¹伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁

²伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁

收稿日期：2022年1月3日；录用日期：2022年2月3日；发布日期：2022年2月10日

摘要

利用权不等式及实变方法，得到了带粗糙核极大算子在加权λ-中心Morrey空间上的有界性。

关键词

加权λ-中心Morrey空间，极大算子，粗糙核

Weighted Estimates of Maximal Operator on Weighted λ-Central Morrey Spaces

Yuhe Yang^1,2*, Qiaoxia Li^1,2, Zhen Xin^1,2

¹School of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang

²Institute of Applied Mathematics, Yili Normal University, Yining Xinjiang

Received: Jan. 3^rd, 2022; accepted: Feb. 3^rd, 2022; published: Feb. 10^th, 2022

ABSTRACT

By applying the weighted inequalities and the real variable methods, the boundedness of the maximal operator with rough kernel is obtained in the weighted λ-central Morrey spaces.

Keywords:Weighted λ-Central Morrey Space, Maximal Operator, Rough Kernel

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言及主要结果

作为经典的Morrey空间，它在调和分析和偏微分方程等领域有着广泛的应用，同时也可作为Lebesgue空间的一种自然推广 [1]。文献 [2] 在研究中心BMO空间和Morrey空间的关系时，引入了λ-中心Morrey空间。一些经典算子在λ-中心Morrey空间有界性结果的研究可参见 [3] [4] [5] [6]。随后，文献 [7] 中引入了加权λ-中心Morrey空间并得到了分数次积分算子的有界性。文献 [8] 中研究了奇异积分及其交换子在加权λ-中心Morrey空间上的有界性。文献 [9] 中得到了Marcinkiewicz积分及其交换子在λ-中心Morrey空间上的加权估计。

受上面研究的启发，本文将研究带粗糙核的极大算子在λ-中心Morrey空间上的加权估计。在叙述本文主要结果之前，需要引入下面的概念和记号。

设 $0\le \partial <n$，$f\in L_{loc}^1\left(R^n\right)$，带粗糙核的极大算子的定义为

$M_{\Omega }\left(f\right)\left(x\right)=\underset{Q}{\sup }\frac{1}{\left|Q\right|}{\displaystyle {\int }_Q\left|\Omega \left(x-y\right)\right|}\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y$ (1)

记 $Q\left(x,r\right)$ 为 $R^n$ 中以x为中心，边长为r，且边与坐标轴平行的方体。这里上确界取遍所有边平行坐标轴的方体 $Q\subset R^n$，$\left|Q\right|$ 表示Q的Lebesgue测度。

本文将证明粗糙核极大算子在加权λ-中心Morrey空间上的有界性。

设 $1<p,q<\infty$，$R^n$ 上的非负局部可积函数 $\omega \left(x\right)$ 称为 $A\left(p,q\right)$ 权，如果存在常数 $C>0$，使得下式成立

${\left(\frac{1}{\left|Q\right|}{\displaystyle {\int }_Q\omega {\left(x\right)}^q\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{q}}{\left(\frac{1}{\left|Q\right|}{\displaystyle {\int }_Q\omega {\left(x\right)}^{-p^{\prime }}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p^{\prime }}}\le C$， (2)

上式中的最小常数C用 ${\left[\omega \right]}_{A\left(p,q\right)}$ 表示。

定义 [7] [8] 设 $\lambda \in R$，$1<q<\infty$，${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 为局部可积的非负可测函数，加权λ-中心Morrey空间定义为

${\stackrel{\dot{}}{B}}_{{\omega }_1,{\omega }_2}^{q,\lambda }\left(R^n\right)=\left\{f:{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{{\omega }_1,{\omega }_2}^{q,\lambda }}=\underset{r>0}{\sup }{\left(\frac{1}{{\omega }_1{\left(B\left(0,r\right)\right)}^{1+\lambda q}}{\displaystyle {\int }_{B\left(0,r\right)}{\left|f\left(x\right)\right|}^q{\omega }_2\left(x\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{q}}<\infty \right\}$， (3)

