西南石油大学理学院，四川 成都

收稿日期：2023年6月16日；录用日期：2023年7月19日；发布日期：2023年7月26日

摘要

本文研究了单调混合变分不等式的解集性质。利用f投影算子我们知道一点是单调混合变分不等式的解当且仅当为f投影的不动点。结合这个结论我们得到了关于单调混合变分不等式解集的一些性质。

关键词

单调混合变分不等式，f投影算子

Properties of Solution Set for Monotonic Mixed Variational Inequalities

Qiongyuan Li

College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu Sichuan

Received: Jun. 16^th, 2023; accepted: Jul. 19^th, 2023; published: Jul. 26^th, 2023

ABSTRACT

This article investigates the properties of the solution set for monotonic mixed variational inequalities. Using the f-projection operator, we know that a point is a solution for monotonic mixed variational inequalities if and only if it is a fixed point for the f-projection. Based on this conclusion, we obtain some properties about the solution set for monotonic mixed variational inequalities.

Keywords:Monotonic Mixed Variational Inequality, f-Projection Operator

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

变分不等式已成为当今非线性分析的重要组成部分，也是最优化理论领域内研究的热点之一。其中单调混合变分不等式是一类非常重要的变分不等式。其在管理学、交通运输等方面都有很多的应用，具体可以参考 [1] [2] [3] [4] 。Wu和Huang [5] [6] [7] 在巴拿赫空间中引入了广义f投影算子。这种投影算子可以作为研究混合变分不等式的一个有效的工具。Lescarret [8] 和Browder [9] 结合众多应用考虑带有非线性项的混合变分不等式，混合变分不等式是一般的变分不等式的一个有用且重要的推广。本文主要研究在算子单调情况下的单调混合变分不等式的解的存在唯一性及其解集的性质。

2. 预备知识

定义1.1 H为一实希尔伯特空间，K为H上的一非空闭凸集， $f:K\to \left(-\infty ,+\infty \right]$ 为一真凸下半连续泛函， $T:H\to H$ 连续，寻找 $x\in K$ ，使得

$\langle Tx,y-x\rangle +f\left(y\right)-f\left(x\right)\ge 0$ $\forall y\in K$ .

其中 $T:H\to H$ 是单调，该变分不等式称为单调混合变分不等式。

定义1.2 映射 $G:H\times K\to \left(-\infty ,+\infty \right]$ 被定义为

$G\left(x,y\right)={\Vert x\Vert }^2+{\Vert y\Vert }^2-2\langle x,y\rangle +2\rho f(\; y\; )$

这里的 $\rho$ 为任意正实数， $f:K\to \left(-\infty ,+\infty \right]$ 为一真凸下半连续泛函，集值映射 $P_K^f:H\to 2^K$ 称为f投影算子，如果

$P_K^{f}x=\left\{u\in K:G\left(x,u\right)=\underset{y\in K}{\inf }G\left(x,y\right)\right\}$ .

容易得到对于任意的 $x\in H$ ， $G\left(x,y\right)$ 关于y是凸下半连续的。对于任意的 $y\in K$ ， $G\left(x,y\right)$ 关于x是连续的。

根据Wu和Huang [5] [6] [7] 在巴拿赫空间中引入的广义f投影算子的一些性质我们容易得到在希尔伯特空间中的f投影算子有如下性质

定理1.3 1) 对于任意的 $x\in H$ ， $P_K^{f}x\ne \varnothing$ 。

2) 对于任意的 $x\in H$ ， $P_K^{f}x$ 为闭凸集。

3) 对于任意的 $x\in H$ ， $x^{*}\in P_K^{f}x$ 当且仅当

$\langle x^{*}-x,y-x^{*}\rangle +\rho f\left(y\right)-\rho f\left(x^{*}\right)\ge 0$ $\forall y\in K$

4) f投影算子 $P_K^f$ 是单值的。

5) $P_K^f:H\to K$ 是连续的并且 $y_1\in P_K^f{x}_1$ ， $y_2\in P_K^f{x}_2$ 有 $\Vert y_2-y_1\Vert \le \Vert x_1-x_2\Vert$ 。

3. 主要内容

我们利用类似于研究单调变分不等式的方法得出了单调混合变分不等式的解集同样为凸集，在此之前我们先证明单调混合变分不等式问题等价于如下变分不等式问题。

定理2.1单调混合变分不等式问题等价于如下变分不等式问题寻找 $x\in H$ 使得

$\langle Ty,y-x\rangle +f\left(y\right)-f\left(x\right)\ge 0$ $\forall y\in K$

证明：由定理1.3易知该变分不等式和单调混合变分不等式的解一定在K上。若 $x\in K$ 为单调混合变分不等式的解，则有

$\langle Tx,y-x\rangle +f\left(y\right)-f\left(x\right)\ge 0$ $\forall y\in K$

由T单调，则有

$\langle Ty,y-x\rangle +f\left(y\right)-f\left(x\right)\ge \langle Tx,y-x\rangle +f\left(y\right)-f\left(x\right)\ge 0$

故而此时x为后面一个变分不等式的解。若 $x\in K$ 为后面一个变分不等式的解，则对于任意的 $z\in K$ 有

$tz+\left(1-t\right)x\in K$

此时有

$\begin{array}{c}0\le \langle T\left(tz+\left(1-t\right)x\right),t\left(z-x\right)\rangle +f\left(tz+\left(1-t\right)x\right)-f\left(x\right)\\ \le t\langle T\left(tz+\left(1-t\right)x\right),z-x\rangle +tf\left(z\right)-tf(\; x\; )\end{array}$

