Advances in Applied Mathematics
Vol.
10
No.
10
(
2021
), Article ID:
45947
,
5
pages
10.12677/AAM.2021.1010358
无核的p度1-正则Cayley图
凌波
云南民族大学数学与计算机科学学院,云南 昆明
收稿日期:2021年9月21日;录用日期:2021年10月14日;发布日期:2021年10月22日
摘要
设 是群G上的Cayley图。称 为无核(关于G)的Cayley图,如果G在X中是无核的,其中 。本文对无核的p度1-正则Cayley图进行分类研究,其中p是一个奇素数。
关键词
无核Cayley图,单群,自同构群,正规Cayley图
Core-Free 1-Regular Cayley Graphs of Valency p
Bo Ling
School of Mathematics and Computer Sciences, Yunnan Minzu University, Kunming Yunnan
Received: Sep. 21st, 2021; accepted: Oct. 14th, 2021; published: Oct. 22nd, 2021
ABSTRACT
Let be a Cayley graph of group G. Then is said to be core-free if G is core-free in X, where . We classify the p-valent 1-regular Cayley graphs in this paper, where p is a prime.
Keywords:Core-Free Cayley Graph, Simple Group, Automorphism Group, Normal Cayley Graph
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在群与图研究领域中,1-正则图一直是一个主要研究对象。自1952年R. Frucht在文献 [1] 中给出第一个3度1-正则图的例子后,Marusic,Malnic等人在文献 [2] [3] 构造出了两类不同的4度1-正则图的无限族。而文献 [4] 中给出连通3度Cayley图是1-正则图的一个充要条件,并利用交错群 分别构造了连通3度1-正则和2-正则Cayley图的无限族。而文献 [5] 则显示了3度1-正则图在地图上的一些重要应用。
本文主要尝试对于每一个奇素数p,分类无核的p度1-正则Cayley图。
具体的,设 为 -正则Cayley图,其中 。记 。则H作用在S上正则且 。本文对G在X中是无核的情形做分类研究。
2. 引理
由文献 [6] (性质3.2),有下面的命题:
命题2.1设p为奇素数, 为p度 -正则Cayley图,其中 。设 。则存在对合 满足 ,使得 ,,。■
下面的引理给出,当X为奇素数级的本原置换群且H为其循环正则子群时,则X和H完全被确定。注意到 为p度 -正则Cayley图,由文献 [7] (推论1.2),得到如下引理:
引理2。1设p为奇素数,若X为p级本原置换群且X包含循环正则子群H,则:
1) ;
2) ,且 ;
3) 或者 ,其中 。
证明:由文献 [7] (推论1.2),仅需排除 和 的情形。由于p为奇素数,所以前者不可能发生。若 为仿射型本原置换群。由于 且 ,我们有 与 为 -正则Cayley图矛盾。■
下面的引理给出当X为 或者 时,其极大子群的分类。由文献 [8] 或者文献 [9],容易得到下面的引理:
引理2.2设 为素数,若 或者 。令G为X的极大子群满足 。则 或者G为几乎单型的本原置换群。■
令N为X的包含在G的极大正规子群,也就是, 。由文献 [6] (性质2.1)有下面的引理:
引理2.3设p为奇素数, 为p度 -正则Cayley图,其中 。令 。则:
1) 若 ,则 且 。
2) 若 ,则存在 ,其中 , 且 。
3) ; 为 的无核 -正则Cayley图且 为 的正规覆盖。
此外, 。■
3. 主要结论
定理3.1设 为p度1-正则Cayley图,其中p为奇素数。令 ,若 ,则 同构意义下为表1所列图之一。
Table 1. Core-free 1-regular Cayley graphs of valency p
表1. 无核p度1-正则Cayley图
注3.1在表1最后一行, 其中 且d为素数。 。此外,在表1的第四列中, 表示互不同构图的个数。
