Pure Mathematics
Vol.05 No.02(2015), Article ID:14903,11 pages
10.12677/PM.2015.52006

Methodology for Sum of N Terms of an Arithmetic Series and Its Application

Dongwu Wu

SINOPEC Guangzhou Petrochem Complex, Guangzhou Guangdong

Email: wdongu@163.com

Received: Feb. 14th, 2015; accepted: Feb. 25th, 2015; published: Mar. 3rd, 2015

Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

This paper introduces the methodology for calculating the sum of N terms of an arithmetic series with practical examples. The concept of the double-center spiral is introduced again to determine the length and diameter of a spiral heat exchanger and other plate coils as well. A related topic, the drawing and its calculation of a four-center spiral, is also presented.

Keywords:Arithmetic Series, Sum of N Terms, Double-Center Spiral, Polar Radius, Spiral-Plate, Heat Exchangers

等差数列的N项和及其应用

吴东武

中石化广州石油化工总厂,广东 广州

Email: wdongu@163.com

收稿日期:2015年2月14日;录用日期:2015年2月25日;发布日期:2015年3月3日

摘 要

本文通过计算实例,介绍了等差数列N项和的计算方法。双心螺线概念在本文重新提出,用以確定螺旋板换热器和其它板卷的长度与直径。四心螺线作图法及其计算与本課题相关,在此一并作了介绍。

关键词 :等差数列,N项和,双心螺线,极径,螺旋板,换热器

1. 等差数列的N项和

随着科学技术的发展,一些边缘复杂问题都能准确计算。然而,板卷这类物体,其几何尺寸至今不能准确计算。究其原因,它属数学教学内容欠缺引发的问题。在等差数列教学上,我们只讲C.F. Gauss在1786年发现的“前n项和”计算方法,导致学生只会计算整数项数n而不会计算带小数的项数N,即便他们日后成为老师或工程师,依然如此。此N非彼n,怎样计算N?

【例1】等差数列6,10,14,…前几项的和是120?

解:题中等差数列的首项,公差,设“前n项和”,根据等差数列“前n项和”公式,得

整理得:

解得: (舍去)

正整数,而,表明计算方法出了问题。但这个答案告诉了我们,此题如同一堆沙的总量为,用前面辆车去搬运后,剩余,还需要用第辆车去运,但第7辆车又装不满。

此时剩余量,它与第辆车运力的比率为

因此

(1)

(2)

式中

式(1)是等差数列的N项和,不论N是为整数都成立。

数列的项数

(3)

当已知求N时,由式(2)算出n,再由式(1)算出

本例,按此方法得

等差数列6,10,14,…的6.80项和是120。

早前数学家是以,…表述等差数列,且一直被沿用至今。也许他感觉到在后面还应有什么项,但又不清楚,因此,他只能严谨地以省略号结束此数列,这样表述的数列是不完整的,故有“前n项和”

项数

式中项数正整数,前n项和,a1首项,通项,d公差。

数列的省略号代表的究竟是什么?因为在之后,不可能是其它整数项,只能是带小数项和句号。这个数列。才是原本的等差数列,数列的结尾项后再无其它项,因此,数列的各项和

数列各项和的计算方法,其项数,不仅适用于双心螺线计算,也适用于四心螺线的计算。带小数项虽然简单至极,不屑一顾,但它完善了200多年前的等差数列各项和的计算方法,它将给人们带来更多联想与创新。

2. 双心螺线

顾名思义,双心螺线有二个圆心O1与O2的螺旋线(图1),圆心距。它与其它螺线一样,有一个极点,二圆心的中点O是它的极点,。双心螺线在上世纪50年代初,我国采用苏联教材曾有过这个概念,此后便消失了。然而,在实际工作中,我们经常见到双心螺旋线这类物体—板卷。板卷以有无板间距可分为二类,一类是无板间距的板卷,如螺旋弹簧和冷轧钢板卷等,其板厚为;另外一类是有板间距的板卷,如螺旋板换热器等,板间距为b1和b2。由于人们不能准确计算板卷的长度与直径,而今重新提出双心螺线这个概念及其计算方法,很有必要,因为它是板卷计算的基础,也是现代学生应当了解的基础知识。

设双心螺线的始点为M0,以O2为圆心的初始半圆直径为d1,以O1为圆心第二个半圆直径为,又以O2为圆心第三个半圆直径为,相连二个半圆的直径差为t。显然,螺线由内往外,各圈(以弧度为1圈)长度l构成一个以为首项,公差的等差数列:

双心螺旋长度依据等差数列各项和计算方法,得 (4) (5)式中。各圈圆弧半径R也构成一个以R1为首项,为公差的等差数列:

