;l\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \nabla P\left(x,\zeta \right),l\rangle \right|\text{d}\delta \left(\zeta \right)}\\ =\left(2-2n\right){\left(1-{\left|x\right|}^2\right)}^{-1}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \eta ,l\rangle \right|\text{d}\delta (\; \eta \; )}\end{array}$

定理3.3任给 $l\in \partial B^n$ 和 $x\in B^n$ ，有

$\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)=C$ (23)

证明： $\forall \stackrel{\to }{l}\in \partial B^n$ ，存在一个正交变换A，使得

$A\stackrel{\to }{l}=\stackrel{\to }{e_1},A\stackrel{\to }{e_1}=\stackrel{\to }{e_1}\cos \alpha +\stackrel{\to }{e_2}\sin \alpha ,\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ (24)

则有：

$\begin{array}{c}\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle A^{-1}\eta ,\stackrel{\to }{l}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \xi ,\stackrel{\to }{e_1}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_1\right|\text{d}\delta (\; \xi \; )}\end{array}$

利用球坐标：

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array},\phi \in \left[0,\pi \right],\theta \in \left[0,2\pi \right]$ (25)

得到，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_1\right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|r\cos \theta \sin \phi \right|\text{d}\theta }\\ =r{\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\sin \phi \text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|\cos \theta \right|\text{d}\theta }\\ =0\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_2\right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|r\sin \theta \sin \phi \right|\text{d}\theta }\\ =r{\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\sin \phi \text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|\sin \theta \right|\text{d}\theta }\\ =8r\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|{\xi }_3\right|\text{d}\delta \left(\xi \right)}={\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\left|r\cos \phi \right|\text{d}\theta }\\ =r{\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}\left|\cos \phi \right|\text{d}\phi }{\displaystyle {\int }_0^{2\text{π}}\text{d}\theta }\\ =4\pi r\end{array}$

则

$\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle A^{-1}\eta ,\stackrel{\to }{l}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}=C$ (26)

4. 结论

根据以上探究，总结得到：

$C\left(x;l\right)=\frac{2-2n}{1+\left|x\right|}{\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle \eta ,l\rangle \right|\text{d}\delta (\; \eta \; )}$

且

$\frac{1-{\rho }^2}{2-2n}C\left(\rho \stackrel{\to }{e_1},\stackrel{\to }{l}\right)={\displaystyle {\int }_{\partial B^n}\left|\langle A^{-1}\eta ,\stackrel{\to }{l}\rangle \right|\text{d}\delta \left(\eta \right)}=C$

即不变调和函数的Khavinson猜想的最优值为常数。为之后研究Khavinson猜想的结论、性质做铺垫。

文章引用

姚雨欣. 不变调和函数梯度范数的一个估计
An Estimate of the Gradient Norm of the Invariant Harmonic Function[J]. 理论数学, 2023, 13(10): 2916-2922. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1310298

参考文献