辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连

收稿日期：2023年2月15日；录用日期：2023年3月11日；发布日期：2023年3月20日

摘要

本文梳理了Schwarz导数的概念和性质，并给出其带有拉格朗日型余项的泰勒展开，和拉格朗日插值及余项，最后提出一种高阶Schwarz导数的新定义以建立与普通导数的联系。

关键词

Schwarz导数，拉格朗日型余项，高阶Schwarz导数

Schwarz Derivative and Related Properties

Yuhan Jin^*, Qiaoyi Wang, Hongjia Ji, Yuxin Li

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Feb. 15^th, 2023; accepted: Mar. 11^th, 2023; published: Mar. 20^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, the concept and properties of Schwarz derivative are reviewed, and the Taylor expansion with Lagrangian coterms, Lagrangian interpolation and coterms are given. Finally, a new definition of higher order Schwarz derivative is proposed to establish a relationship with ordinary derivatives.

Keywords:Schwarz Derivative, Lagrangian Type Remainder, Higher Order Schwarz Derivative

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

Schwarz导数也称对称导数，是一种弱于普通导数的推广形式，在数学分析和动力系统上有着广泛的应用，本文借助Schwarz导数，给出带有拉格朗日型余项的泰勒展开，和拉格朗日插值及余项，并给出一种高阶Schwarz导数的新定义以建立与普通导数的联系。

2. Schwarz导数的概念

定义1 (Schwarz导数)设f在 $x_0$ 空心邻域 $U°\left(x_0,\delta \right)$ 上有定义，若

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)}{2h}$

存在，则称其为f在 $x=x_0$ 处的Schwarz导数，记为 $f^{\left[1\right]}\left(x_0\right)$ 。

3. Schwarz导数的性质 [1]

定理1 若f在 $x_0$ 处可导，则 $f^{\prime }\left(x_0\right)=f^{\left[1\right]}\left(x_0\right)$ 。

此处略去定理1证明过程，需要注意的是，该定理的逆命题不成立，可以给出反例， $f\left(x\right)=\left|x\right|$ 在 $x=0$ 处导数不存在，而Schwarz导数 $f^{\left[1\right]}\left(0\right)=0$ 。

定理2 若 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $x_0$ 点Schwarz导数存在，则 $f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$ 在 $x_0$ 点Schwarz导数也存在，且有

${\left(f\left(x_0\right)\pm g\left(x_0\right)\right)}^{\left[1\right]}=f^{\left[1\right]}\left(x_0\right)\pm g^{\left[1\right]}(\; x\; 0\; )$

定理3 若 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $x_0$ 点连续，且Schwarz导数存在，则 $f\left(x\right)g\left(x\right)$ 和 $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\left(g\left(x_0\right)\ne 0\right)$ 在 $x_0$ 点

Schwarz导数也存在，且有

${\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)}_{x=x_0}^{\left[1\right]}=f^{\left[1\right]}\left(x_0\right)g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)g^{\left[1\right]}(\; x\; 0\; )$

${\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)}_{x=x_0}^{\left[1\right]}=\frac{f^{\left[1\right]}\left(x_0\right)g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)g^{\left[1\right]}\left(x_0\right)}{g^2(\; x\; 0\; )}$

定理2和定理3说明Schwarz导数在一定条件下具有四则运算性质，其证明已有参考文献 [2] 给出，此处不进行赘述。

定理4 (Roll中值定理)设函数f在 $\left[a,b\right]$ 上连续，在 $\left(a,b\right)$ 上Schwarz可导，且 $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0$ ，则存在 $x_1,x_2\in \left(a,b\right)$ ，使得 $f^{\left[1\right]}\left(x_1\right)\ge 0,f^{\left[1\right]}\left(x_2\right)\le 0$ 。

定理5 (Lagrange中值定理)设函数f在 $\left[a,b\right]$ 上连续，在 $\left(a,b\right)$ 上Schwarz可导，则存在 $x_1,x_2\in \left(a,b\right)$ ，使得

$f^{\left[1\right]}\left(x_1\right)\le \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\le f^{\left[1\right]}(\; x\; 2\; )$

