丢番图方程(75n)x+ (308n)y= (317n)z On the Diophantine Equation (75n)x+ (308n)y= (317n)z

doi:10.12677/PM.2023.1311348

Pure Mathematics
Vol. 13 No. 11 ( 2023 ), Article ID: 76431 , 7 pages
10.12677/PM.2023.1311348

丢番图方程(75n)^x + (308n)^y = (317n)^z

黄日娣，邓乃娟

●How to Cite this Article

湛江幼儿师范专科学校数学系，广东湛江

收稿日期：2023年10月22日；录用日期：2023年11月23日；发布日期：2023年11月30日

摘要

设 $a, b, c$ 是两两互素的正整数且 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。Jesmanowicz猜想：对于任意给定的正整数n，方程 ${(a n)}^{x} + {(b n)}^{y} = {(c n)}^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。本文利用数论中的一些方法证明了：对任意的正整数n，方程 ${(75 n)}^{x} + {(308 n)}^{y} = {(317 n)}^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ ，即当 $(a, b, c) = (75, 308, 317)$ 时，Jesmanowicz猜想成立。

关键词

Jesmanowicz猜想，丢番图方程，正整数解

On the Diophantine Equation (75n)^x + (308n)^y = (317n)^z

Ridi Huang, Naijuan Deng

Department of Mathematics, Zhanjiang Preschool Education College, Zhanjiang Guangdong

Received: Oct. 22^nd, 2023; accepted: Nov. 23^rd, 2023; published: Nov. 30^th, 2023

ABSTRACT

Let $a, b, c$ be a primitive Pythagogrean triples such that $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Jesmanowicz conjectured that, for any positive integer n, the Diophantine equation ${(a n)}^{x} + {(b n)}^{y} = {(c n)}^{z}$ has only positive integer solution $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ . In this paper, by using some methods of number theory,we prove that, for any positive integer n, the Diophantine equation ${(75 n)}^{x} + {(308 n)}^{y} = {(317 n)}^{z}$ has only positive integer solution $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ , that is the Jesmanowicz conjecture is true, when $(a, b, c) = (75, 308, 317)$ .

Keywords:Jesmanowicz’s Conjecture, Diophantine Equation, Positive Integer Solution

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

不定方程是数论领域中一个重要的分支，古希腊数学家丢番图曾在三世纪初就开始研究这样的方程，所以不定方程又称为丢番图方程，其中指数型不定方程是较为重要的一部分，并且它在群论、组合论和编码理论中也被广泛运用，但是对它的求解往往比较困难，因此对于不定方程的求解过程中更能体现出技巧性和趣味性。

设 $(a, b, c)$ 是本原商高数组。Jesmanowicz [1] 曾猜想：对于任意正整数n，丢番图方程

${(n a)}^{x} + {(n b)}^{z} = {(n c)}^{z}$ (1)

只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。这一猜想至今只证明了对一些较为简单的商高数组是正确的。对于 $n = 1$ ，Terai [2] 证明了方程

${(m^{2} - 4)}^{x} + {(4 m)}^{y} = (m^{2} + 4), m > 1, m \equiv 1 (\mod 2)$

只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ ；李双志 [3] 证明了当 $k \equiv 1, 2 (\mod 3), k \equiv 2 (\mod 4)$ 时，方程

${(3 (2 k + 3))}^{x} + {(2 k (k + 3))}^{y} = {(2 k (k + 3) + 9)}^{z}$

只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。等等。对于n为任意正整数，Miyazaki [4] 证明了当

$(a, b, c) = (2^{2 r} - 1, 2^{r + 1}, 2^{2 r} + 1), r \in N$ 时，Jesmanowicz猜想正确；陈凤娟 [5] 证明了当

