ABSTRACT

The effect of the axial force has a great influence on the stiffness of the system, because the bending of the bar and the axial force will increase the additional bending moment and increase the geometric stiffness of the structure, the calculation is very complicated after introducing the geometric stiffness.

Keywords:Axial Force, Natural Frequency, Arch Truss, Simplified Calculation

考虑轴向力作用结构自振频率的简化计算

曹梦增，李斌

内蒙古科技大学土木工程学院，内蒙古 包头

收稿日期：2019年4月24日；录用日期：2019年5月9日；发布日期：2019年5月16日

摘 要

轴向力的作用对体系的刚度会产生较大的影响，由于杆件的弯曲，轴力作用会增加附加弯矩，增加了结构的几何刚度，引入几何刚度后计算颇为复杂。本文利用拱桁架辅助体，引入合理拱轴概念，对轴力作用下的自振频率进行了简化，方法简单适用且精度较高。

关键词 :轴向力，自振频率，拱桁架，简化计算

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1. 引言

自振频率是结构的重要动力之一，在结构动力分析中占有重要的地位，与之而来的也有各种各样的计算方法。

本文仅以简支梁为研究对象，在原来偏微分求解结构自振频率的基础上，利用一些近似方法求解自振频率，以及通过自振频率控制轴力的取值。本文利用拱桁架辅助体，引入合理拱轴概念，对轴力作用下的自振频率进行了简化，是一种具有创新性的解决办法。此研究方法可以为一些实际工程提供一些参考。

2. 简化模型

2.1. 简化模型I

现以跨度为l的简支梁为例，规定轴力受压为正，受拉为负，如图1所示。为了简便计算，将直杆转化成桁架体系 [1] ，如图2所示。在结构承受范围内，将直杆分成节点过多的桁架，产生的弯曲效果和原直杆效果相差无几。为了便于观察，将原图形进行翻转，以直线替代曲线，并对其桁架的每一个节点进行编号。假设杆件以顺时针方向转到x轴的角度为正值，反之为负，如图3所示。

图1. 简支梁简图

图2. 简支梁桁架体系简图

图3. 变形后简图

首先选取结点0，如图4所示，由 ${\displaystyle \sum F_X}=0$ 可知 $N_{01}=-N/\cos {\alpha }_0$ ，再取结点1进行分析，如图5所示。

图4. 结点0

图5. 结点1

由 ${\displaystyle \sum F_y}=0和{\displaystyle \sum F_X}=0$ 得：

$N_{01}\sin {\alpha }_0+f_{G1}-N_{12}\sin {\alpha }_1=0$ ， $N_{12}\cos {\alpha }_1-N_{01}\cos {\alpha }_0=0$

化简整理为

$-\frac{N}{\cos {\alpha }_0}\sin {\alpha }_0+f_{G1}-\left(-\frac{N}{\cos {\alpha }_1}\right)\sin {\alpha }_1=0$ ， $f_{G1}=N\left(\tan {\alpha }_0-\tan {\alpha }_1\right)$

当α角度很小时， $\tan \alpha \approx \alpha$

$f_{G1}=N\left({\alpha }_0-{\alpha }_1\right)$ (1)

利用公式(1)求解自振频率，关键是确定结构的第一振型Y(x)，只要确定第一振型Y(x)后，则可确定α_i从而轴力的作用转化为竖向力的作用，如图6所示。该简图是无限自由度体系，有竖向作用力下自振频率计算问题，如用集中质量原理把均布质量集中在位移最大l/2处，因此 $m_z=\bar{m}l/2$ ，计算简图如图7所示。

图6. 竖向力作用下计算简图

图7. 集中质量下计算简图

利用柔度法建立运动方程

$y\left(x\right)=-m_z\ddot{y}\left(x\right){\delta }_{11}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{Gi}{\delta }_{1i}}$ (2)

化简得出自振频率

$\omega =\sqrt{\frac{1}{m_z}\left(\frac{1}{{\delta }_{11}}+\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{Gi}{\delta }_{1i}}}{Y\left(t\right){\delta }_{11}}\right)}$ (3)

2.2. 简化模型II

由桁架模型可看出折线桁架杆轴如拱在轴向力和竖向力下维持平衡，由图8可见。假设第一振型是抛物线，拱的弯矩全为零可以视为合理拱轴，维持体系平衡的作用力是均布力q，由图9可见。

