Advances in Applied Mathematics
Vol.
08
No.
05
(
2019
), Article ID:
30566
,
9
pages
10.12677/AAM.2019.85114
A New Grüss Type Inequality
Xiaoxue Cui*, Yongshun Liang, Wei Xiao
Institute of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing Jiangsu
Received: May 9th, 2019; accepted: May 24th, 2019; published: May 31st, 2019
ABSTRACT
Based on the application of fractal analysis, this paper discusses the Grüss type inequalities including the Riemann-Liouville fractional integral and obtains an improved result. In the end, this paper also proves that Theorem 2 of [1] and Theorem 9 of [2] are a special form of the conclusion of this paper.
Keywords:Grüss Inequality, Riemann-Liouville Fractional Integral, Fractional Integral
一个新的Grüss型不等式
崔晓雪*,梁永顺,肖伟
南京理工大学理学院,江苏 南京
收稿日期:2019年5月9日;录用日期:2019年5月24日;发布日期:2019年5月31日
摘 要
基于分形分析应用需要,本文讨论了Riemann-Liouville分数阶积分的Grüss型不等式,得到了一个改进的结果。文章最后还证明了 [1] 中的定理2和 [2] 中的定理9是本文所得结论的特殊形式。
关键词 :Grüss不等式,Riemann-Liouville分数阶积分,分数阶积分
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
积分不等式在研究积分与微分方程中起着非常重要的作用。本文讨论Grüss不等式。
1935年,G. Grüss [3] 提出了Grüss不等式:
命题1.1 [3] :设
和
是
上两个可积函数。若存在
,使得当
时,有
,则
(1.1)
Grüss不等式在1935年提出后备受关注。学者们基于经典Grüss不等式(即1.1式)建立了大量的Grüss型不等式,并将其应用于一些分析问题中。
1993年,Mitrinovic [4] 考察了Grüss不等式的离散形式以及行列式形式,并将其用于估计集合
(
表示区间
上的绝对连续函数)中元素的范数。1998年,Dragomir [5] 将经典Grüss不等式中的积分推广到加权积分,得到了一个Grüss型不等式。然后又讨论被积函数
和
是否满足Lipschitz条件和Hölder条件,从而给出一系列Grüss型不等式。1999年,Dragomir [6] 将Grüss不等式应用于内积空间,从而得到了一个新的Grüss型不等式。2002年,Dragomir [7] 将Grüss型不等式 [5] 中的加权积分推广为Riemann-Stieltjes积分,并讨论被积函数的各种情形,从而得到一系列新的Grüss型不等式。2010年,Moslehian [8] 将Grüss不等式推广到了线性算子空间。
Grüss不等式在发展初期,人们主要考虑在不同空间中的Grüss型不等式。而随着空间理论的成熟,人们开始将关注点转向Grüss不等式中积分(整数阶积分)的变化。例:1998年,Dragomir [5] 将经典Grüss不等式中的积分推广到加权积分;2002年,Dragomir [7] 将Grüss型不等式 [5] 中的加权积分推广为Riemann-Stieltjes积分等。随着积分理论的发展,一些学者开始考虑分数阶积分与不等式的结合,例 [9] [10] [11] 。Grüss不等式主要考虑与Riemann-Liouville分数阶积分结合。
2010年,Dahmani [12] 第一次将Riemann-Liouville分数阶积分与Grüss不等式结合在一起得到了分数阶积分不等式:
命题1.2:(见 [12] 的定理3.1)设
,
是
上两个可积函数。若存在常数
,使得
和
满足
。那么当
时,有
(1.2)
这里
是
的Riemann-Liouville分数阶积分(将在第二部分给出它的定义)。2016年,Erden [1] 建立一个新的分数阶积分,并得到一个与此积分有关的Grüss型不等式:
命题1.3:(见 [1] 的定理2)设
是
上的单调增函数并在
上有连续导函数
。若
和
是
上两个可积函数并且满足
那么当
时,有
(1.3)
这里
是
推广的Riemann-Liouville分数阶积分(将在第二部分给出其定义)。
在过去的几年中,人们只考虑Grüss型不等式中被积函数的限制条件是常数的情况。而近些年,人们开始关注其限制条件是可积函数的情形。2014年,Tariboon [2] 将 [12] 中被积函数
的四个常边界
用四个可积函数
取代,从而得到新的Grüss型不等式:
命题1.4:(见 [2] 的定理9)设
是
上两个可积函数。若
(C1) 在
上存在两个可积函数
且满足
(1.4)
(C2) 在
上存在两个可积函数
且满足
(1.5)
那么当
时,有
(1.6)
这里
(1.7)
从Grüss不等式的发展历程来看,我们可从两个方面来研究它。一方面,我们考虑在Grüss不等式中使用何种类型的分数阶积分。另一方面,考虑不等式中被积函数的限制条件。由于Rieamm-Liouville分数阶积分在分形分析和相关理论中有着广泛的应用,例 [13] [14] 。因此本文讨论有关推广的Riemann-Liouville分数阶积分
的Grüss型不等式。而从命题1.3和命题1.4中,我们又可以将被积函数的限制条件推广到函数的情形。以上就是本文研究的主要内容。
我们将在第二部分给出本文必要的定义及引理,在第三部分给出本文结论。最后可以看出本文结论是新的。并且本文结论可以用于无界函数(将在例子中展出)。
2. 定义和引理
定义2.1 [1] :设
,则
的
阶Riemann-Liouville分数阶积分是
(2.1)
这里
。
定义2.2 [1] :设
是
上的单调增函数并在
上有连续导函数
。若
是
上可积函数,则
的
阶推广的Riemann-Liouville分数阶积分是
(2.2)
这里
。
下面给出一个基本引理,以便后面的应用。
引理2.3:设
是
上的单调增函数并在
上有连续导函数
。若
是
上可积函数并满足条件(C1)。那么当
时,有
(2.3)
证:当
时,有
上式两边同乘以
并对等式两边关于x在
上积分,得到
再对上式两边同乘上
,并对y在
上积分就可以得到(2.3)。
3. 定理及证明
现给出有关推广的Riemann-Liouville分数阶积分
的Grüss型不等式。
定理3.1:设
是
上的单调增函数并在
上有连续导函数
。若
和
是
上两个可积函数并满足条件(C1)和(C2)。那么当
时,可以得到
(3.1)
这里
(3.2)
证:令
(3.3)
对上式两边同乘以
并分别对x和y在
上积分,有
(3.4)
现在将(3.3)式中的
代入(3.4)的左边,从而由Cauchy-Schwarz不等式,有
(3.5)
再将(3.4)式代入(3.5)有
(3.6)
因为
和
是两个在
