ABSTRACT

This paper which proceeds from the principle of superposition of velocity in Special Relativity has made a relationship between Stellar Velocity and its distance.

Keywords:Hubble’s Law, Stellar Velocity, Special Relativity

星体的速度与距离之关系

靳凯歌^*

江苏 徐州

收稿日期：2019年4月9日；录用日期：2019年4月28日；发布日期：2019年5月5日

摘 要

本文从狭义相对论的速度叠加原理出发，导出了星体速度随星体距离的变化关系。

关键词 :哈勃定律，星体速度，狭义相对论

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1. 哈勃定律的局限

遥远星系的光谱存在红移，在1930年前后，Hubble从已测定距离的十几个星系中发现，星系光谱的红移量z与星系的距离d有正比关系 [1] 。用今天的方式来写，它是：

$z=\frac{H}{C}r$ (1.1)

哈勃定律说明遥远星体正在退行，我们的宇宙在现阶段是膨胀的，是大爆炸理论的实验验证。

按狭义相对论，光频率ω与光源速度v的关系为

$\frac{\omega }{{\omega }_0}=\sqrt{\frac{1+V/c}{1-V/c}}$ (1.2)

在非相对论近似下 [1]

$z=\frac{\omega -{\omega }_0}{\omega }\approx \frac{V}{C}$ (1.3)

因此得到，星体退行速度V，与星体到观察者的距离(又称作光度距离) r的关系 [1] ：

$V=Hr$ (1.4)

H称作哈勃常数，其倒数具有时间的量纲，常常认为是宇宙的年龄，约为140亿年左右。

其实，当红移z不很小，它与距离的关系不是线性的，这一结果已得到实测的证实 [1] 。

由于哈勃定律的应用和星体红移对验证宇宙的状态有很大关系，宇宙参数是红移的函数 [2] ，所以哈勃定律适用范围非常重要。

但是，无论(1.1)或(1.4)，能否完全适用于更大尺度的距离，还有待验证。

2. 星体速度与距离的关系

虽然哈勃定律有局限，但各种观察测量，以及宇宙膨胀理论都认定以下事实，即星体速度与距离之间存在着函数关系：

$V=V\left(r\right)$ (2.1)

从这一事实出发，我们略去影响星体速度的其他因素，结合狭义相对论的速度叠加，找到速度与距离的比较理想的简单的可能的函数。

为此，假设某星体A，距离观察点o的距离为r，在r的延长线上存在一星体B，距离O点距离为r + dr。o点的观察者测到，A和B分别有向右的退行速度V(r)和V(r + dr)，如图1。

图1. 以o为观察点A距离为r，B距离为r + dr

星体A上的另一观察者，测得相距自己距离为dr′的星体B的速度为V(dr′)，如图2。

图2. 以A为观察点

由于是近距离(dr′是小量)，可以满足哈勃定律(1.4)：

$V\left(\text{d}{r}^{\prime }\right)=H\text{d}{r}^{\prime }$ (2.2)

在o看来，B的真实速度V(r + dr)是星体A的速度V(r)，与星体B相对A的速度V(dr′)的叠加。运用相对论速度叠加公式，就可以得到

$V\left(r+\text{d}r\right)=\frac{V\left(r\right)+V\left(\text{d}{r}^{\prime }\right)}{1+\frac{V\left(r\right)V\left(\text{d}{r}^{\prime }\right)}{C^2}}=\frac{V\left(r\right)+H\left(\text{d}{r}^{\prime }\right)}{1+\frac{V\left(r\right)H\left(\text{d}{r}^{\prime }\right)}{C^2}}$

由于dr′是微元，所以，上式V(r + dr)可以写成

$\begin{array}{l}V\left(r+\text{d}r\right)=\frac{V\left(r\right)+H\text{d}{r}^{\prime }}{1+\frac{V\left(r\right)H\text{d}{r}^{\prime }}{C^2}}\approx \left(V\left(r\right)+H\text{d}{r}^{\prime }\right)\left(1-\frac{V\left(r\right)H\text{d}{r}^{\prime }}{C^2}\right)\\ =V\left(r\right)+H\text{d}{r}^{\prime }-\frac{V{\left(r\right)}^{2}H\text{d}{r}^{\prime }}{C^2}-\frac{V\left(r\right)H^2{\left(\text{d}{r}^{\prime }\right)}^2}{C^2}\end{array}$

上式第四项为高阶小量，可以略去，把右边第一项移到左边，得

$V\left(r+\text{d}r\right)-V\left(r\right)=H\text{d}{r}^{\prime }-\frac{V{\left(r\right)}^{2}H\text{d}{r}^{\prime }}{C^2}=(1-\frac{V{\left(r\right)}^2}{C^2})H_0\text{d}{r}^{\prime }$ (2.3)

dr′与dr的关系满足

$\text{d}{r}^{\prime }=\gamma \text{d}r$ (2.4)

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{C^2}}}$

又，根据微分定义，

上两式代入(2.3)后，有

$\frac{\text{d}V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{C^2}}}=H\text{d}r$ (2.5)

根据(1.1)，有：r = 0时，V = 0，上式积分后，得

$V=C\sin \left(\frac{Hr}{C}\right)$ (2.6)

3. 结论与问题

3.1. 条件限制

1) 公式(2.6)的导出，隐含了宇宙是均匀的各向同性的宇宙学原理。在没有考虑宇宙在大尺度上的各向异性。

2) 假定了宇宙的近似平坦，这个假定与宇宙膨胀似乎不符，近似程度较难确定。

3.2. 公式的普适性

1) 近距离时，(2.6)可以回到哈勃定律。但近距离星体的本动有可能是决定性的，导致星体退行速度的测量值与公式可能有更大的偏差，不过，考虑到如果把哈勃定律适用的尺度作为距离的微元，有其合理的因素。

2) 当观察距离

$r1=\frac{\pi C}{2H_0}$ 时，

速度V达到最大值C。此时，距离r约为现在宇宙半径的1.57倍。这种宇宙视界的扩大，尚缺乏实验支持。

3) 当

$r2=\frac{\pi C}{H_0}$

速度为零，宇宙停止膨胀，此时宇宙“半径”约为现在的3.14倍。

致谢

感谢负责本稿的编辑和审稿的老师认真负责的指教和辛勤的工作。

文章引用

靳凯歌. 星体的速度与距离之关系
The Relationship of Velocity and Distance of Stars[J]. 现代物理, 2019, 09(03): 126-129. https://doi.org/10.12677/MP.2019.93015

参考文献