$(a, b, c) = (p^{2 r} - 4, 4 p^{r}, p^{2 r} + 4), p > 3$ ，p为素数， $p \equiv 3, 5, 7 (\mod 8)$ 时，若 $P (n) | b$ 或 $P (a) | n$ ，则Jesmanowicz猜想正确；孙翠芳 [6] 证明了当 $(a, b, c) = (4 p^{2 r} - 1, 4 p^{r}, 4 p^{2 r} + 1), p \equiv 3 (\mod 4)$ 且p为素数时，若 $P (n) | b$ 或 $P (a) | n$ ，则Jesmanowicz猜想正确。等等。虽然在很多特殊情况下，Jesmanowicz猜想是正确的，但一般情形仍未解决，目前的结果大都集中在 $n = 1$ 的情形，而对于 $n > 1$ ，只有为数不多的特殊情形被解决。记

$P (n)$ 为n的所有素因子的乘积， $(\frac{*}{*})$ 为雅克比符号。

本文考虑方程(1)中 $(a, b, c) = (75, 308, 317)$ 的情形，证明了Jesmanowicz猜想正确。结果如下

定理1 对于任意正整数n时，丢番图方程

${(75 n)}^{x} + {(308 n)}^{y} = {(317 n)}^{z}$ (2)

只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。

2. 预备知识

定义2.1 [7] 给定一个正整数m，如果用m去除两个整数a和b所得的余数相同，我们就说 $a, b$ 对模m同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，把该式称为模m的同余式，简称同余式。如果余数不同，我们就说 $a, b$ 对m不同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ 。

定义2.2 [8] 设 $m > 1$ ， $x^{2} \equiv n (\mod m)$ ， $(n, m) = 1$ ，若该同余式有解，则n称为模n的二次剩余；若该同余式无解，则n称为模m的二次非剩余。

定义2.3 [8] 勒让德(Legendre)符号 $(\frac{a}{p})$ (读作a对p的勒让德符号)是一种对于给定的奇素数p定

义在一切整数a上的函数，它的值规定如下：

$(\frac{a}{p}) = {\begin{cases} 1, a 是模 p 的二次剩余, \\ - 1, a 是模 p 的二次非剩余, \\ 0, p | a \end{cases}$

定义2.4 [8] 雅可比符号 $(\frac{a}{m})$ (读作a对m的雅可比符号)是一个对于给定的大于1的单整数m定

义在一切整数a上函数，它在a上的函数值是

$(\frac{a}{m}) = i = \prod_{i = 1}^{r} (\frac{a}{p_{i}})$

其中 $m = p_{1} p_{2} \dots p_{r}$ ， $p_{i} (i = 1, 2, \dots, r)$ 是素数， $(\frac{a}{p_{i}})$ 是a对 $p_{i}$ 的勒让德符号。

性质2.5 设 $m, n$ 为正奇数

1) 若 $a \equiv a_{1} (\mod m)$ 和 $(m, n) = 1$ ，则 $(\frac{a}{m}) = (\frac{a_{1}}{m})$ ；

2) 若 $(a, m) = (a, n) = 1$ ，则 $(\frac{a}{m}) (\frac{a}{n}) = (\frac{a}{m n})$ ；

3) 若 $(a, m) = (b, m) = 1$ ，则 $(\frac{a}{m}) (\frac{b}{m}) = (\frac{a b}{m})$ 。

性质2.6 $(\frac{- 1}{m}) = {(- 1)}^{\frac{m - 1}{2}}$ ； $(\frac{2}{m}) = {(- 1)}^{\frac{m^{2} - 1}{8}}$ 。

性质2.7 若m和n是两个正奇数，且 $(m, n) = 1$ ，则

$(\frac{m}{n}) = {(- 1)}^{\frac{(m - 1) (n - 1)}{4}} (\frac{n}{m})$ 。

引理2.1 [9] 当 $k \equiv 3 (\mod 8)$ ， $\ 3 | k$ 时，丢番图方程

${(3 (2 k + 3))}^{x} + {(2 k (k + 3))}^{y} = {(2 k (k + 3) + 9)}^{z}$

只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。

引理2.2 [10] 设 $a, b, c$ 是两两互素的正整数且 $a^{x} + b^{y} = c^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。如果 $(x, y, z) \neq (2, 2, 2)$ 是方程 ${(a n)}^{x} + {(b n)}^{y} = {(c n)}^{z}$ 的正整数解，则其满足下列条件之一：