(4)

(5)

Figure 1. Double-center spiral

双心螺线的极径,根据余弦定理得

(6)

(7)

其中是始点极径,

当已知L或r求N时,首先按式(5)或(7)算出n,再由式(4)或(6)算出。螺线圈数,此圈数是以圆心角弧度为1,即是半圆的个数。

【例2】双心螺线的长度,计算螺线的圈数N,极径r和螺线直径D。

解:双心螺线长度,由公式(5)得:

代入公式(4)解得:

终点所在圆弧半径,极径

螺线的直径是指终点M至MO延长线与前一圈螺线交点之间的直线距离,它等于这二点的极径之和。交点的极径为,因此,螺线直径

3. 螺旋板换热器

瑞典人Rosemblad在1930年提出螺旋板换热器的结构,它是由两块厚度为的钢板制成的有板间距的板卷,有两条宽度(板间距)为b1和b2的螺旋通道,冷热介质在各自通道中流动换热,是紧凑高效而应用广泛的换热设备。螺旋板换热器是等差数列和双心螺线的应用实例。

在螺旋板换热器(图2)中,螺线相连二半圆的直径差,螺旋通道的初始半圆直径,由式(4)得螺旋通道长度

(8)

(9)

当已知L求N时,首先由式(9)算出n,再由式(8)算出

螺旋板2围成的内侧半圆直径d21,板内始点极径,宽度为b2的通道与此半圆柱体相通;螺旋板1的内侧半圆直径,板内始点极径,宽度为b1的通道与此半圆柱体相通。

螺旋板1,2的初始半圆直径分别为;终点1极径分别为r1和r2。将d1代入双心螺线长度公式(4),便得到相应螺旋板1,2的长度公式。

螺旋通道圈数N比螺旋板圈数少1圈

(10)

螺旋板换热器的外径等于两螺旋板外侧终点的极径之和

(11)

根据双心螺线的极径公式(6)得螺旋板1,2终点的极径

(12)

其中

(13)

其中

(14)

当已知求N时,首先由式(14)算出n,再由式(11)~(13)算出

【例3】从螺旋板换热器的传热计算得到螺旋通道长,螺旋板的厚度,通道宽度,螺旋板的初始内径。计算螺旋板的长度L1和换热器外径Do

解:,通道初始直径

Figure 2. Calculation diagram of the SHEs

由(8)式

得:

螺旋通道圈数

螺旋板圈数

螺旋板1的初始直径,由(4)式

得螺旋板长

螺旋板终点所在圆弧的半径。

由(12)式得:

由(11)式得:换热器外径

4. 四心螺线

四心螺线也是阿基米德螺线的类似曲线,它或许是阿基米德或其他数学家在研究螺线长度时发现并流传下来的。四心螺线是由不同半径的劣弧连成的曲线,它有4个圆心和一个极点O,此4个圆心构成以极点O为中心的正方形ABCD,螺线的始点极径为。四心螺线的几何画法如下:

作相互垂直且交于O点的直线X和Y,如图3所示。以O点为中心,作边长为的正方形ABCD,AD与AB边分别与直线Y和X相交于。在X上取点M0,使

以A为圆心,M0为始点,为半径画弧交Y于M1

以B为圆心,M1为始点,为半径画弧交X于M2

以C为圆心,M2为始点,为半径画弧交Y于M3

以D为圆心,M3为始点,为半径画弧交X于M4

又以A为圆心,M4为始点,为半径画弧……,如此重复画弧,便得到一条如图4所示1:1的四心螺线。

在工程上,四心螺线也可以用来加工螺旋板换热器,螺旋板的段数,N为螺旋通道段数,换热器外径,r1和r2为二螺旋板终点极径。

四心螺线的长度和极径的计算理论依据,仍然是数列的各项和与余弦定理,但比双心螺线的计算要烦琐一些。

设四心螺线的始点M0至下一圈(2π弧度)始点M4间的直线距离为螺线距S,每圈螺线由4段圆弧组成,每段弧的圆心角为,极角为

螺线首段弧的始点极径为,在直角三角形⊿Am2M0与⊿Am1M1中,

Figure 3. 4-center spiral

图3. 四心螺线

Figure 4. Error assessment of mainstream formula

图4. 主流公式误差曲线

M1O为首段弧终点M1的极径,也是第二段M1M2弧始点M1的极径。如此类推,第三段和第四段始点M2和M3极径为,…

整段弧的圆心角为。过点M1作与AD边平行的直线,此直线和BA延长线相交于a

因此,各段弧的最大圆心角。将上述归纳成四心螺线弧与点的关系表1

表1可以看出,各段圆弧的始点极径,构成的等差数列

第n段圆弧的始点极径

(15)

