西华师范大学数学与信息学院，四川 南充

收稿日期：2023年4月22日；录用日期：2023年5月24日；发布日期：2023年5月31日

摘要

在有限群论中，子群的性质是刻画群可解性的重要工具。本文利用非正规极大子群的迹的幂零性研究了可解群的结构，得到了一个关于可解群的充分必要条件(有限群G是可解的当且仅当G的每个非正规极大子群有幂零的迹)，推广了已知结果。

关键词

极大子群，非正规性，迹，可解群

Influence of Traces of Non-Normal Maximal Subgroups on Solvability of Finite Groups

Jinlian Wu, Liyu Zhu^*

School of Mathematics and Information, China West Normal University, Nanchong Sichuan

Received: Apr. 22^nd, 2023; accepted: May 24^th, 2023; published: May 31^st, 2023

ABSTRACT

In finite group theory, the properties of subgroups are an important tool to characterize the solvability of groups. In this paper, we study the structure of solvable groups by using the nilpotent property of traces of non-normal maximal subgroups, and obtain a necessary and sufficient condition for solvable groups (A finite group G is solvable if and only if every non-normal maximal subgroup of G has a nilpotent trace), and generalize the known results.

Keywords:Maximal Subgroup, Non-Normality, Trace, Solvable Group

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文所有的群都是有限群，所有的术语和符号以文献 [1] [2] [3] [4] 为标准。特别地， $\left|G\right|$ 表示群G的阶， $\pi \left(G\right)$ 表示 $\left|G\right|$ 的全体素因子的集合。 $M<\cdot G$ 表示M是群G的一个极大子群； $M\underset{\_}{⊲}G$ 表示M是群G的一个正规子群。且令 ${\mathcal{F}}_1=\left\{M<\cdot G|M\underset{\_}{⊲}G\right\}$ ， ${\mathcal{F}}_2=\left\{M<\cdot G|M\cancel{\underset{\_}{⊲}}G\right\}$ 。显然，群G的极大子群必属于其中之一。

正规子群、极大子群和Sylow子群对群结构有着重要的影响。国内外很多群论学者做过相关课题的研究。在 [5] 中，Guo，Skiba和Tang考虑了所有极大子群的迹的幂零性与群可解群的关系。继续这项研究，将群G的所有极大子群分为正规子群和非正规子群两大类，考虑非正规的极大子群迹的幂零性，得到了关于可解群的一个充要条件。

2. 基本概念

为了方便，在此先列出后面将要用到的一些概念和结果。

定义1 [5] 设A是群G的真子群，称任意的G的主因子 $H/A_G$ 是A的一个G-边界因子或一个边界因子；对于A的任意G-边界因子 $H/A_G$ ，称子群 $\left(A\cap H\right)/A_G$ 为A的一个G-迹或一个迹。这里， $A_G$ 是A在G中的柱心。

引理1 [1] 设G是有限群，则下述事实等价：

G是幂零群；

若 $H<G$ ，则 $H<N_G\left(H\right)$ ；

G的每个极大子群 $M\underset{\_}{⊲}G$ (这时 $\left|G:M\right|$ 为素数)；

G的每个Sylow子群都是正规的，且G是它的诸Sylow子群的直积。

引理2 [1] 幂零群G必为可解群。

引理3 [5] G是可解的当且仅当每个极大子群有幂零的迹(或者次正规的迹)。

引理4 [6] 设P是群G的一个Sylow p-子群， $p\ge \text{5}$ 。如果 $N_G\left(P\right)/C_G\left(P\right)$ 是一个p-群，那么 ${\text{O}}^p\left(G\right)<G$ 。

3. 主要结果

定理1 有限群G是可解的当且仅当 ${\mathcal{F}}_2$ 中的每个极大子群有幂零的迹；

证明必要性，显然成立。充分性：设G是有限群，令M是群G的极大子群。若 ${\mathcal{F}}_2\ne \varnothing$ ，则对于任意的极大子群M有 $M\in {\mathcal{F}}_1$ 。由引理1 (3)可知G是幂零群，进而由引理2知群G是可解的。若 ${\mathcal{F}}_1\ne \varnothing$ ，则对于任意的极大子群有 $M\in {\mathcal{F}}_2$ 。由引理4可得结论。下面讨论 ${\mathcal{F}}_1\ne \varnothing$ 且 ${\mathcal{F}}_2\ne \varnothing$ 。