定理6 (Cauchy中值定理)设函数f在 $\left[a,b\right]$ 上连续，在 $\left(a,b\right)$ 上Schwarz可导，且对任意的 $x\in \left(a,b\right)$ ，有 $g^{\left[1\right]}\left(x\right)\ne 0$ ，且 $g\left(x\right)$ 为凸函数，则存在 $x_1,x_2\in \left(a,b\right)$ ，使得

$\frac{f^{\left[1\right]}\left(x_1\right)}{f^{\left[1\right]}\left(x_1\right)}\le \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}\le \frac{f^{\left[1\right]}\left(x_2\right)}{g^{\left[1\right]}(\; x\; 2\; )}$

4. 带有拉格朗日型余项的泰勒展开

定理7 设存在邻域 $U\left(a,\delta \right)$ ，f在 $U\left(a,\delta \right)$ 上 $n-1$ 阶可导， $f^{\left(n-1\right)}$ 在 $U\left(a,\delta \right)$ 上1阶Schwarz可导，则，存在 $\xi ,\eta \in U\left(a,\delta \right)$ ，满足

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(x-a\right)}^i}+\frac{f^{{\left(i-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n\le f\left(x\right)\le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(x-a\right)}^i}+\frac{f^{{\left(i-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n$

证明 设

$f\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(x-a\right)}^i}+k{\left(x-a\right)}^n$ ,

令

$g\left(t\right)=f\left(t\right)-\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(t-a\right)}^i}+k{\left(t-a\right)}^n\right)$ ,

则 $g\left(t\right)$ 在 $U\left(a,\delta \right)$ 上 $n-1$ 阶可导， $g^{\left(n-1\right)}\left(t\right)$ 在 $U\left(a,\delta \right)$ 上1阶Schwarz可导。

对 $g\left(t\right)$ 进行推导，有

$g^{\left(j\right)}\left(a\right)=f^{\left(j\right)}\left(a\right)-f^{\left(j\right)}\left(a\right)=0,i=0,1,2,\cdots ,n-1$ ,

$g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(x-a\right)}^i}+k{\left(x-a\right)}^n\right)=0$ ,

特别的，有 $g\left(a\right)=g\left(x\right)=0$ ，对 $g\left(t\right)$ 应用Roll中值定理，则存在 $x_1$ ，使得 $g^{\prime }\left(x_1\right)=0$ 。因此，又有 $g^{\prime }\left(a\right)=g^{\prime }\left(x_1\right)=0$ ，再用一次Roll中值定理，则存在 $x_2$ ，使得 $g^{″}\left(x_2\right)=0$ 。以此类推，应用 $n-1$ 次Roll中值定理，最终可得，存在 $x_{n-1}$ ，使得 $g^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=g^{\left(n-1\right)}\left(x_{n-1}\right)=0$ 。

在 $U\left(a,\delta \right)$ 上， $g^{\left(n-1\right)}\left(t\right)$ 满足Schwarz导数的Lagrange中值定理的条件，故存在 $\xi ,\eta \in U\left(a,\delta \right)$ ，使得

$g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)\le \frac{g^{\left(n-1\right)}\left(a\right)-g^{\left(n-1\right)}\left(x_{n-1}\right)}{a-x_{n-1}}\le g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)$ ,

而 $g^{\left(n-1\right)}\left(a\right)=g^{\left(n-1\right)}\left(x_{n-1}\right)=0$ ，则

$g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)\le 0,g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)\ge 0$ ,

即

$f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)-n!k\le 0,f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)-n!k\ge 0$

两式联立，解出k的范围是

$\frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)}{n!}\le k\le \frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)}{n!}$ ,

因此，

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(x-a\right)}^i}+\frac{f^{{\left(i-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n\le f\left(x\right)\le {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{f^{\left(i\right)}\left(a\right)}{i!}{\left(x-a\right)}^i}+\frac{f^{{\left(i-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)}{n!}{\left(x-a\right)}^n$