1) $x > z > y, P (n) | b$ ；

2) $y > z > x, P (n) | a$ 。

3. 定理的证明

定理1的证明：因为 $75 = 3 \cdot (2 \times 11 + 3)$ ， $308 = 2 \times 11 \times 14$ ， $317 = 2 \times 11 \times 14 + 9$ ，且 $11 \equiv 3 (\mod 8)$ ，由引理1知，方程 $75^{x} + 308^{y} = 317^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。下面我们不妨设 $n > 1$ 。假设 $(x, y, z) \neq (2, 2, 2)$ 是方程(2)的正整数解，故由引理2可知， $x < z < y, p (n) | 75$ 或 $y < z < x, p (n) | 308$ 。

下面分两种情况进行讨论：

情形1当 $x < z < y, p (n) | 75$ 时，则方程(2)可整理为

$317^{z} - 308^{y} n^{y - z} = \frac{75^{x}}{n^{z - x}}$ (3)

不妨设 $n = 3^{s} \cdot 5^{t}$ ，其中 $s, t$ 均为非负整数且 $\max {s, t} \geq 1$ 。

情形1.1：如果 $s > 0, t > 0$ ，则 $s (z - x) = x, t (z - x) = 2 x$ ，于是方程(3)可整理为

$317^{z} - 308^{y} \cdot 3^{s (y - z)} \cdot 5^{t (y - z)} = 1$ (4)

对(4)式模5得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 5)$ ，故 $4 | z$ 。令 $z = 4 z_{1}$ ，于是，

$(317^{z_{1}} - 1) (317^{z_{1}} + 1) = 308^{y} \cdot 3^{s (y - z)} \cdot 5^{t (y - z)} = 2^{2 y} \cdot 7^{y} \cdot 11^{y} \cdot 3^{s (y - z)} \cdot 5^{t (y - z)}$ 。因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 1, 317^{z_{1}} + 1) = 2$ ，由

雅克比符号 $(\frac{- 1}{11}) = - 1, (\frac{- 1}{7}) = - 1, (\frac{- 1}{3}) = - 1$ 可得

${\begin{cases} 317^{z_{1}} - 1 = 2^{2 y - 1} \cdot 7^{y} \cdot 11^{y} \cdot 3^{s (y - z)} \\ 317^{z_{1}} + 1 = 2 \cdot 5^{t (y - z)} \end{cases}$ 。

即 $2^{2 y - 1} \cdot 7^{y} \cdot 11^{y} | (317^{2 z_{1}} - 1)$ 。但是

$2^{2 y - 1} \cdot 7^{y} \cdot 11^{y} > 4^{y - 1} \cdot 7^{y} \cdot 11^{y} > {(4 \cdot 7 \cdot 11)}^{z} = 308^{z} = 308^{4 z_{1}} > {(317 + 1)}^{2 z_{1}} > 317^{2 z_{1}} + 1 > 317^{2 z_{1}} - 1$ 这不可能。

情形1.2：如果 $s > 0, t = 0$ ，则 $s (z - x) = x$ ，方程(3)可整理为

$317^{z} - 308^{y} \cdot 3^{s (y - z)} = 5^{2 x}$ (5)

对(5)式模3得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 3)$ ，于是 $2 | z$ 。对(5)式模5得 $2^{z} \equiv 3^{y + s (y - z)} (\mod 5)$ ，于是 $2 | y + s (y - z)$ 。对(5)式模7得