图8. 桁架模型简图

图9. 均布荷载下简图

取左半部分进行考虑，对中间铰结点取矩，列平衡方程求得q

$\frac{1}{2}ql\cdot \frac{l}{2}=Ny+q\cdot \frac{l}{2}\cdot \frac{l}{4}$

$q=\frac{8N}{l^2}y$

利用挠度建立方程

$y=\frac{1}{2}\bar{m}l\cdot \ddot{y}{\delta }_{11}-\frac{5l^4}{384}\cdot \frac{8N}{l^2}y+y=0$

3. 实例计算

以图1为例，先用简化模型I计算，不妨假设振型曲线为(需要满足边界条件)

$Y\left(x\right)=y\sin \frac{\text{π}}{l}x$ (4)

将原体系转化成单自由度体系，仅考虑三个竖向力，设最大挠度为y。此时1、2、3结点的转角分别为

$1\{\begin{array}{l}{\alpha }_0=\frac{y\sin \frac{\text{π}}{l}\cdot \frac{l}{4}}{\frac{l}{4}}=\frac{0.707y}{\frac{l}{4}}=\frac{2.828y}{l}\\ {\alpha }_1=\frac{\left(1-0.707\right)y}{\frac{l}{4}}=\frac{1.172y}{l}\end{array}$ $2\{\begin{array}{l}{\alpha }_0=\frac{1.172y}{l}\\ {\alpha }_1=-\frac{1.172y}{l}\end{array}$ $3\{\begin{array}{l}{\alpha }_0=-\frac{1.172y}{l}\\ {\alpha }_1=-\frac{2.828y}{l}\end{array}$

带入式(4)求结点力

$f_{G1}=N\left(2.828-1.172\right)\frac{y}{l}=1.656\frac{Ny}{l}$

$f_{G2}=N\left(1.172+1.172\right)\frac{y}{l}=2.344\frac{Ny}{l}$

$f_{G3}=N\left(-1.172+2.828\right)\frac{y}{l}=1.656\frac{Ny}{l}$

利用柔度法建立平衡方程

$y=-m\ddot{y}{\delta }_{11}+2f_{G1}{\delta }_{12}+f_{G2}{\delta }_{11}$

根据图乘法可知

${\delta }_{11}=\frac{l^3}{48EI}，{\delta }_{12}=\frac{11l^3}{768EI}$

化简整理得

$m\ddot{y}+\left(\frac{48EI}{l^3}-4.62\frac{N}{l}\right)y=0$

可以得出自振频率

$\omega =\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{0.95N{l}^2}{{\pi }^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}$ (5)

利用简化模型II进行计算，利用柔度法建立方程：

$y=\frac{1}{2}\bar{m}l\cdot \ddot{y}{\delta }_{11}-\frac{5l^4}{384}\cdot \frac{8N}{l^2}y+y=0$

其中 ${\delta }_{11}=\frac{l^3}{48EI}$ ，化简求出自振频率

$\omega =\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{1.027N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}$ (6)

利用偏微分方程求得的自振频率精确解 [2] [3] [4] ：

$\omega =\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}$ (7)

为了更清晰的反映精度，分别用式(5)和式(6)与精确解式(7)作商进行比较。令 $\theta =\frac{N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}$ ，式(5)与式

(7)比值为β₁，式(6)与式(7)比值为β₂

${\beta }_1=\frac{\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{0.95N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}}{\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}}=\frac{1-0.95\theta }{1-\theta }$

${\beta }_2=\frac{\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{1.027N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}}{\frac{{\text{π}}^2}{l^2}\sqrt{\left(1-\frac{N{l}^2}{{\text{π}}^{2}EI}\right)\cdot \frac{EI}{\bar{m}}}}=\frac{1-1.027\theta }{1-\theta }$

4. 结论

1) 利用简化方法求出的自振频率同分离变量法求出的自振频率进行对比，由于θ值很小，可发现自振频率相差不大，但是计算量却大大减少，提高工作效率。

2) 有些问题可以适当进行简化，不要弄得过于繁琐。例如实际问题中初步计算无铰拱的水平推力大小，就可以转化成三铰拱下求水平推力，经过计算，水平推力大小相差不大。

文章引用

曹梦增,李 斌. 考虑轴向力作用结构自振频率的简化计算
Simplified Calculation of Natural Frequency of Structure Considering Axial Force[J]. 土木工程, 2019, 08(03): 611-616. https://doi.org/10.12677/HJCE.2019.83072

参考文献