5. 拉格朗日插值及余项

定理8 设f在 $\left[a,b\right]$ 上 $n-1$ 阶可导， $f^{\left(n-1\right)}$ 在 $\left(a,b\right)$ 上1阶Schwarz可导，则存在唯一的 $n-1$ 次多项式 $p\left(x\right)$ 满足 $p\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ，且存在 $\xi ,\eta \in \left(a,b\right)$ ，满足

$p\left(x\right)+\frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)}{n!}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(x-x_i\right)}\le f\left(x\right)\le p\left(x\right)+\frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)}{n!}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(x-x_i\right)}$

证明 根据多项式插值定理，可以说明 $n-1$ 次多项式 $p\left(x\right)$ 的存在性和唯一性，下面仅给出定理后半部分余项表达式的证明，设

$f\left(x\right)=p\left(x\right)+k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(x-x_i\right)}$

令

$g\left(t\right)=f\left(t\right)-\left(p\left(t\right)+k{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(x-x_i\right)}\right)$

则 $g\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上 $n-1$ 阶可导， $g^{\left(n-1\right)}\left(t\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 上1阶Schwarz可导。

根据 $g\left(t\right)$ 的定义，可知 $g\left(x_i\right)=g\left(x\right)=0\left(i=1,2,\cdots ,n且x_i\ne x\right)$ ，根据Roll中值定理，每个小区间上都存在一点 $y_m\left(m=1,2,\cdots ,n\right)$ ，满足 $g^{\prime }\left(y_m\right)=0$ ，再用一次Roll中值定理，则存在 $z_n\left(n=1,2,\cdots ,n-1\right)$ ，满足 $g^{″}\left(z_n\right)=0$ ，以此类推，应用 $n-1$ 次Roll中值定理，最终得到，存在 $\xi ,\eta \in \left(a,b\right)$ ，满足 $g^{\left(n-1\right)}\left(\xi \right)=g^{\left(n-1\right)}\left(\eta \right)=0$ 。

在 $\left[a,b\right]$ 上， $g^{\left(n-1\right)}\left(t\right)$ 满足Schwarz导数的Lagrange中值定理的条件，故存在 $\xi ,\eta \in \left(a,b\right)$ ，使得

$g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)\le \frac{g^{\left(n-1\right)}\left(\xi \right)-g^{\left(n-1\right)}\left(\eta \right)}{\xi -\eta }\le g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)$ ,

而 $g^{\left(n-1\right)}\left(\xi \right)=g^{\left(n-1\right)}\left(\eta \right)=0$ ，则

$g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)\le 0,g^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)\ge 0$ ,

即

$f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)-n!k\le 0,f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)-n!k\ge 0$ ,

两式联立，解出k的范围是

$\frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)}{n!}\le k\le \frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)}{n!}$ ,

因此，

$p\left(x\right)+\frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\xi \right)}{n!}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(x-x_i\right)}\le f\left(x\right)\le p\left(x\right)+\frac{f^{{\left(n-1\right)}^{\left[1\right]}}\left(\eta \right)}{n!}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}\left(x-x_i\right)}$

6. 高阶Schwarz导数的新定义 [3]

在参考文献 [4] 中已给出n阶Schwarz导数的定义，设f在 $x_0$ 空心邻域 $U°\left(x_0,\delta \right)$ 上有定义，若

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\left[n-1\right]}\left(x+h\right)-f^{\left[n-1\right]}\left(x-h\right)}{2h}$

存在，则称其为f在 $x=x_0$ 处的n阶Schwarz导数，记为 $f^{\left[n\right]}\left(x_0\right)$ 。该定义下，n阶Schwarz导数与n阶导数不一定相等，为建立n阶Schwarz导数与n阶导数之前的关系，本文中给出一种n阶Schwarz导数的新定义，在该定义下，n阶Schwarz导数与n阶导数相等。

定义2 (n阶Schwarz导数)设f在 $x_0$ 空心邻域 $U°\left(x_0,\delta \right)$ 上有定义，若

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k\frac{{\left(-1\right)}^{k}f\left(\left(n-2k\right)h+x_0\right)}{{\left(2h\right)}^n}}$

