ABSTRACT

The total variation (TV) regularization term plus L1 norm, denoted by TV/L1 model, is widely used to the problem of image restoration where the observed images are corrupted by blur and impulse noise. However, TV/L1 model may produce a poor recovery solution, especially for high noise levels. In order to overcome the problem, we propose new modification of TVL1 (MTV/L1) which a linear correction term, constructed by an arc-tangent function, is added. Alternating direction method of multipliers (ADMM) is presented to solve the TV/L1 and MTV/L1 models. Numerical experiments verify that our proposed approach outperforms TV/L1 in terms of signal-to-noise ratio (SNR) values and visual quality, especially for high noise levels.

Keywords:Impulse Noise, Image Recovery, Salt-and-Pepper Noise, TV/L1 Model, Alternating Direction Method of Multipliers

脉冲噪音图像的修正恢复方法

倪 洁

长沙市一中，湖南 长沙

收稿日期：2017年2月1日；录用日期：2017年2月20日；发布日期：2017年2月23日

摘 要

对于脉冲噪音和模糊图像，最常见的恢复方法是全变分加1范数，即TV/L1模型。但是，对于高噪音水平的情形，TVL1模型的恢复效果不太好。为解决上述问题，本文提出一种新的模型，即在TV/L1模型基础上，加上一个由反正切函数构造的线性的修正项。模型求解采用交替方向法。数值实验验证了本文所提出的新方法的有效性，尤其对于高噪音情形，去除脉冲噪音的效果明显优于TV/L1模型。

关键词 :脉冲噪音，图像恢复，椒盐噪音，TV/L1模型，交替方向法

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1. 引言

图像去噪是图像处理的一个重要研究内容。图像在获取、传输和存储等过程中由于受到成像系统、存储介质以及环境因素的影响，会产生噪音和模糊等问题，从而导致图像质量下降。为改善图像质量，图像去噪去模糊至关重要。脉冲噪音是很常见的一种图像噪音，往往在图像的数据存储或信号传输中产生。脉冲噪音主要有椒盐噪音和随机值噪音。随机值噪音的去除比椒盐噪音的去除更加困难。

传统的中值滤波 [1] 能够较好的去除椒盐噪音，但是对噪音高的情况去噪效果不理想。针对图像去噪，Rudin，Osher和Fatemi [2] 提出的全变分(Total Variation, TV)正则化方法具有保留图像边沿性的优点，普遍用于图像去噪。对于脉冲噪音的去噪，普遍采用TV/L1模型，即全变分TV项加L1范数项 [3] [4] 。TV/L1模型不仅能有效去除脉冲噪音，还具有保边沿性，广泛应用于医学图像、计算机视觉等领域中 [5] [6] [7] [8] [9] 。然而，普遍使用的TV/L1模型在某些情况下会面临挑战 [10] [11] ，特别是对于高噪音情况，比如含90%的椒盐噪音图像，它只有10%的像素点的数据是真实的，其余部分像素点的数据全部被噪音污染而背离真实值，当采用TV/L1模型进行去噪，不论采用文献 [5] 的逼近算法还是文献 [10] 的交替方向算法，所恢复的图像都很不清晰，具体可见第3节数值仿真实验部分的图1的第三列。特别对于随机值噪音图像，目前看到的去除随机值噪音的研究文献 [8] [9] 最高只到60%的噪音水平。因此，研究高噪音下的脉冲噪音图像的恢复具有重要的意义。

图1. 90%椒盐噪音的模糊图像的恢复图。(a) 原图，(b) 损坏的图像，(c) TV/L1的恢复图，(d) MTV/L1的恢复图

本文针对TV/L1模型提出一种新的修正模型，数值实验表明该方法能够有效提高图像的去噪音效果。

2. 修正模型和求解算法

脉冲噪音主要有椒盐噪音和随机值噪音。假设噪音水平为，则图像u被椒盐噪音干扰后在位置k处的图像值为

而图像u被随机值噪音干扰后在位置k处的图像值为

其中为区间[0,255]中均匀分布的数。

图像去脉冲噪音的TV/L1模型是经典的ROF (Rudin、Osher和Fatemi)模型，即一种基于全变分模型的去噪方法：给定带脉冲噪音图像的观察值，寻找图像满足