其中， $B\left(0,r\right)$ 表示 $R^n$ 中以原点为中心，r为半径的球，并且当 ${\omega }_1={\omega }_2:=\omega$ 时，简记 ${\stackrel{\dot{}}{B}}_{{\omega }_1,{\omega }_2}^{q,\lambda }\left(R^n\right)={\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{q,\lambda }\left(R^n\right)$。

本文的主要定理如下。

定理设 $1<t<\infty$，$\Omega \in L^t\left(S^{n-1}\right)$，$M_{\Omega }$ 由(1)式所定义，那么当 $\omega \left(x\right)\in A_{\frac{p}{t^{\prime }}}$，$p>t^{\prime }$ 时，存在一个与f无关的常数C，使得

${\Vert M_{\Omega }\left(f\right)\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}$，

全文中， $p^{\prime }$ 表示p的对偶指标，即 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1$。C是不依赖于主要函数或者参量的常数，在不同行

中甚至在同一行中可以不同。用 $\omega \in {\Delta }_2$ 表示满足双倍条件的权函数 $\omega$ 构成的集合，即存在常数 $C>0$，使得对任意方体 $Q\subset R^n$，成立 $\omega \left(2Q\right)\le C\omega \left(Q\right)$。

2. 定理的证明

在证明定理之前，先给出下面的引理。

引理1 [8] 如果 $\omega \in A_q\left(1\le q<\infty \right)$，则对任意的 $k\in Z^{+},l<0$，以及方体 $B\subset R^n$，有

$\omega {\left(2^{k}B\right)}^l\le D_1^{kl}\omega {\left(B\right)}^l$，

其中， $1<D_1<2$。

引理2 [10] 假设给定一个零阶齐次函数 $\Omega \left(x^{\prime }\right)$ 在单位球面上的均值为零， $\Omega \in L^{\text{s}}\left(S^{n-1}\right)\left(1<s<\infty \right)$。如果 $\omega \left(x\right)\in A_{\frac{p}{s^{\prime }}},s^{\prime }\le p<\infty$。那么 $M_{\Omega }$ 在 $L^p\left(R^n\right)$ 空间上是有界的。

引理3 [11] 如果 $\omega \in A_p,1\le p<\infty$，则 $\omega \in {\Delta }_2$。对所有的 $\partial >1$，均有

$\omega \left(\partial Q\right)\le {\partial }^{nq}{\left[\omega \right]}_{A_p}\omega \left(Q\right)$。

定理的证明 设 $f\in {\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }$，给定任意球 $B=B\left(0,r\right)$，$r=\sqrt{n}l\left(Q\right)$，分解f为 $f=f_1+f_2$，其中 $f_1=f_{\chi 2B}$，则

$\begin{array}{l}\frac{1}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}{{\displaystyle {\int }_B\left|M_{\Omega }\left(f\right)\left(x\right)\right|}}^p\omega \left(x\right)\text{d}x\\ \le \frac{1}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}{{\displaystyle {\int }_B\left|M_{\Omega }\left(f_1\right)\left(x\right)\right|}}^p\omega \left(x\right)\text{d}x+\frac{1}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}{{\displaystyle {\int }_B\left|M_{\Omega }\left(f_2\right)\left(x\right)\right|}}^p\omega \left(x\right)\text{d}x\\ :=I+II\end{array}$

对 $I$，由引理2，有

$\begin{array}{c}I=\frac{1}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}{{\displaystyle {\int }_B\left|M_{\Omega }\left(f_1\right)\left(x\right)\right|}}^p\omega \left(x\right)\text{d}x\\ \le \frac{C}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}{{\displaystyle {\int }_{2B}\left|f\left(x\right)\right|}}^p\omega \left(x\right)\text{d}x\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}^p\frac{\omega {\left(2B\right)}^{1+\lambda p}}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}\end{array}$

