ABSTRACT

A helicoidal surface in Minkowski 3-sapce is defined as the orbit of a plane curve under a screw motion. In this paper, we study a kind of helicoidal surface with light-like axis in Minkowski 3-space. As a result, we constructed the representation formulas for these helicoidal surfaces with meaning curvature H and Guass curvature K satisfying a₁H² + a₂K = g(s).

Keywords:Minkowski Space, Helicoidal Surface, Meaning Curvature, Gauss Curvature

三维Minkowski空间中的一类螺旋面

吴珩，黄平亮

上海大学理学院数学系，上海

Email: wlavande@shu.edu.cn

收稿日期：2015年6月19日；录用日期：2015年7月2日；发布日期：2015年7月8日

摘 要

三维Minkowski空间中，螺旋面由一条平面曲线进行螺旋运动生成。本文研究以类光向量为轴进行螺旋运动所生成的螺旋面，主要讨论平均曲率H和高斯曲率K满足关系式a₁H² + a₂K = g(s)的螺旋面的存在性以及表达式。

关键词 :Minkowski空间，螺旋面，平均曲率，高斯曲率

1. 引言

狭义相对论的提出，促使了Minkowski空间几何的产生(见[1] )，Minkowski空间是具有一个负指标的Lorentz空间(见[2] )。越来越多的数学家开始讨论Minkowski空间中的曲线和曲面(见[3] -[5] )，例如：Bertrand曲线、直纹面、旋转曲面、螺旋面等，其中螺旋面由一条平面曲线进行螺旋运动生成，其鲜明的几何性质引起了大家的兴趣。1990年，Dillen和Kuhnel在[6] 中确定了三维Minkowski空间的螺旋运动群。Rafael Lopez和Esma Demir在[7] 中研究了平均曲率H和高斯曲率K为常值的螺旋面。Beneki，Kaimakamis和Papantoniou在[8] [9] 中讨论了平均曲率H或高斯曲率K为给定光滑函数的螺旋面。2007 年，侯中华和纪凤辉在[10] [11] 中构造出平均曲率H和高斯曲率K满足关系式的螺旋面的表达式。

设为3维Minkowski空间，为空间的伪正交标架(见[11] )，即

则对中任意的有

在中，以类光向量为轴进行旋转，旋转矩阵为

设生成曲线，，在伪正交标架下，以类光向量为轴进行螺旋运动，螺旋面的一般形式为

(1.1)

其中表示螺距。本文主要讨论：在中，平均曲率H和高斯曲率K满足关系式时，沿类光方向进行螺旋运动的螺旋面的存在性以及表达式，其中为常数，为给定光滑函数。

下面给出本文所要证明的主要结论。

定理1：在伪正交标架下，以类光向量为轴进行螺旋运动所生成的螺旋面满足,其中为常数，，则

1)若，则螺旋面的表达式为

且生成曲线为

其中为积分常数，，，当时，；当时，。

2) 若，则螺旋面的表达式为

且生成曲线为

其中，，为积分常数。

注1.1：当时，螺旋面为类空曲面；当时，螺旋面为类时曲面(见定义2.3)。

注1.2：本文不考虑类光曲面，即的情况。

注1.3：当，时，即，侯中华和纪凤辉在[9] 中已研究了满足该条件的螺旋；

当或时，即平均曲率H和高斯曲率K为给定的光滑函数，Beneki，Kaimakamis和Papantoniou在[7] [8] 中已讨论了满足该条件的螺旋面。本文研究的是一类混合问题，是对上述结果的补充。

注1.4：为一般函数时，也可得到存在性结果(见推广2)。

2. 背景知识

定义2.1：设是三维Minkowski空间，对任意的有如下定义

1)，则称是类空向量；

2)，则称是类时向量；

3)，则称是类光向量。

定义2.2：设是中的曲面，为曲面的法向量，则

1)称为曲面的第一基本形式，其中，称为第一基本量；

2)称为曲面的第二基本形式，其中，称为第二基本量。

定义2.3：当时，称曲面为类空曲面；当时，称曲面为类时曲面；当时，称曲面为类光曲面。

定义2.4：设是中的曲面，则曲面的平均曲率H和高斯曲率K为

定义2.5：对中任意的，若取标架为伪正交标架，则的外积为

3. 主要结论的证明

本节给出主要定理的证明过程。

证明：满足(1.1)式的螺旋面的第一基本形式、第二基本形式分别为

根据定义2.4有

其中，当即时，螺旋面为类空曲面；当即时，螺旋面为类时曲面。

其中

于是

又因为

不妨令，从而可得

(3.1)

1) 若时，有

即

(3.2)

令，则(3.2)等价于

当时，有

那么

即

则

其中为积分常数，当时，；当时，。

对上式两边积分可得

其中为积分常数，，当时，；当时，。

2) 若，即

(3.3)

设(b为待定系数)为(3.3)式的解，将、带入(3.3)式有

这里仅考虑的情况。

即

因此

从而可得

其中为积分常数。

对更一般的，也可以有

推广2：若，则(3.1)式在至少在区间上存在一解。

证明：若，则(3.1)有解等价于

有解。因为，即时，是连续函数，又为连续函数，所以是

连续的。因此，在区间上连续有界。由经典的Peano解的存在性定理可知，至少在区间上存在一解，因此，(3.1)式至少在区间上存在一解。

基金项目

本研究获得“上海高校一流学科(B类)”经费资助。

文章引用

吴 珩,黄平亮, (2015) 三维Minkowski空间中的一类螺旋面
A Kind of Helicoidal Surface in 3-Dimensional Minkowski Space. 理论数学,04,136-142. doi: 10.12677/PM.2015.54021

参考文献 (References)