Operations Research and Fuzziology
Vol.07 No.01(2017), Article ID:19807,9 pages
10.12677/ORF.2017.71003

An Algorithm to Select Satisfying Alternative for Fuzzy Multiple Attribute Decision Making Problem

Yingying Jiang

School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming Yunnan

Received: Feb. 7th, 2017; accepted: Feb. 21st, 2017; published: Feb. 24th, 2017

ABSTRACT

In this paper, the decision programming with L-R fuzzy number changed into common decision programming by sorting rule. A multi-attribute decision algorithm is presented to help decision- maker find the best alternative from alternatives set based on nonlinear utility function and outranking relation.

Keywords:Sorting Rule, L-R Fuzzy Number, Nonlinear Utility Function

一种模糊多属性决策选优算法

蒋莹莹

云南师范大学,数学学院,云南 昆明

收稿日期:2017年2月7日;录用日期:2017年2月21日;发布日期:2017年2月24日

摘 要

在属性指标值为L-R模糊数情况下,利用排序准则将含有模糊数的决策规划模型转换成普通决策规划模型。基于非线性效用函数与级别优于关系相结合的方法提出一种多属性决策算法帮助决策者对方案集中方案进行选优。

关键词 :排序准则,L-R模糊数,非线性效用函数

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

多准则决策大体分三类:基于效用函数,基于级别优于关系和基于距离。文献 [1] [2] 是利用各种形式的效用函数研究方案评价问题,绝大部分的文献所用的都是简单的线性效用函数。由于人类知识结构的不完备及对客观事物的认知具有较大的主观性,而实际的决策中经常出现决策信息的模糊性和不确定性。目前不确定性区间数 [3] [4] 、三角模糊数 [5] [6] 的多属性决策问题多有研究其中文献 [4] 给出了误差分析法 [4] 文献 [3] 提出了线性规划法。而本文决策模型的目标函数选用的是非线性的效用函数并且以L-R模糊数来表示模糊抽象的属性指标值。运用模糊理论 [6] 结合Adamo、Yager [7] 和张曾科等其他学者的模糊数排序准则提出一种新的排序准则将模糊规划转化为普通规划,简化决策规划使算法更具合理性。把模糊理论与多属性决策相结合在模糊环境下寻求更为有效的转化方法来帮助决策者对方案集中方案进行选优。

2. 备用知识

2.1. 偏好于效用函数

定义2.1.1:严格序 [8] “”: (或记作)的含义是“a优于b”(a is preferred to b);

定义2.1.2:无差异 [8] “~”: (或记作)的含义是“a无差异于b”(a is indifference to b);决策人对选择a或b同样满意。

定义2.1.3:弱序 [8] “”: (或记作)的含义是“a补劣于b”,即a优于或无差异于b。

定义2.1.4 [8] :在集合上的实值函数,若它和上的优先关系一致,即若当且仅当。则称为效用函数。

(对于完全明确的偏好,若为两个决策方案,为一效用函数,则有优于或无差异于 [8] (劣于或无差异于)。)

2.2. 隶属度

定义2.2.1 [6] :论域到[0,1]闭区间上的任意映射

都确定上的一个模糊集叫做的隶属函数 [6] ,叫做的隶属度,记为。显然,模糊完全由隶属函数画,当时,退化为退化为特征函数

2.3. L-R模糊数

定义2.3.1 [6] :设是实数域区间的映射,如果满足以下条件:

(1)

(2)

(3)在区间单调递减,则称为模糊数的基准函数。

定义2.3.2 [6] :设分别为模糊数的左右基准函数,如果

则称为L-R模糊数,记为,其中称为的均值,称为的左、右扩散。当时,L-R模糊数退化为一般的实数,即

L-R模糊数运算法则:

定理2.3.1:设则:

(1)

(2)

2.4. 不同类型属性指标值归一化

(1) 收益类模糊指标值的归一化

设有个模糊指标值。令。如果是L-R模糊数,记为分别为的左右边界值;则归一化 [6] 的模糊指标值可写为

(2) 成本类模糊指标值的归一化

设有个模糊指标值。令。如果是L-R模糊数,记为.分别为的左右边界值;则归一化的模糊指标值可写为

3. 问题描述与算法

有限方案集合为是方案的一组属性指标集,。在属性指标值模糊的情况下,候选方案的第个指标若用L-R模糊数表示,则用L-R模糊数矩阵来表示模糊多属性决策问题,如下形式:

其中。是由,转化的L-R模糊数;分别是的左、右边界值。

决策者所用的决策模型中的效用函数是非线性的 [9] ,即

用来分析判断比较方案间关系的规划其属性指标值若为L-R模糊数。则规划转换如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