存在，则称其为f在 $x=x_0$ 处的n阶Schwarz导数，记为 $f^{\left[n\right]}\left(x_0\right)$ 。

定理9 若f在 $x=x_0$ 处存在n阶导数 $f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)$ ，则f在 $x=x_0$ 处存在新定义下的n阶Schwarz导数 $f^{\left[n\right]}\left(x_0\right)$ ，且有 $f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)=f^{\left[n\right]}\left(x_0\right)$ 。

证明 首先证明以下结论成立，

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{\left(-1\right)}^k{\left(n-2k\right)}^m}=\{\begin{array}{l}0,0\le m\le n-1\\ 2^{n}n!,m=n\end{array}$

将式子进行变形，有

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{\left(-1\right)}^k{\left(n-2k\right)}^m}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{\left(-1\right)}^k}{\displaystyle \underset{s=0}{\overset{m}{\sum }}{C}_m^s{n}^{m-s}{\left(-2k\right)}^s}={\displaystyle \underset{s=0}{\overset{m}{\sum }}{C}_m^s{n}^{m-s}{\left(-2\right)}^s}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{k}^s{C}_n^k{\left(-1\right)}^k}$ ,

定义算子 $D\left(f\right)=x{f}^{\prime }$ ，用算子D作用于等式 ${\left(1+x\right)}^n={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{x}^k}$ ，得到

$D\left({\left(1+x\right)}^n\right)=D\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{x}^k}\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}k{C}_n^k{x}^k}$ ,

以此类推，作用s次，有

$D^s\left({\left(1+x\right)}^n\right)=D^s\left({\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{x}^k}\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{k}^s{C}_n^k{x}^k},0\le s\le n$ ,

当 $x=-1$ 时，有

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{k}^s{C}_n^k{\left(-1\right)}^k}=D^s\left({\left(1+x\right)}^n\right)=\{\begin{array}{l}0,0\le s\le n-1\\ {\left(-2\right)}^{n}n!,s=n\end{array}$ ，

即

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{\left(-1\right)}^k{\left(n-2k\right)}^m}={\displaystyle \underset{s=0}{\overset{m}{\sum }}{C}_m^s{n}^{m-s}{\left(-2\right)}^s}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{k}^s{C}_n^k{\left(-1\right)}^k}=\{\begin{array}{l}0,0\le m\le n-1\\ 2^{n}n!,m=n\end{array}$

下面证明 $f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)=f^{\left[n\right]}\left(x_0\right)$ 。

对Schwarz导数的新定义进行变形，有

$\begin{array}{c}{f}^{\left[n\right]}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k\frac{{\left(-1\right)}^{k}f\left(\left(n-2k\right)h+x_0\right)}{{\left(2h\right)}^n}}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k\frac{{\left(-1\right)}^k{\left(n-2k\right)}^{n-1}{f}^{\left(n-1\right)}\left(\left(n-2k\right)h+x_0\right)}{2^{n}n!h}}\left(n-1次洛必达法则\right)\\ =\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k\frac{{\left(-1\right)}^k{\left(n-2k\right)}^{n-1}\left(f^{\left(n-1\right)}\left(\left(n-2k\right)h+x_0\right)-f^{\left(n-1\right)}\left(x_0\right)\right)}{2^{n}n!h}}\\ ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k}\frac{{\left(-1\right)}^k{\left(n-2k\right)}^n{f}^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{2^{n}n!}=f^{\left(n\right)}\left(x_0\right).\end{array}$

该定理证明中，组合数的证明参考《清疏数学竞赛》。

7. 总结

Schwarz导数作为导数概念的推广，在数学分析和动力系统中被广泛应用。本文从Schwarz导数的概念和性质出发，给出其带有拉格朗日型余项的泰勒展开式和拉格朗日插值余项的推导，并提出一种Schwarz高阶导数的新定义，将导数的性质推广到Schwarz导数上来。

文章引用

金禹含,王侨祎,纪宏佳,李玉新. Schwarz导数及其相关性质
Schwarz Derivative and Related Properties[J]. 应用数学进展, 2023, 12(03): 1077-1082. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.123109

参考文献