Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.03(2018), Article ID:24042,6
pages
10.12677/AAM.2018.73030
Algebraic Index of Eigenvalue of a Class of Hamilton Matrix
Yongxia Wu*, Deyu Wu*, Chunyuan Wang, Ruiting Dong, Yi Shen, Min Xiang
School of Mathematical Science, Inner Mongolia University, Hohhot Inner Mongolia
Received: Feb. 22nd, 2018; accepted: Mar. 7th, 2018; published: Mar. 14th, 2018
ABSTRACT
In this paper, the sufficient and necessary conditions of nonnegative Hamilton matrix are proved. Secondly, the problem of when the algebraic index of the eigenvalue of a class of Hamilton matrix is one is studied and the sufficient conditions are given.
Keywords:Hamilton Matrix, Eigenvalues, Eigenvectors, Algebraic Index
一类Hamilton矩阵特征值的代数指标
吴永霞*,吴德玉*,王媋瑗,董瑞婷,沈易,向民
内蒙古大学,数学科学学院,内蒙古 呼和浩特
收稿日期:2018年2月22日;录用日期:2018年3月7日;发布日期:2018年3月14日
摘 要
本文首先证明了非负Hamilton矩阵可逆的充分必要条件。其次研究了一类Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的问题,并给出了特征值的代数指标为1的充分条件。
关键词 :Hamilton矩阵,特征值,特征向量,代数指标
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1. 引言
英国数学家W. R. Hamilton根据光学与力学之间的深刻联系,对经典力学进行了创造性的研究得到了与Newton力学、Lagrange力学等价的又一种力学表述——Hamilton力学。Hamilton力学以其严谨、对称的数学框架成为经典力学史上的美妙理论,并最终成为量子力学等许多学科的理论基础。量子力学创始人薛定谔曾说“Hamilton原理已成为现代物理的基石,如果想要用现代理论解决任何物理问题,首先得把它表示成Hamilton形式” [1] 。Hamilton系统是Hamilton力学的数学表示,它在数学、物理和力学领域具有广泛应用。有限维线性Hamilton系统是Hamilton系统里最简单且最基本的形式,该系统对应的系数矩阵为如下形状的 矩阵:
其中 是Hermite矩阵, 是的共轭转置,此时称 为Hamilton矩阵。Hamilton矩阵的特征值问题以及可逆性问题在代数方程求解问题、控制论以及辛几何等领域有重要应用 [2] 。
据我们所知,矩阵特征值的代数重数与几何重数在研究矩阵若当标准型、对角化以及在可修复系统,向量型Sturm-Liouville问题,迁移理论等领域也具有重要应用。一般情况下,矩阵的代数重数与几何重数不一定相等。但是,当特征值的代数指标为1的时候,代数重数与几何重数相等,此时不存在广义特征向量。因此本文研究了Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的问题,给出了Hamilton矩阵特征值的代数指标何时为1的一些充分条件。
2. 预备知识
为了证明主要结论首先给出下列定义及引理。
定义1:设 为Hermite矩阵,如果对任意的 都有
则称 为Hermite正定矩阵(半正定矩阵) [3] 。
定义2:分块矩阵 ,则其中 是Hermite矩阵, 是 的共轭转置,此时称 为Hamilton矩阵。如果是Hermite半正定矩阵,则称 为非负Hamilton矩阵 [4] 。
定义3:设 ,使得
成立的最小的非负整数 称为 的代数指标,记为 ,其中
引理1:设 是复数域上的 的矩阵,如果对任意的 存在 使得,则 在 处的代数指标不超过 ,特别的,若 则 在 处的代数指标为1。
证明:假定 ,则存在 使得
即 。根据给定条件,存在 使得
两边取共轭转置得
这与 矛盾。从而 。
引理2: 是Hermite半正定矩阵,如果存在向量 使得 ,则 。
证明:是Hermite半正定矩阵,因此,存在矩阵 ,使得 ,即得
故
两边同乘矩阵 得
3. 主要结果及其证明
定理1:设 是非负Hamilton矩阵,则 可逆当且仅当
且 。
证明:必要性。当 可逆时,假设 ,则存在 使得
令 ,则有
这与 可逆矛盾,假设不成立。
同理可证 时与条件矛盾。由此可得 可逆时
且
充分性。假设矩阵 不可逆,则存在 ,使得
(3.1.1)
第一式两边与 作内积, 与第二式两边作内积后两式相加得
由于 是Hermite半正定矩阵,从而
由引理2可知
进而代入式(3.1.1)得
则得出
这与条件矛盾。结论证毕。
定理2:设 Hamilton矩阵,如果 是Hermite正定矩阵且 是Hermite矩阵,则对任意 有 。其中 表示 的特征值集合。
证明:对任意 ,考虑到
以及 是Hermite正定矩阵,有
由于 ,于是
且 。
当 时,取 ,则
其中 表示辛矩阵 , 是单位矩阵。此时有
由引理1可知, 。
当 时,取 ,则
并且
由引理1可知, 。结论证毕。
注:若把定理2的条件改成 是Hermite正定矩阵且 是Hermite矩阵,则同理可证定理2的结论仍成立。
定理2的条件是对 来说的,而 时定理2的结论不一定成立。下面给出具体例子说明这一点。
例1:令 是Hamilton矩阵,则 是Hermite正定矩阵且 是Hermite矩阵,满足定理2的条件。然而,经计算易得
并且
取 ,其中 是 维非零向量,则
但
从而得矩阵 的 的代数指标为2。
那么,当 是Hamilton矩阵 的特征值时,代数指标何时为1呢?下面的定理将回答这个问题。
定理3:设 Hamilton矩阵,如果 是可逆矩阵且Hermite矩阵 或 为正定矩阵时,当 是Hamilton矩阵的特征值时 。
证明:对任意 ,有
得
从而
并且
由引理1可知, 。结论证毕。
注:若把定理3的条件改成 是可逆矩阵且 或 为正定矩阵,则同理可证定理3的结论仍成立。
基金项目
内蒙古大学创新创业基金项目(批准号:201711204),国家自然科学基金(批准号:11561048)。
文章引用
吴永霞,吴德玉,王媋瑗,董瑞婷,沈 易,向 民. 一类Hamilton矩阵特征值的代数指标
Algebraic Index of Eigenvalue of a Class of Hamilton Matrix[J]. 应用数学进展, 2018, 07(03): 243-248. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.73030
参考文献
- 1. 冯康. 哈密尔顿系统的辛几何算法[M]. 杭州: 浙江科技出版社, 2003.
- 2. 吴德玉, 阿拉坦仓. 非负Hamilton算子的可逆性[J]. 数学年刊A辑(中文版), 2008, 29(5): 719-724.
- 3. 朱元国, 饶玲, 严涛, 张军, 李宝成. 矩阵分析与计算[M]. 北京: 国防工业出版社, 2010.
- 4. 吴德玉, 阿拉坦仓. 分块算子矩阵谱理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2013.