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Advances in Applied Mathematics
Vol.06 No.04(2017), Article ID:21276,7 pages
10.12677/AAM.2017.64051

Segmented Adomian Approximate Solution of Heterogeneous Aquifer Model of Groundwater Flow

Ying Wen, Shan Yin*

College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot Inner Mongolia

Received: Jun. 14th, 2017; accepted: Jul. 3rd, 2017; published: Jul. 6th, 2017

ABSTRACT

Based on the Adomian decomposition method and the Taylor formula，a segmented Adomian approximate solution of the heterogeneous aquifer model on the triangular groundwater flow region is provided. A new Adomain algorithm is provided for (initial) boundary value problem of the second order partial differential equation on the triangular region.

Keywords:Segmented Adomian Algorithm, Partial Differential Equation, Modeling of the Heterogeneous Aquifer

地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解

温颖，银山*

内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2017年6月14日；录用日期：2017年7月3日；发布日期：2017年7月6日

摘 要

基于Adomian分解法和Taylor公式，给出三角形地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解。为三角形区域对应的二阶偏微分方程的边值问题提供一个新的Adomain算法。

关键词 :分段Adomian算法，偏微分方程，地下水流区域上的异质含水层模型

Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

目前为止，研究人员们提出并发展了很多求解偏微分方程的方法，如Lie对称 [1] [2] 、Adomian分解法 [3] 、同伦摄动法 [4] [5] 、同伦分析法 [6] 、精确解方法 [7] [8] 等等。这些方法中，Adomian分解法(Adomian Decomposition Method-ADM)是由美国数学物理学家Georgie Adomian [3] 教授提出并发展起来的一种方法。该方法中假定方程的因变量和非线性项都能分解为级数。非线性项的分解式被称为Adomian多项式，段 [9] [10] 研究了Adomian多项式的计算方法的优化。Cherruault [11] 等人研究了Adomian分解法的收敛性问题。Wazwaz [12] 基于Adomian分解法考虑了奇异初值问题；D. Lesnic [13] 基于Adomian分解法考虑了广义Boussinesq问题；朱永贵 [14] 给出了Adomian逆算符方法，通过实现该算法的算例，验证了Adomian分解法的有效性。

Shidfar [15] 和Patel [16] 等人基于Adomian分解法针对矩形区域对应的偏微分方程的(初)边值问题进行研究，并提出了不同的算法。我们 [17] 对矩形区域对应的偏微分方程的(初)边值问题提出了分段带权Adomian分解法。

本文中基于Adomian分解法考虑三角形区域对应的偏微分方程的边值问题，即三角形地下水流区域上的异质含水层模型。地下水流区域上的异质含水层模型控制微分方程为：

(1)

其中是水头函数；表示月平均降雨补给；表示含水层渗透系数。设附加边界条件为

(2)

斜边上：

(3)

(4)

其中，，。

2. 地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解

将方程(1)改写成

(5)

其中，。

步骤1：利用直线与先将区域划分成如下三块，如图1所示

(6)

步骤2：在上，在方程(5)两侧作用于

考虑边界条件，并令后得到

(7)

将函数在原点Taylor展开，并记为：其中

Figure 1. Segmented area

图1. 分段区域

那么，有

(8)

(9)

由此，根据(7)-(9)构造循环公式，如下：

从这个循环公式得到

从而得到方程(5)与的项Adomian近似解

步骤3：在上，在方程(5)两边作用于算子

同时考虑边界条件，，并令后得到

根据(8)-(9)，构造循环公式

从这个循环公式得到(5)与的项Adomian近似解

其中。

步4：在方程(5)两侧作用于，同时考虑

与公式(8)-(9)，并令后获得

从这个循环公式得到(5)与的项Adomian近似解

其中。

最后归纳以上部分解得到整个区域上的分段近似解，如图2所示，

3. 结果分析

分段近似解除了边界线和上的两小段边界以外，精确满足其余的所有的边界条件。为了表征的近似程度，令边界误差为

运用余函数来表示近似解在区域内任意一点处的误差

利用表征近似解的方程误差，其中是范数。本文中得到的三项分段近似解的边界误差和方程误差分别为，。

Figure 2. Segmented three-terms approximate solution

图2. 分段三项近似解

基金项目

内蒙古自治区面向基金项目(2016MS0109)，内蒙古自治区高等学校科研研究项目(NJZY094)，内蒙古工业大学重点项目(ZD201515)。

文章引用

温颖,银山. 地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解
Segmented Adomian Approximate Solution of Heterogeneous Aquifer Model of Groundwater Flow[J]. 应用数学进展, 2017, 06(04): 435-441. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.64051

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    18. NOTES

    *通讯作者。

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