$308^{y} \cdot 3^{s (y - z)} = - 5^{2 x} (\mod 317)$ (6)

又因为 $317 \equiv 1 (\mod 4)$ ，由雅克比符号的性质得

$(\frac{308}{317}) = (\frac{4}{317}) (\frac{7}{317}) (\frac{11}{317}) = (\frac{2}{7}) (\frac{9}{11}) = 1, (\frac{3}{317}) = (\frac{317}{3}) = (\frac{2}{3}) = - 1, (\frac{- 1}{317}) = - 1$ 。

结合(6)式可得 ${(\frac{308}{317})}^{y} \cdot {(\frac{3}{317})}^{s (y - z)} = (\frac{- 1}{317}) \cdot {(\frac{5}{317})}^{2 x}$ ，于是 ${(- 1)}^{s (y - z)} = 1$ ，即 $2 | s (y - z)$ 。从而 $2 | y$ 。令 $y = 2 y_{1}, z = 2 z_{1}$ ，则 $(317^{z_{1}} - 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})}) (317^{z_{1}} + 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})}) = 5^{2 x}$ 。

又因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})}, 317^{z_{1}} + 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})}) = 1$ ，故

${\begin{cases} 317^{z_{1}} - 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})} = 1 ① \\ 317^{z_{1}} + 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})} = 5^{2 x} ② \end{cases}$ ，

$② - ①$ 得， $5^{2 x} - 1 = 2 \cdot 308^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})}$ ，即 $(5^{x} - 1) (5^{x} + 1) = 2^{2 y_{1} + 1} \cdot 7^{y_{1}} \cdot 11^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})}$ ，假设 $5^{x} - 1 = 7 t$ ，即

$5^{x} \equiv 1 (\mod 7)$ ，因为 ${(\frac{5}{7})}^{x} = (\frac{1}{7}) = 1$ ， $(\frac{5}{7}) = (\frac{7}{5}) = (\frac{2}{5}) = - 1$ ，所以 ${(- 1)}^{x} = 1$ ，即 $2 | x$ 。此时若 $5^{x} + 1 = 3 t$ ， $5^{x} \equiv - 1 (\mod 3)$ ，因为 ${(\frac{5}{3})}^{x} = (\frac{- 1}{3}) = - 1$ ， $(\frac{5}{3}) = (\frac{2}{3}) = 1$ ，所以 $1^{x} = - 1$ ，这不可能。又因为 $5^{x} - 1 < 5^{x} + 1$ ，

所以 $7 | (5^{x} + 1), 3 | (5^{x} + 1)$ ，又因为 $4 | (5^{x} - 1), 11 | (5^{x} + 1) \$ ，故

${\begin{cases} 5^{x} - 1 = 2^{2 y_{1}} \cdot 11^{y_{1}} \\ 5^{x} + 1 = 7^{y_{1}} \cdot 3^{s (y_{1} - z_{1})} \end{cases}$

且 $\ 2 | x$ ，于是 $\ 8 | (5^{x} - 1)$ ，即 $y = 2 y_{1} = 2$ ，这与 $1 \leq x < z < y$ 矛盾。

情形1.3：如果 $s = 0, t > 0$ ，则 $t (z - x) = 2 x$ ，于是方程(3)可整理为

$317^{z} - 308^{y} \cdot 5^{t (y - z)} = 3^{x}$ (7)

对(7)式模16得 $13^{z} \equiv 3^{x} (\mod 16)$ ，于是 $x \equiv z \equiv 2 (\mod 4)$ 或 $x \equiv z \equiv 0 (\mod 4)$ 。对(7)式模3得 $2^{z} \equiv 2^{y + t (y - z)} (\mod 3)$ ，于是 $2 | y + t (y - z)$ 。对(7)式模317得 $308^{y} \cdot 5^{t (y - z)} = - 3^{x} (\mod 317)$ 。又因为

