ABSTRACT

In this paper, we study a class of n-dimensional nonlinear wave system of high order by using the Galerkin method, Sobolev embedding theorem and prior estimate of solution, and prove the existence and uniqueness of global strong solution to the initial boundary value problem.

Keywords:Nonlinear Wave System, Prior Estimate, Galerkin Method, Sobolev Embedding Theorem, The Global Strong Solution

一类高阶n维非线性发展方程组的初边值问题

刘杰，肖黎明^*

广东技术师范学院计算机科学学院，广东 广州

Email: ^*xlmwhj@21cn.com

收稿日期：2015年1月24日；录用日期：2015年2月9日；发布日期：2015年2月15日

摘 要

本文研究了一类高阶n维非线性波动方程组，通过解的先验估计，利用Galerkin方法和Sobolev嵌入定理，证明了初边值问题整体强解的存在性和唯一性。

关键词 :非线性波动方程组，先验估计，Galerkin方法，Sobolev嵌入定理，整体强解

1. 引言

在本文中，，，，

，，，

，，

，，

其中，，“T”表示转置。

有三种因素影响弹性杆内波的传播：非线性、弥散以及耗散。文[1] 研究了在上述三种因素影响下的细长弹性杆中纵向应变波的传播问题。

文[2] 在此基础上研究了一类四阶非线性耗散色散波动方程的初边值问题，非线性耗散色散波动方程组关于空间变量导数为2阶的情形在文[3] 中有所研究，本文主要在此基础上研究了高阶的情形，关于高阶n维非线性耗散色散波动方程组的研究在已有文献中还未见到。

本文主要研究了下述在粘弹性力学中具有实际背景的一类高阶n维非线性波动方程组：

其中为中具有光滑边界的有界区域，，为正整数，为多重指标，为非负整数，且。，假设满足：

(1.4)

且Jacobian矩阵半有界，即满足：

(1.5)

(1.6)

当，；当。

2. 主要结论

定义：称为问题(1.1)~(1.3)在上的整体强解，若

对一切成立

且

定理1：若，条件(1.5)~(1.6)成立，则问题(1.1)~(1.3)存在上述意义下的整体强解。

定理2：若，条件(1.5)~(1.6)成立，则非线性问题(1.1)~(1.3)的整体强解唯一。

3. 主要结论的证明

首先介绍定理1的证明思想，即第一步构造问题(1.1)~(1.3)的近似解，然后对近似解作出先验估计，在作出先验估计基础上，由列紧性原理可证得问题(1.1)~(1.3)的整体强解。下面进行定理1的证明：

设为问题的特征函数系，则由文[4] 中的引理1.1有结论：分别构成，的正交基底。

构造问题(1.1)~(1.3)的近似解

(2.1)

并满足初值条件

(2.2)

(2.3)

由Galerkin方法，该近似解应满足如下非线性常微分方程组的初值问题

由于，，构成

的一组正交基，可选取适当的，使得当时，在空间中成立强收敛，，，。因假设，由非线性常微分方程组理论中Peano存在性定理知问题存在局部解，为得到问题在上的整体解，需证明问题中方程的右端的绝对值能用一与无关的正常数控制住，为此作出近似解的先验估计如下：

引理3.1：设，选取，使当时，及在中强收敛，若条件(1.5)，(1.6)式成立，则有估计：

引理3.2：设选取，使当时，及在中强收敛，若条件(1.5)，(1.6)式成立，则有估计：

引理3.3：设选取使当时，及在中强收敛，若条件(1.5)，(1.6)式成立，则有估计：

引理3.4：在引理3.3条件下成立不等式

引理3.1的证明：

方程(2.4)两边同乘

关于k从1到m作和得

关于i从1到N作和得

而由条件(1.5)知

首先利用格林公式，然后两端从0到t积分，得

这里，，，从而有不等式

两边加上

左边将它估计为

右边将它化为

从而有

由于当时，及在中强收敛，所以当时，，，及。以上不等式右边前四项能用一与m无关的正常数来控制。由Gronwall不等式得

引理3.1证毕！

引理3.2的证明：

对方程组(2.4)两边关于t求导得

两边同乘以得

关于k从1到m作和得

关于i从1到N作和得

而由条件(1.5)知

从而有

两边从0到t积分得

下证有界(能用一与m无关正常数控制住)。

方程组(2.4)两边同乘以得

关于k从1到m作和得

关于i从1到N作和得

令t = 0得

(**)