两边同时除以t我们可以得到

$0\le \langle T\left(tz+\left(1-t\right)x\right),z-x\rangle +f\left(z\right)-f(\; x\; )$

令 $t\to 0^{+}$ ，由T的连续性我们有

$0\le \langle Tx,z-x\rangle +f\left(z\right)-f(\; x\; )$

故而此时x为单调混合变分不等式的解。

我们利用上面的结论证明单调混合变分不等式解集为凸集。

定理2.2 若单调混合变分不等式解存在，则解集为凸集。

证明：由定理2.1我们只用证明如下集合为凸集。

$S=\left\{x\in H:\langle Ty,y-x\rangle +f\left(y\right)-f\left(x\right)\ge 0\right\}$

若对于任意的 $x_1,x_2\in S$ 及任意的 $t\in \left[0,1\right]$

$\begin{array}{l}\langle Ty,y-\left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right)\rangle +f\left(y\right)-f\left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right)\\ =t\langle Ty,y-x_1\rangle +\left(1-t\right)\langle Ty,y-x_2\rangle +f\left(y\right)-f\left(t{x}_1+\left(1-t\right)x_2\right)\\ \ge t\langle Ty,y-x_1\rangle +\left(1-t\right)\langle Ty,y-x_2\rangle +f\left(y\right)-tf\left(x_1\right)-\left(1-t\right)f\left(x_2\right)\\ =t\langle Ty,y-x_1\rangle +t\left(f\left(y\right)-f\left(x_1\right)\right)+\left(1-t\right)\langle Ty,y-x_2\rangle +\left(1-t\right)\left(f\left(y\right)-f\left(x_2\right)\right)\\ \ge 0\end{array}$

故而S为凸集，故而单调混合变分不等式的解集为凸集。

同样，类似于单调变分不等式，我们可以得出单调混合变分不等式当算子为严格单调时，若解存在，则解一定唯一。

定理2.3 若单调混合变分不等式的解存在，且T为严格单调的，则解唯一。

证明：若不然存在不相同的 $x_1,x_2$ 都为单调混合变分不等式的解。则对于任意的 $y\in K$ 有

$\langle T{x}_1,y-x_1\rangle +f\left(y\right)-f\left(x_1\right)\ge 0$

$\langle T{x}_2,y-x_2\rangle +f\left(y\right)-f\left(x_2\right)\ge 0$

第一个式子y取 $x_2$ ，第二个式子y取 $x_1$ 我们可以得到

$\langle T{x}_1,x_2-x_1\rangle +f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\ge 0$

$\langle T{x}_2,x_1-x_2\rangle +f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\ge 0$

两式相加有

$\langle T{x}_1-T{x}_2,x_2-x_1\rangle \ge 0$

由于T单调，故而有

$\langle T{x}_1-T{x}_2,x_1-x_2\rangle =0$

再由T严格单调可知 $x_1=x_2$ ，矛盾，故而单调混合变分不等式解唯一。

利用Banach压缩映像原理，我们可以得到如下单调混合变分不等式解的唯一性条件。

定理2.4 若单调混合变分不等式中，映射 $T:H\to H$ 是李普希兹的，李普希兹常数为L，且还为 $\alpha$ 强单调的，泛函 $f:K\to \left(-\infty ,+\infty \right]$ 是真凸下半连续的。则当 $k<1$ 时，MMVI有解且解唯一。其中 $k=\sqrt{1+{\rho }^2{L}^2-2\alpha \rho }$

证明：由定理1.3单调混合变分不等式有解意味着 $P_K^f\left(I-\rho T\right)$ 存在不动点。

对于任意的 $x_1,x_2\in H$ 。并且可知 $P_K^f\left(I-\rho T\right)$ 为非空的且为单值的。可得

$\begin{array}{l}{\Vert P_K^f\left(x_1-\rho T{x}_1\right)-P_K^f\left(x_2-\rho T{x}_2\right)\Vert }^2\le {\Vert x_1-x_2+\rho T{x}_2-\rho T{x}_1\Vert }^2\\ =\langle x_1-x_2+\rho T{x}_2-\rho T{x}_1,x_1-x_2+\rho T{x}_2-\rho T{x}_1\rangle \\ ={\Vert x_1-x_2\Vert }^2+{\rho }^2{\Vert T{x}_1-T{x}_2\Vert }^2-2\rho \langle x_1-x_2，T{x}_1-T{x}_2\rangle \\ \le {\Vert x_1-x_2\Vert }^2+{\rho }^2{L}^2{\Vert x_1-x_2\Vert }^2-2\alpha \rho {\Vert x_1-x_2\Vert }^2\\ =\left(1+{\rho }^2{L}^2-2\alpha \rho \right){\Vert x_1-x_2\Vert }^2\end{array}$

我们可以得到

$\Vert P_K^f\left(x_1-\rho T{x}_1\right)-P_K^f\left(x_2-\rho T{x}_2\right)\Vert \le k\Vert x_1-x_2\Vert$

由巴拿赫压缩映像原理可知映射 $P_K^f\left(I-\rho T\right)$ 不动点存在且唯一，故而单调混合变分不等式有解且唯一。

巴拿赫压缩映像原理说明存在唯一性的好处在于，由此我们可以直接得到一种计算变分不等式解的算法。

算法2.1给定 $x_0\in H$ ，迭代序列由 $x_{n+1}=P_K^f\left(x_n-{\rho }_{n}T{x}_n\right)$ 产生。

文章引用

黎穷远. 单调混合变分不等式解集性质
Properties of Solution Set for Monotonic Mixed Variational Inequalities[J]. 理论数学, 2023, 13(07): 2093-2097. https://doi.org/10.12677/PM.2023.137215

参考文献