但相连圆弧的半径差不相等,不能构成等差数列。第n段圆弧的半径

Table 1. Relationship between arc and points of 4-center spiral

表1. 四心螺线弧与点的关系

*注:

(16)

因此,四心螺线的n段圆弧长度和为

(17)

依据数列的各项和,得四心螺线长度

(18)

第N段圆弧长度

(19)

螺线段数

(20)

其中n为整数,

四心螺线只有各段圆弧的始点极径能构成等差数列,而各段圆弧半径不能形成等差数列,四心螺线长度按公式(17)计算。当已知求N时,由于,方程有二个未知数n和,先以Excel电子表格算出公式(16)的和n,再以(17)(18)式算出

在“四心螺线弧与点的关系表”中,四心螺线点M的极径:在点M,Mn分别与圆心极点连线构成的二个三角形中,连线长为2 0.5S/8,极径的对角为圆心广角,始点极径对角为圆心余角,四心螺线点M的极径

(21)

(22)

式中为圆心角,rad;为圆心余角,rad

双心螺线和四心螺线都是阿基米德螺线的类似曲线,阿基米德螺线的极径。阿基米德螺线长度

5. 主流公式及其计算误差

主流公式是指换热器专著,设计手册和行业标准采用的螺旋板换热器几何计算公式。由于人们此前不会计算等差数列各项和的项数N,曾出现了各种类型的公式,外径共有五类8种公式,归纳如下:

① 日本学者以理论上不能成立的螺旋通道圈数 [1] -[6]

用来计算换热器的外径

其中

此类公式从上世纪六十年代起,被日中两国化工学者广泛采用。

② 中国有学者以[7] [8] “前n项和”公式,导出螺旋通道长度公式

并以此式N计算螺旋长轴内径(即换热器内径)

其中

③ 美国学者Minton [9] 采用螺旋板的长度直接计算换热器的外径

(英制)

由此引出公制公式

(公制)

其中C对应,t对应,L对应L2

④ 中国也有学者[10] 以“前n项和”公式,导出错误的n圈螺旋板总长公式

并以此式n计算换热器的外径

此类公式按常理,其螺旋板的长度应当是:

换热器外径Do也应当是:

其中b为“每一螺旋所根据的圆心彼此相距”,

⑤ 中国还有学者,采用与第①类螺旋通道圈数相似的通道圈数公式[11] -[13]

来计算换热器的外径Do

当螺旋板终端的截面法线与中心隔板的平面法线平行时

当螺旋板终端的截面法线与中心隔板的平面法线垂直时

为奇数

为偶数

其中

在这五类8种公式中,哪类公式比较准确?很难以公式判断,只能通过实例计算并以外径之差ΔD作比较,才能断定。

首先以【例3】螺旋板换热器的设计参数,按双心螺线方程,算出螺旋通道在的长度L和在的螺旋板长度L1以及换热器的相应外径

然后以第①、②、③、④和第⑤(两法线平行)类公式依照L或L1计算出相应的外径,外径之差

双心螺线方程和这5类公式以Excel电子表格计算并作图。由于第④类公式误差太大(424.5~444.9 mm),故放弃,便得到如图4所示的4条曲线:其中曲线2与4重合,曲线1,2,3,4,5分别是第①,②,③,④(常理),⑤(两法线平行)类公式的误差,曲线一目了然,不再赘述。

6. 结束语

等差数列的各项和与双心螺线方程是板卷和螺旋板换热器计算的基础,也是现代学生应该了解的基础知识。为避免后人重复我们的错误,最简单有效的方法,就是在中学数学课本上,增加例1例2类似的题解内容;在螺旋板换热器相关论著中增加例3类似的题解内容。

致谢

自从1999年发现《化学装置》杂志“螺旋板热交换器的设计”修改一元二次方程求根公式以来,在这十六年等差数列各项和的应用研究工作中,得到了于德兰,李浩明,吴志文,李志松与曾广生等友人的友情帮助,在此一并致以诚挚的感谢!

文章引用

吴东武, (2015) 等差数列的N项和及其应用
Methodology for Sum of N Terms of an Arithmetic Series and Its Application. 理论数学,02,34-45. doi: 10.12677/PM.2015.52006

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  14. NOTES

    1在换热器横截面上,螺旋板终端有三个(外侧,内侧和中间)计算终点,螺旋板终点是中间计算终点。当Np为带小数时,三个计算终点的圆心角(πn0)不相等。作者以前论文视它们的圈数n0相等并用于计算是错误的,现已更正,尽管误差极微。

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