$(\frac{308}{317}) = 1, (\frac{5}{317}) = (\frac{2}{5}) = - 1, (\frac{- 1}{317}) = 1, (\frac{3}{317}) = - 1$ ，

于是有 ${(- 1)}^{t (y - z)} = {(- 1)}^{x}$ ，所以 $t (y - z)$ 与x同奇偶，所以 $2 | t (y - z)$ ，故 $2 | y$ 。令 $x = 2 x_{1}, y = 2 y_{1}, z = 2 z_{1}$ ，(7)式整理为

$(317^{z_{1}} - 308^{y_{1}} \cdot 5^{t (y_{1} - z_{1})}) (317^{z_{1}} + 308^{y_{1}} \cdot 5^{t (y_{1} - z_{1})}) = 3^{2 x_{1}}$ 。

又因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 308^{y_{1}} \cdot 5^{t (y_{1} - z_{1})}, 317^{z_{1}} 3 + 08^{y_{1}} \cdot 5^{t (y_{1} - z_{1})}) = 1$ ，故

${\begin{cases} 317^{z_{1}} - 308^{y_{1}} \cdot 5^{t (y_{1} - z_{1})} = 1 \\ 317^{z_{1}} + 308^{y_{1}} \cdot 5^{t (y_{1} - z_{1})} = 3^{2 x_{1}} \end{cases}$

所以 $3^{2 x} + 1 = 2 \cdot 317^{z_{1}}$ 。又 $317^{z_{1}} > 3^{4 z_{1}} = 3^{2 z} > 3^{2 x} + 1$ ，故不可能。

情形2，当 $y < z < x$ 时，方程(2)可整理为

$317^{z} - 75^{x} n^{x - z} = \frac{308^{y}}{n^{z - y}}$ (8)

不妨设 $n = 2^{s} \cdot 7^{t} \cdot 11^{w}$ ，其中 $s, t, w$ 均为非负整数且 $\max {s, t, w} \geq 1$ 。

情形2.1：如果 $s > 0, t > 0, w > 0$ ，则 $s (z - y) = 2 y, t (z - y) = y, w (z - y) = y$ ，即 $s = 2 t, w = t$ 。于是方程(8)可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 2^{2 t (x - z)} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)} = 1$ (9)

对(9)式模5得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 5)$ ，故 $4 | z$ 。令 $z = 2 z_{1}$ ， $\ 2 | z_{1}$ ，(9)式整理为

$(317^{z_{1}} - 1) (317^{z_{1}} + 1) = 3^{x} \cdot 5^{2 x} \cdot 2^{2 t (x - z)} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)}$

因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 1, 317^{z_{1}} + 1) = 1$ 且 $(\frac{- 1}{3}) = - 1, (\frac{- 1}{7}) = - 1, (\frac{- 1}{11}) = - 1$ ，于是有

${\begin{cases} 317^{z_{1}} - 1 = 2^{2 t (x - z) - 1} \cdot 3^{x} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)} \\ 317^{z_{1}} + 1 = 2 \cdot 5^{2 x} \end{cases}$

即 $5^{2 x} - 3^{x} \cdot 2^{2 t (x - z) - 2} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)} = 1$ 。故 $(5^{x} - 1) (5^{x} + 1) = 3^{x} \cdot 2^{2 t (x - z) - 2} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)}$ 。

又因为 $\gcd (5^{x} - 1, 5^{x} + 1) = 2$ 且 $(\frac{5}{11}) = 1, (\frac{5}{3}) = (\frac{5}{7}) = - 1, (\frac{- 1}{11}) = (\frac{- 1}{3}) = (\frac{- 1}{7}) = - 1$ ，

当 $2 | x$ 时，则 $5^{x} + 1 = 2$ ，这不可能。

于是 $\ 2 | x$ 且 ${\begin{cases} 5^{x} - 1 = 2^{2 t (x - z) - 3} \cdot 11^{t (x - z)} \\ 5^{x} + 1 = 2 \cdot 3^{x} \cdot 7^{t (x - z)} \end{cases}$ ，即