情形1：G是单群。

如果G是单群，此时对任意极大子群M，有 $M_G=1$ 且M的G-迹是M。因为 ${\mathcal{F}}_1\ne \varnothing$ ，所以存在 $M\in {\mathcal{F}}_1$ ， $M=1$ ，从而群G为素数阶群，进而G可解。

情形2：G是非单群。

任取群G的一个极小正规子群R，下面考虑商群 $G/R$ 。设 $M/R$ 是 $G/R$ 的任意极大子群，即有 $M<\cdot G$ 。令 $H/M_G$ ， $\left(H\cap M\right)/M_G$ 分别是M的G-边界因子和G-迹，则 $\left(\left(H\cap M\right)/R\right)/{\left(M/R\right)}_{\left(G/R\right)}=\left(\left(H\cap M\right)/R\right)/\left(M_G/R\right)$ 是 $M/R$ 的 $G/R$ -迹。

若 $M/R\underset{\_}{⊲}G/R$ ，由引理1 (3)可知G是幂零群，进而由引理2可得群 $G/R$ 是可解的。若 $M/R\cancel{\underset{\_}{⊲}}G/R$ ，则 $M\cancel{\underset{\_}{⊲}}G$ 。根据定理假设，M有幂零的迹，因此 $\left(\left(H\cap M\right)/R\right)/\left(M_G/R\right)$ 是幂零的。进而， $G/R$ 满足定理条件，对 $\left|G\right|$ 进行归纳， $G/R$ 是可解的。

1) 若R可解，显然由扩张闭得G是可解的；

2) 若R不可解，取q是 $\pi \left(R\right)$ 的极大素因子，其中 $\left|\pi \left(R\right)\right|\ge 3$ ， $q\ge 5$ 。令 $Q\in Sy{l}_q\left(R\right)$ ， $\left|Q\right|=q^n$ 。且 $N_G\left(Q\right)\ne G$ ，M是G的极大子群且满足 $N_G\left(Q\right)\le M$ ，由Frattini论断，有 $G=N_G\left(Q\right)R=MR$ 。

若R不唯一，即存在群G的极小正规子群 $R_1$ ， $R_2$ 。根据前面的讨论，有 $G/R_1$ ， $G/R_2$ 是可解的，所以 $G/\left(R_1\cap R_2\right)$ 是可解的。又因为 $R_1\cap R_2=1$ ，因此G是可解的。

若R唯一，有 $M_G=1$ 且 $M\cancel{\underset{\_}{⊲}}G$ ，即 $M\in {\mathcal{F}}_2$ ， $R\cap M$ 是M的一个G-迹，且 $R\cap M$ 是幂零的。又 $N_R\left(Q\right)\le R\cap M$ ，根据引理1(4)，有 $N_R\left(Q\right)=Q\times P_1\times \cdots \times P_s$ ，其中 $P_1,\cdots ,P_s$ 是 $N_R\left(Q\right)$ 的Sylow p-子群， $p\in \pi \left(N_R\left(Q\right)\right)\backslash \left\{q\right\}$ 。因此 $P_1\times \cdots \times P_s\le C_R\left(Q\right)$ ，从而 $\frac{\left|N_R\left(Q\right)\right|}{\left|C_R\left(Q\right)\right|}=q^{\alpha }$ ， $\alpha \le n$ ，即 $N_R\left(Q\right)/C_R\left(Q\right)$ 是q-群，由引理5，有 ${\text{O}}^q\left(R\right)<R$ ， ${\text{O}}^q\left(R\right)$ char R，所以 ${\text{O}}^q\left(R\right)\underset{\_}{⊲}G$ ，矛盾。即我们完成了证明。

基金项目

四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。

文章引用

吴金莲,朱丽羽. 非正规极大子群的迹对群可解性的影响
Influence of Traces of Non-Normal Maximal Subgroups on Solvability of Finite Groups[J]. 理论数学, 2023, 13(05): 1422-1424. https://doi.org/10.12677/PM.2023.135145

参考文献