上满足条件(C1)和(C2)的可积函数,
所以有
和
从而
且
因此由引理2.3,有
(3.7)
和
(3.8)
由(3.6),(3.7)和(3.8),(3.1)得证。
由下面给出的推论得到命题1.3和命题1.4是本文的一个特例。
推论3.2:若
且
,那么有
(3.9)
这里的推论3.2就是命题1.3。
推论3.3:若
(即
),那么有
(3.10)
这里的推论3.3就是命题1.4。
对于一个无界函数来说,无法用常数来限制其边界但是可以用两个函数来限制其边界。因而积分不等式(1.2)和(1.3)对于无界函数不成立,但在一定的条件下积分不等式(3.1)对于无界函数是成立的。
例3.3:设
是
上的单调增函数并在
上有连续导函数
。若
和
是
上两个可积函数并满足
和
。那么当
时,有
这里
和
4. 结论
本文主要是命题1.3和命题1.4的推广。从积分形式上看,本文是将命题1.4中的Riemann-Liouville分数阶积分
推广为Riemann-Liouville型分数阶积分
。而从被积函数的限制条件上看,本文是将命题1.3中被积函数的常数边界推广到函数边界的情形。
文章引用
崔晓雪,梁永顺,肖 伟. 一个新的Grüss型不等式
A New Grüss Type Inequality[J]. 应用数学进展, 2019, 08(05): 998-1006. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.85114
参考文献
- 1. Erden, S., Sarikaya, M.Z. and Budak, H. (2016) Grüss Type Inequalities for Generalized Fractional Integrals. AIP Conference Proceedings-American Institute of Physics, 1726, 1-5. https://doi.org/10.1063/1.4945887
- 2. Tariboon, J., Ntouyas, S.K. and Sudsutad, W. (2014) Some New Riemann-Liouville Fractional Integral Inequalities. International Journal of Matheatics and Mathematics Sciences, 2014, Article ID 869434.
https://doi.org/10.1155/2014/869434
- 3. Grüss, G. (1935) Über das maximum des absoluten Betrages von . Mathematische Zeitschrift, 39, 215-226. https://doi.org/10.1007/BF01201355
- 4. Mitrinovic, D.S., Pecaric, J.E. and Fink, A.M. (1993) Classical and New Inequalities in Analysis. Kluwer Academic, Netherland, 295-308. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1043-5
- 5. Dragomir, S.S. (1998) Some Integral Inequalities of Grüss Type. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 31, 397-416.
- 6. Dragomir, S.S. (1999) A Generalization of Grüss’s Inequality Inner Product Spaces and Applications. Journal Mathematical Analysis and Applications, 237, 74-82. https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6452
- 7. Dragomir, S.S. (2003) New Inequalities of Grüss Type for the Stieltjes Integral and Application.
arXiv:math/0303381v1 [math.CA] 30 Mar 2003
- 8. Moslehian, M.S. and Rajic, R. (2010) A Grüss Inequality for N-Positive Linear Maps. Linear Algebra and Applications, 433, 1555-1560. https://doi.org/10.1016/j.laa.2010.06.006
- 9. Anastassiou, G.A. (2004) Opial Type Inequalities Involving Frac-tiional Derivatives of Two Functions and Applications. Mathematical and Computer, 48, 1701-1731. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2003.08.013
- 10. Belarbi, S. and Dahmani, Z. (2009) On Some New Fractional Inequalities. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 10, Article ID 86.
- 11. Dahmani, Z. (2010) New Inequalities in Fractional Integral Inequalities. International Journal of Nonlinear Science, 9, 493-497.
- 12. Dahmani, Z., Tabharit, L. and Taf, S. (2010) New Generalisations of Grüss Inequality Using Riemann-Liouville Fractional Integrals. Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 2, 93-99.
- 13. Liang, Y.S. (2010) Box Dimensions of Riemann-Liouville Fractional Integrals of Continuous Functions of Bounded Variation. Nonlinear Analysis, 72, 4304-4306. https://doi.org/10.1016/j.na.2010.02.007
- 14. Liang, Y.S. and Su, W.Y. (2007) The Relationship between the Fractal Dimensions of a Type of Fractal Functions and the Order of Their Fractional Calculus. Chaos, Solitons & Fractals, 34, 682-689.
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2006.01.124