$3^{x} \cdot 7^{t (x - z)} - 2^{2 t (x - z) - 4} \cdot 11^{t (x - z)} = 1$ (10)

对(10)式模7得 $2^{2 t (x - z) - 4} \cdot 11^{t (x - z)} \equiv - 1 (\mod 7)$ 。因为 $(\frac{11}{7}) = (\frac{4}{7}) = 1, (\frac{- 1}{7}) = - 1$ 且 $2 | 2 t (x - z) - 4$ ，于是

$1 = - 1$ ，这不可能。

情形2.2：如果 $s > 0, t > 0, w = 0$ ，则 $s (z - y) = 2 y, t (z - y) = y$ ，即 $s = 2 t$ 于是方程(8)可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 2^{2 t (x - z)} \cdot 7^{t (x - z)} = 11^{y}$ (11)

对(11)模5得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 5)$ 。于是 $4 | z$ ，对(11)式模11得 $9^{z} = 9^{x} \cdot 2^{2 t (x - z)} \cdot 7^{t (x - z)} (\mod 11)$ ，因为 $(\frac{9}{11}) = 1$ ， $(\frac{7}{11}) = - (\frac{11}{7}) = - (\frac{4}{7}) = - 1$ ， $2 | 2 t (x - z)$ ，于是有 ${(- 1)}^{t (x - z)} = 1$ ，即 $2 | t (x - z)$ ，这意味着 $4 | 2 t (x - z)$ 。对

(11)式模16得 $13^{z} = 11^{y} (\mod 16)$ 。又因为 $4 | z$ ，故 $4 | y$ 。令 $z = 4 z_{1}, y = 4 y_{1}$ ，(11)式整理为

$(317^{z_{1}} - 11^{2 y_{1}}) (317^{2 z_{1}} + 11^{2 y_{1}}) = 75^{x} \cdot 2^{2 t (x - z)} \cdot 7^{t (x - z)}$ 。

因为 $\gcd (317^{2 z_{1}} - 11^{2 y_{1}}, 317^{z_{1}} + 11^{2 y_{1}}) = 2, (\frac{- 1}{3}) = - 1, (\frac{- 1}{7}) = - 1$ ，于是

${\begin{cases} 317^{2 z_{1}} + 11^{2 y_{1}} = 2 \cdot 5^{2 x} \\ 317^{2 z_{1}} - 11^{2 y_{1}} = 2^{2 t (x - z) - 1} \cdot 3^{x} \cdot 7^{t (x - z)} \end{cases}$ ，

但是 $5^{2 x} > 5^{2 z} = 5^{2 \cdot 4 z_{1}} = {(25^{2})}^{2 z_{1}} > {(317 + 11)}^{2 z_{1}} > 317^{2 z_{1}} + 11^{2 y_{1}}$ 。这不可能。

情形2.3：如果 $s > 0, t = 0, w > 0$ ，则 $s (z - y) = 2 y, w (z - y) = y$ ，即 $s = 2 w$ 。于是方程(8)可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 2^{2 w (x - z)} \cdot 11^{w (x - z)} = 7^{y}$ (12)

对(12)式模3得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 3)$ ，于是 $2 | z$ 。对(12)式模4得 $1 \equiv 3^{y} (\mod 4)$ ，于是 $2 | y$ 。

令 $z = 2 z_{1}, y = 2 y_{1}$ ，故 $(317^{z_{1}} - 7^{y_{1}}) (317^{z_{1}} + 7^{y_{1}}) = 75^{x} \cdot 2^{2 w (x - z)} \cdot 11^{w (x - z)}$ 。