其中是L-R模糊数,分别是的左、右边界值,而不是左右扩散;则也是L-R模糊数,记为

且有:

基于对L-R模糊数排序,张曾科(1977)提出了判断准则:设

则:

为避免规划转换的结果不好,现对此准则进行改进得到新的排序准则:

则规划(3)、(4)转化成如下:

(5)

(6)

此时规划由含有模糊数的规划转化成非模糊的多目标决策规划,利用经典的多目标线性规划方法求解。

由于目标之间的相互制约与矛盾,一般最优解在多目标决策问题中是不存在的。决策者必须通过其他的方法来进行求解。本文采用的是加权的方法将多目标的决策规划转化成单一目标可进行求解的决策规划。

(7)

(8)

其中

决策者可根据属性的重要程度赋予不同权重。但本文为了讨论及计算的简便把每个目标的权重看作同等重要,取

若解规划(7)得,即优于或无差异于,将中删除,同时生成约束条件。将其加入到规划(7),(8)的约束中;若最优值,在求解规划(8)若其最优值

优于或无差异于,互换的值,将中删除并生成约束条件

。将其加入到规划(7),(8)的约束中,然后用新的替换规划(7),(8)约束中的;否则保留

用此方法依次处理中的其他方案,具体实施步骤如下:

步骤一:任意的选取一组权系数, (一般为了便于计算,令)。从中找出一个能令取值最大的,则此方案即为初始满意方案,记作,令

步骤二:任取,将交给决策者进行判断,若结果为优于或无差异于,转至步骤三,如果比较的结果为优于或无差异于,转至步骤四。

步骤三:将中删除,得到约束条件,如果,那么将此约束加入规划(7)、(8)的约束中,再转至步骤五。

步骤四:交换的值,将中删除,并得到约束条件如果,那么将此约束加入到规划(7)、(8)的约束中,并以新的将此约束中原来的替换掉。

步骤五:任意选取中方案,解规划(7),若(7)的,那么将的值互换,并将中删除,并把加入规划(7),(8)的约束中然后用新的将规划(7),(8)约束中旧的替换掉;如果规划(7)的,再求解规划(8),若其最优值,那么将中删除,与此同时生成约束条件并将此约束加入到(7),(8)的约束中;否则保留。按此步骤,判断中剩余方案,并将保留下来的方案仍记作

步骤六:如果,则为决策者满意的方案,停止;否则令,返回步骤二。

4. 算例

为了解学生的身体素质情况对云南师范大学本科学生体育锻炼等级以问卷的形式做详细调查,主要是锻炼行为及归因方式、心境的调查。对学生锻炼情况从外部身体的体能锻炼到内部心境的综合评定判断其等级情况。其中心境量表主要从紧张、愤怒、疲劳、抑郁、精力、慌乱、自尊这七个方面进行考量,现从统计表中抽取部分同学的心境指标值进行心境程度的选优。

现从众多问卷表中抽四人进行心境模拟选优。用分别代表依次抽到的四位同学。方案集,用表示第位同学心境的七个属性的指标值。其中紧张、愤怒、疲劳、抑郁、慌乱属于成本类指标,精力和自尊属于收益类指标。由于问卷调查的调查项具有模糊性所以属性指标值用L-R模糊数表示,这四位同学的模糊属性值矩阵如下

为便于指标间的比较现把带扩散型的L-R模糊数转化成含边界值的模糊数,如下形式:

则上述矩阵变为:

由于指标的类型不同不便于直接应用决策模型,所以要用备用知识中的2.4不同类型指标值的归一化方法进行归一化处理,处理如下:

由决策者的方法取为初始参照方案,取由决策者判断,有优于,把中删除,同时生成约束条件

用下面规划进行抉择:

(9)

。则优于,则把从中删除,生成约束条件

并把此约束加入到规划(9)中。

对于则参考如下规划:

(10)

解得,在规划(10)的约束下求解:

解得,即劣于,把中删除。最后,即为决策者的最佳方案。

5. 结论

本文提出一种基于非线性效用函数与级别优于关系相结合在L-R模糊数情况下多属性决策选优算法。用模糊数排序准则及模糊理论将复杂的模糊数近似的处理成简单的精确数,简化了决策规划的处理步骤使得算法更为合理有效。最后通过实际例子验证算法的合理性与有效性。

基金项目

云南省自然科学基金(No. 2013FB034)。

文章引用

蒋莹莹. 一种模糊多属性决策选优算法
An Algorithm to Select Satisfying Alternative for Fuzzy Multiple Attribute Decision Making Problem[J]. 运筹与模糊学, 2017, 07(01): 22-30. http://dx.doi.org/10.12677/ORF.2017.71003

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