(其中)，

下面证明有界。

由于

当时，在中强收敛，由Sobolev嵌入定理[5] 可知，其中当时，；当时，。

所以，

从而有

因此，有界。

将中的项移至等式右边得

应用带的柯西不等式得

故可变为

再将项移至等式右边得

应用带的柯西不等式得

故可变为

因为，所以在上式中

从而有

移项整理得

取充分小，使得。

由于当时，在中强收敛，故当时，，故能用一与m无关的正常数控制住，同样道理也能用一与m无关的正常数控制住，所以有界。

又由已证不等式

因为有界，又能用一与m无关的正常数控制住，所以

其中C为与m无关的正常数，再根据Gronwall不等式得

引理3.2证毕！

引理3.3的证明：

方程(2.4)两边同乘得

关于k从1到m作和得

关于i从1到N作和得

对于右边项经计算得

取充分小，使得故成立如下不等式

由格林公式得

两边从0到t积分并移项得

由引理3.1知，

由Sobolev嵌入定理[5] 得

其中当时，；当时，。

所以。在下面的不等式中，

由于当时，，在中强收敛，所以当时，

收敛于，

能用一与m无关的正常数控制住，因此由以上不等式得

即

引理3.3证毕！

引理3.4的证明：

方程(2.4)两边同乘以，得

关于k从1到m作和得

关于i从1到N作和得

移项得如下不等式

而

所以

经计算得

由引理3.2和引理3.3的结论知

类似于引理3.2的证明过程可证

取充分小，使得，所以

即

引理3.4证毕！

下面在引理3.1~3.4的基础上给出定理1的证明。

定理1的证明：将(2.1)~(2.3)代入(2.4)及其初值条件得

由引理3.1~引理3.4的证明过程知有界，因此由常微分方程理论知上述常微分方程组在上有整体解，从而常微分方程组在上有整体解，且有下列估计式成立：

由列紧性原理知存在的一个子序列，不妨设为，使得当时，弱收敛到于，弱收敛到于

，弱收敛到于

，另一方面，由内插不等式知可被与控制住，而与是有界的，所以有界。故由引理3.1~引理3.4知于中有界，因此在中有界，由紧致嵌入到知从可选取一子序列(仍记为)在中强收敛且几乎处处收敛到。又由引理3.3的证明过程知，由[6] 中引理1.3知在中弱收敛。在(2.4)中令将

改为

两边同乘，其中，得

对求和得

对从0到积分得

对应当时，在中弱收敛，有当时，在中弱收敛，令得

因为构成的一组标准正交基，

在空间中稠密，所以对于任意的成立

上式关于求和得对任意

成立

下面验证初始条件。因为当时，弱收敛到于,弱收敛到于

，

因此，

所以，当时弱收敛到于中，而当时，在中强收敛，故

，即。

再证初始条件。因为当时弱收敛到于

，弱收敛到于

，因此，所以，弱收敛到于中，而当时，在中强收敛，故，即。

综上所述由定义为问题(1.1)~(1.3)的整体强解。

下面给出定理2的证明，定理2是关于问题(1.1)~(1.3)强解唯一性的讨论。

定理2的证明：设为非线性问题(1.1)~(1.3)的两个整体强解，

令，则满足

两边用做内积，得

由条件(1.5)知，

因此

两边从0到t积分得

两边同时加上，左边将它化为，右边将它估计为

，

因此有

取充分小使得整理得

由Gronwall不等式得

所以。

唯一性证毕！

4. 结论

本文主要研究了在粘弹性力学中具有实际背景的一类高阶n维非线性波动方程组。要求方程的非线性项一次连续可微且非线性项满足条件：的Jacobi矩阵半有界。首先选取高阶调和算子的特征函数系作为一组基，用Galerkin方法构造初边值问题的近似解，用4个引理对近似解作出一系列的先验估计，在先验估计的基础上，由列紧性原理证明了初边值问题整体强解的存在性，最后证明了初边值问题整体强解的唯一性。其中，选取高阶调和算子的特征函数系作为一组基，该特征函数系分别构成，的正交基底，这样对近似解作先验估计时会更方便。

文章引用

刘 杰,肖黎明, (2015) 一类高阶n维非线性发展方程组的初边值问题
The Initial Boundary Value Problems for a Class of n-Dimensional Nonlinear Evolution Systems of Higher Order. 应用数学进展,01,15-28. doi: 10.12677/AAM.2015.41003

参考文献 (References)