因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 7^{y_{1}}, 317^{z_{1}} + 7^{y_{1}}) = 2$ 且 $75 = 3 \times 5^{2}$ ，所以有 $25^{x} | (317^{z_{1}} - 7^{y_{1}})$ 或 $25^{x} | (317^{z_{1}} + 7^{y_{1}})$ 。但是 $25^{x} > 25^{z} = {(25^{2})}^{z_{1}} > {(317 + 7)}^{z_{1}} > 317^{z_{1}} + 7^{y_{1}} > 317^{z_{1}} - 7^{y_{1}}$ ，这不可能，与事实矛盾。

情形2.4：如果 $s = 0, t > 0, w > 0$ ，则 $w (z - y) = y, t (z - y) = y$ ，即 $w = t$ 。于是方程(8)可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)} = 2^{2 y}$ (13)

对(13)式模3得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 3)$ ，于是 $2 | z$ 。令 $z = 2 z_{1}$ ，(13)式整理为 $(317^{z_{1}} - 2^{y}) (317^{z_{1}} + 2^{y}) = 75^{x} \cdot 7^{t (x - z)} \cdot 11^{t (x - z)}$ ，因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 2^{y}, 317^{z_{1}} + 2^{y}) = 1$ ，故 $25^{x} | (317^{z_{1}} - 2^{y})$ 或 $25^{x} | (317^{z_{1}} + 2^{y})$ 。

这与 $25^{x} > 25^{z} = {(25^{2})}^{z_{1}} > {(317 + 4)}^{z_{1}} > 317^{z_{1}} + 4^{z_{1}} > 317^{z_{1}} + 2^{y} > 317^{z_{1}} - 2^{y}$ 矛盾。

情形2.5： $s > 0, t = 0, w = 0$ ，则 $s (z - y) = 2 y$ ，方程(8)可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 2^{s (x - z)} = 7^{y} \cdot 11^{y}$ (14)

对(14)式模5得 $2^{z} \equiv 2^{y} (\mod 5)$ ，即 $4 | (z - y)$ 。又因为 $s (z - y) = 2 y$ ，所以 $2 | y$ ，从而 $2 | z$ 。令 $z = 2 z_{1}, y = 2 y_{1}$ ，(13)式整理为

$(317^{z_{1}} - 77^{y_{1}}) (317^{z_{1}} + 77^{y_{1}}) = 75^{x} \cdot 2^{s (x - z)}$ 。

因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 77^{y_{1}}, 317^{z_{1}} + 77^{y_{1}}) = 2$ ，所以有 $25^{x} | (317^{z_{1}} - 77^{y_{1}})$ 或 $25^{x} | (317^{z_{1}} + 77^{y_{1}})$ 。但是 $25^{x} > 25^{2 z_{1}} > {(317 + 77)}^{z_{1}} > 317^{z_{1}} + 77^{y_{1}} > 317^{z_{1}} - 77^{y_{1}}$ ，这不可能。

情形2.6：如果 $s = 0, t > 0, w = 0$ ，则 $t (z - y) = y$ ，(8)式可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 7^{t (z - y)} = 44^{y}$ (15)

对(15)式模5得 $2^{z} \equiv 4^{y} (\mod 5)$ ，于是 $2 | z$ 。对(15)式模3得 $2^{z} \equiv 2^{y} (\mod 3)$ ，于是 $2 | y$ 。令 $z = 2 z_{1}, y = 2 y_{1}$ ，(15)式整理为 $(317^{z_{1}} - 44^{y_{1}}) (317^{z_{1}} + 44^{y_{1}}) = 75^{x} \cdot 7^{t (z - y)}$ ，

又因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 44^{y_{1}}, 317^{z_{1}} + 44^{y_{1}}) = 1$ ，故 $25^{x} | (317^{z_{1}} - 44^{y_{1}})$ 或 $25^{x} | (317^{z_{1}} + 44^{y_{1}})$ 。

这与 $25^{x} > 25^{2 z_{1}} > {(317 + 44)}^{z_{1}} > 317^{z_{1}} + 44^{y_{1}} > 317^{z_{1}} - 44^{y_{1}}$ 矛盾。

