Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.03(2017), Article ID:20812,6
pages
10.12677/AAM.2017.63048
Oscillation of Second-Order Semilinear Differential Equations
Xinxiao Su, Lina Dai, Simin Wu*, Quanwen Lin
Science of School, Department of Mathematics, Guangdong University of Petrochemical Technology, Maoming Guangdong
*通讯作者。
Received: May 11th, 2017; accepted: May 28th, 2017; published: May 31st, 2017
ABSTRACT
By generalized Riccati transformation, this paper mainly studies oscillation of a class of second- order semilinear equation of the form
. A new oscillation criterion is given, and the results of some references are improved. The results are illustrated and some examples are given.
Keywords:Semilinear, Second-Order Differential Equation, Generalized Riccati Transformation
二阶半线性中立型微分方程的振动性
苏新晓，戴丽娜，伍思敏*，林全文
广东石油化工学院理学院数学系，广东 茂名
收稿日期：2017年5月11日；录用日期：2017年5月28日；发布日期：2017年5月31日
摘 要
利用广义Riccati变换技巧，本文对二阶半线性中立型微分方程
做进一步的研究，给出了新的振动准则，改进了部分文献中的结果，为说明主要结果的应用给出了例子。
关键词 :半线性，二阶微分方程，广义Riccati变换
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This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
考虑二阶半线性中立型微分方程
(E)
其中
，
，对每一
，都有
，
，按照习惯，(E)的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称它为非振动的。
[1] - [8] 对二阶半线性时滞性微分方程
(E0)
建立了一系列的振动法则，但是，所得结果不够完善， [9] 利用Riccati变换经典不等式
，对方程(E0)建立了新的振动准则，它改进了 [2] 和 [7] 中的结果。
定理A [9] 设
是两个奇数的商，
，存在函数
满足
(1.1)
和
(1.2)
其中
，
，
;
,
.
则方程(E0)振动。
我们注意到 [9] 中限制
是两个奇数的商，在 [9] 工作的启发下，我们在本文中利用Riccati变换技巧，建立了方程(E)的振动准则，它改进了文献中的结果，为说明主要结果的应用给出了例子。
2. 主要结果
使用记号：对
，令
, 
, 
,
, 
, 
下面我们来建立(E)当
时的振动准则
定理2.1设
，若存在函数
满足
(2.1)
且
(2.2)
则方程(E)振动。
证：设方程有一个非振动解
，不失一般性，设存在
，使
，对所有
都成立，此时
，由方程(E)可得
(2.3)
即
在
上是减函数，因此
是不变号的，设存在
，分两种情况来展开讨论：
(i) 假设
，
。
证明过程与文 [7] 的定理2.1证明类似，得到条件(2.1)，在此就不多做讨论了。
(ii) 假设
，
。此时，(2.3)式变成
于是对于
有
，即
(2.4)
在
上对(2.4)式中的s进行积分，得
令
，得
(2.5)
于是得到
，则
，即有
即
(2.6)
由方程(E)和(2.6)式得
即
(2.7)
考虑广义Riccati变换
(2.8)
(2.8)式对t进行求导，并由(2.7)知
(2.9)
又由(2.5)得：
，所以
以
乘(2.9)式两边，从
到
关于
积分，有
利用
，上不等式变为
即
(2.10)
显然(2.10)式与条件(2.2)矛盾，因此，方程(E)振动。
3. 应用
例：考虑二阶微分方程
(3.1)
其中，我们取
，
显然，
，
，
,
于是，
, 
显然当
时，方程满足条件(2.1)和(2.2)，故由定理2.1知方程(3.1)振动。
基金项目
国家自然科学基金(11271380)、茂名市科技局软科学项目(20140340；2015038)。
文章引用
苏新晓,戴丽娜,伍思敏,林全文. 二阶半线性中立型微分方程的振动性
Oscillation of Second-Order Semilinear Differential Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 417-422. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63048
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