证明:设 为p度 -正则Cayley图,其中p为奇素数, 。设G在X中无核。注意到 。考虑X在集合 上的右乘作用,则作用忠实传递。此时,X为p级传递置换群。在这个作用下,X本原且包含循环正则子群H。由引理2.1,我们有以下几个选择 , 或者 ,或者, ,且 。我们首先判断图的存在性,由性质2.1,仅需考虑 中对合的存在性。
1) 设 。则 且G在X中的指数为11。设M为X的极大子群满足 。由文献 [10],X的极大子群有: ,,。另一方面, ,所以 。显然有 ,因而 。注意到 ,2不整除 ,所以存在对合 。我们声称 若不然, 包含在X的一个极大子群 里,由于 且X的所有极大子群为: ,, 因而 ,这与 矛盾。故, 。另一方面, ,由 的极大子群结构,我们有 。下面我们考虑这种情形下,存在互不同构图的个数。令 ,。为了方便证明,我们不妨设 。令 。则 。令 。则 。有文献 [10],X的所有对合在 的共轭作用下仅有一个轨道,因而同构意义下,这种情况下只存在一个图。此时,我们可以设 。令 。由MAGMA的计算,此时 。由于 ,因而在这种情形下不存在无核p度1-正则Cayley图。
2) 设 。设M为X中包含 的极大子群。由文献 [10],X的极大子群有: 。由于 ,也就是 ,因而 。由本定理1) 的证明我们有 。显然存在2阶元 ,进一步的我们可以在 里面取得 。若不然, 包含了 的所有对合。设 的所有对合生成的子群为P,此时 且 ,与 为单群矛盾。若 ,则 ,其中 为 的极大子群。又 ,故 ,因而 这与 矛盾。所以, 。令 ,。令 。令 ,。则 ,。令
,
,
则X的包含 的极大子群 。另一方面,对合 ,因此满足条件的 共110个且在 的共轭作用下恰好为2个轨道。不妨设其代表元素为: 。下面我们考虑图 和 。通过MAGMA的计算,我们有 , 且 与 互不同构,因此在这种情形下存在两个互不同构的无核11度1-正则Cayley图。最后,由于G在X中的指数为11,从X的所有极大子群结构我们得到 。
3) 设 此时, 。另一方面 的所有极大子群为(由 [10] ): ,,,,,,。设 为 中包含 的极大子群。由于 ,也就是 。通过计算 极大子群的阶可以得到 。显然 ,所以 。此时,与1) 类似的讨论,我们可以得到存在对合 使得 。注意到 ,通过计算 极大子群在 中的指数得到 。另一方面,由MAGMA的计算, 中所有对合在 的共轭作用下恰好产生15个轨道。因此,在这种情形下我们得到互不同构图的个数 。
4) 设 ,且 。此时 且 ,其中 。此时,由文献 [11],我们可以得到 。下面设M为 中包含 的极大子群。则存在2-元素 。若不然,M包含了 的所以Sylow2-子群。设 为 的所有Sylow2-子群。则显然有 且 。故 ,这与M为 的极大子群矛盾。另一方面,由M的极大性及 ,有 。此外,由文献 [12] (注10.11),有d必为素数。
5) 设 其中 为素数。由于 且 ,因而 。也就是 。设M为X的极大子群满足 。如果 。则显然存在奇置换的2阶元 (此时 )使得 。因此,陪集图 即为满足我们条件的Cayley图。下面我们假设 。由引理2.2, 或者M为作用在 的几乎单型本原置换群。我们先假设 。注意到 ,因而 。此时显然有 ,所以 。因为M为X的极大子群,因而存在对合 满足 。下面我们假设M为几乎单型本原置换群。此时亦存在对合 使得 。若不然,M包含了X的所以2阶元。设X的所以2阶元生成的子群为P,则 且 。另一方面, 的所有非单位元群正规子群为: ,。这使得 ,与M为X的极大子群且 矛盾。
6) 我们最后设 ,其中 为素数。由于在X中指数为p的子群同构于 ,所以 。设M为X中包含 的极大子群。由引理2.2,我们有 。显然存在对合 使得 。若不然, 其中 为X的极大子群。而 为素数,引理2.2显示 只能为 ,也就是 这与 矛盾。因而, 即为满足我们条件的Cayley图。■
基金项目
国家自然科学基金项目(12061089,11701503);云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。
文章引用
凌 波. 无核的p度1-正则Cayley图
Core-Free 1-Regular Cayley Graphs of Valency p[J]. 应用数学进展, 2021, 10(10): 3407-3411. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.1010358
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