情形2.7：如果 $s = 0, t = 0, w > 0$ ，则 $w (z - y) = y$ ，(8)式可整理为

$317^{z} - 75^{x} \cdot 11^{w (z - y)} = 28^{y}$ (16)

对(16)式模3得 $2^{z} \equiv 1 (\mod 3)$ ，于是 $2 | z$ 。对(15)式模5得 $2^{z} \equiv 3^{y} (\mod 5)$ ，于是 $2 | y$ 。

令 $z = 2 z_{1}, y = 2 y_{1}$ ，(16)式整理为 $(317^{z_{1}} - 28^{y_{1}}) (317^{z_{1}} + 28^{y_{1}}) = 75^{x} \cdot 11^{e (z - y)}$ ，又因为 $\gcd (317^{z_{1}} - 26^{y_{1}}, 317^{z_{1}} + 28^{y_{1}}) = 1$ ，故 $25^{x} | (317^{z_{1}} - 28^{y_{1}})$ 或 $25^{x} | (317^{z_{1}} + 28^{y_{1}})$ 。这与 $25^{x} > 25^{2 z_{1}} > {(317 + 28)}^{z_{1}} > 317^{z_{1}} + 28^{y_{1}} > 317^{z_{1}} - 28^{y_{1}}$ 矛盾。

4. 结语

邢静静证明了当 $k \equiv 3 (\mod 8)$ ， $\ 3 | k$ 时，丢番图方程 ${(3 (2 k + 3))}^{x} + {(2 k (k + 3))}^{y} = {(2 k (k + 3) + 9)}^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ [9] 。由此可知令 $k = 11$ 时，方程 $75^{x} + 308^{y} = 317^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。本文证明了更一般的情况，即当n为任意正整数时，丢番图方程 ${(75 n)}^{x} + {(308 n)}^{y} = {(317 n)}^{z}$ 只有正整数解 $(x, y, z) = (2, 2, 2)$ 。但是对于k为其他值时的情况还有待进一步研究。另外，要彻底解决Jesmanowicz猜想，还需要寻求一些新的方法，这就需要研究者有较深的数论基础，为数学进步贡献自己的力量。

文章引用

黄日娣,邓乃娟. 丢番图方程(75n)^x+ (308n)^y= (317n)^z
On the Diophantine Equation (75n)^x+ (308n)^y= (317n)^z[J]. 理论数学, 2023, 13(11): 3358-3364. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1311348

参考文献

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2. Terai, N. (2014) On Jesmanowicz’ Conjecture Concerning Primitive Pythagorean Triples. Journal of Number Theory, 141, 316-323. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2014.02.009

3. 李双志. 关于商高数的Jesmanowicz猜想[D]: [硕士学位论文]. 重庆: 西南大学, 2011.

4. Miyazaki, T. (2015) A Remark on Jesmanowicz’ Conjecture for Non-Coprimality Case. Acta Mathematica Sinica, English Series, 31, 1225-1260. https://doi.org/10.1007/s10114-015-4491-2

5. 陈凤娟. 关于丢番图方程 [J]. 数学进展, 2018, 47(3): 1-5.

6. Sun, C.F. and Cheng, Z. (2015) On Jesmanowicz’ Conjecture Concerning Pythagorean Triples. Journal of Mathematical Research with Applications, 35, 143-148.

7. 闵嗣鹤, 严士健. 初等数论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.

8. 柯召, 孙琦. 数论讲义(上) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1987.

9. 邢静静. 关于商高数的Jesmanowicz猜想[D]: [硕士学位论文]. 重庆: 西南大学, 2015.

10. Deng, M.J. (2014) A Note on the Dionphantine Equation . Bulletin of the Australian Mathematical Society, 89, 316-321. https://doi.org/10.1017/S000497271300066X

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