当 $1+\lambda p\ge 0$ 时，由引理3可得

$I\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}^p$。 (4)

当 $1+\lambda p<0$ 时，由引理1可得(4)成立。

下面估计 $II$，当 $x\in B,y\in 2^{j+1}B$ 和 $j\in Z^{+}$ 时，有

$\begin{array}{c}{M}_{\Omega }\left(f_2\right)\le \frac{1}{\left|Q\right|}{\displaystyle {\int }_{Q\cap B_{\left(0,2r\right)}^c}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}\\ \le C\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{2^{j}r<\left|y\right|\le 2^{j+1}r}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|}\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y\\ \le C\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|}}\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y\end{array}$

当 $x\in B,y\in 2^{j+1}B\backslash 2^{j}B\left(j\ge 1\right)$ 时，得到 $2^{j-1}{r}_B\le \left|y-x\right|<2^{j+1}{r}_B$。

因此，

${\left({\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}{\left|\Omega \left(x-y\right)\right|}^t\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{t}}\le C{\left|2^{j+1}B\right|}^{\frac{1}{t}}$ (5)

设 $\frac{1}{s}=\frac{1}{t^{\prime }}-\frac{1}{p}$，由Hölder不等式和 $\omega \in A_{\frac{p}{r^{\prime }}},t^{\prime }\le p<\infty$，有

$\begin{array}{c}{M}_{\Omega }\left(f_2\right)\le C\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}\left|\Omega \left(x-y\right)\right|\left|f\left(y\right)\right|\text{d}y}}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{\left|2^{j+1}B\right|}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}{\left|f\left(y\right)\right|}^p\omega \left(y\right)\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}{\left|\Omega \left(x-y\right)\right|}^t\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{t}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}\omega {\left(y\right)}^{-\frac{s}{p}}}\text{d}y\right)}^{\frac{1}{s}}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{2^{j+1}B}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}{\left|f\left(y\right)\right|}^p\omega \left(y\right)\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left|2^{j+1}B\right|}^{\frac{1}{t}}{\left(\frac{{\left|2^{j+1}B\right|}^{\frac{p}{t^{\prime }}}}{\omega \left(2^{j+1}B\right)}\right)}^{\frac{1}{p}}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{\omega {\left(2^{j+1}B\right)}^{\frac{1}{p}}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^{j+1}B}\frac{1}{\omega {\left(2^{j+1}B\right)}^{1+\lambda p}}{\left|f\left(y\right)\right|}^p\omega \left(y\right)\text{d}y}\right)}^{\frac{1}{p}}\times \omega {\left(2^{j+1}B\right)}^{\left(1+\lambda p\right)\frac{1}{p}}}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}}\omega {\left(2^{j+1}B\right)}^{\lambda }\end{array}$

由于 $\lambda <0$ 和引理1，有

$\begin{array}{c}II=\frac{1}{\omega {\left(B\right)}^{1+\lambda p}}{{\displaystyle {\int }_B\left|M_{\Omega }\left(f_2\left(x\right)\right)\right|}}^p\omega \left(x\right)\text{d}x\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\omega {\left(2^{j+1}B\right)}^{\lambda p}}{\omega {\left(B\right)}^{\lambda p}}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}^p\\ \le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\omega }^{p,\lambda }}^p\end{array}$ (6)

结合(4)和(6)式的估计，定理证毕。

基金项目

伊犁师范大学校级项目(2021YSYB073)。

文章引用

杨雨荷,李巧霞,辛 珍. 极大算子在加权λ-中心Morrey空间上的加权估计
Weighted Estimates of Maximal Operator on Weighted λ-Central Morrey Spaces[J]. 理论数学, 2022, 12(02): 252-256. https://doi.org/10.12677/PM.2022.122029

参考文献