(1)

其中表示图像u在像素i处的水平方向和垂直方向的一阶有限差分，可以选取1-范数和2-范数，如果图像是各向异性的，则选择，如果是各项同性，则选择。TV/L1模型的优点是在去除噪音的同时很好地保留图像的边缘信息。但与此同时这种处理方法依然存在问题，那就是对于高噪音的去除效果不太理想。

针对上面问题，受文献 [11] 的启发，本文提出TV/L1的修正模型MTV/L1：

(2)

其中 是对原始图像的一个估计，函数 定义如下：

(3)

其中为参数，一般取 ，为符号函数

修正模型MTV/L1中线性项的加入，主要是对TV/L1模型1范数项的修正，能够提高图像恢复的质量和精度。不同于文献 [11] 的校正项含两个参数，本文的修正项(3)的构造，采用反正切函数，只含有一个参数，这使得该方法在实现时更方便于参数的调试，而且去噪效果好。

TV/L1模型的修正可以进行一步修正，也可以进行多步修正，初始的估计一般选取TV/L1模型的解，之后则选取修正模型MTV/L1的最新计算结果。

对于修正模型MTV/L1，可以采用交替方向法(Alternating direction method of multipliers, ADMM)进行求解。为讨论算法方便，下面主要讨论各项同性的，即全变分项采用2-范数。

令，则修正模型MTV/L1 (2)可以改写成

(4)

其增广拉格朗日函数为

其中乘子，罚函数。把w和v看成一组变量，u为另一组变量，则可采用2-块的交替方向(ADMM) [8] 求解。

算法1 (ADMM)

步骤0：输入，给定初值。

步骤1：交替求解

步骤2：如果终止条件满足，则输出结果，否则，转步骤1。

3. 数值仿真实验

本节针对具有椒盐噪音的模糊图像的恢复问题进行数值仿真实验，TV/L1模型以及其修正模型MTV/L1均采用ADMM算法进行求解。所有结果都是在Core i5的CPU及 4G 内存的Windows 7系统下的ASUS笔记本中运行MATLAB R2012b计算得出，算法的终止条件为：

这里为相对精度，本文取，采用信噪比signal-to-noise ratio (SNR)来衡量图像被恢复的质量：

其中表示原图像的期望值，而表示恢复后的图像。

图1中，第一列为原图，第2列为加入90%水平椒盐噪音且加入平均模糊9 (average blur 9)的图像，第三列是求解TV/L1得到的恢复的图像，第四列是求解5次修正模型MTV/L1得到的恢复图像。通过比较可以看出，采用修正模型MTV/L1的恢复效果不论是视觉效果还是信噪比SNR都明显优于TV/L1模型的恢复效果，尤其是第二行的Lena图像，MTV/L1恢复的图像的SNR比TV/L1恢复的图像的SNR提高了97%。这充分说明我们所提出的修正方法的有效性和优越性。

4. 总结

本文针对TV/L1模型的不足，构造了一个线性的修正项加入到TV/L1模型中，实现对TV/L1模型的修正，其中修正的线性项依赖于图像的估计值。通过估计值，不断地对解进行修正，使得图像的质量得到提高。数值仿真试验表明我们的方法对于脉冲噪音，特别是在高噪音水平时，效果显著。

文章引用

倪 洁. 脉冲噪音图像的修正恢复方法
Recovery Correction to Images Corrupted by Impulse Noise[J]. 计算机科学与应用, 2017, 07(02): 124-128. http://dx.doi.org/10.12677/CSA.2017.72015

参考文献 (References)