ABSTRACT

In this paper, by studying the existence of the conformal isomorphism of rational function near its attracting periodic point and superattracting periodic point, we give the local dynamical behavior of rational function at these two kinds of periodic points.

Keywords:Rational Function, Attracting Periodic Point, Superattracting Periodic Point

两类周期点的局部动力学性态

李晓琳，吴艳^*

临沂大学数学与统计学院，山东 临沂

收稿日期：2018年12月11日；录用日期：2019年1月2日；发布日期：2019年1月9日

摘 要

本文通过研究有理函数在其吸性周期点和超吸性周期点附近共形同胚的存在性，给出了有理函数在这两类周期点的局部动力学性态。

关键词 :有理函数，吸性周期点，超吸性周期点

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

复动力系统理论研究的是复解析映射迭代生成的动力系统，这一理论起源于Fatou和Julia的研究工作。有理函数在整个Riemann球面上的迭代开始于Fatou的一篇论文，他发现对几乎所有的点，有理函数 $f\left(z\right)=z^2/\left(z^2+2\right)$ 的轨道均收敛于0，但有一个Cantor集例外。稍后，Fatou和Julia独立地对有理函数的迭代进行了研究，发现了有理函数具有丰富的动力学性质，见参考文献 [1] 和 [2] 。本文主要介绍有理函数周期点附近的动力学性态，包括吸性周期点和超吸性周期点情形。

2. 预备知识

设f为Riemann球面 $\overline{ℂ}$ 到自身的有理映射，次数 $\mathrm{deg}f\ge 2$ 。任取一点 $z_0\in \overline{ℂ}$ ，称序列

$z_0=f^0\left(z_0\right),z_1=f^1\left(z_0\right),z_2=f^2\left(z_0\right),\cdots ,z_n=f^n\left(z_0\right),\cdots$

为f在点 $z_0$ 的轨道或正向轨道，其中 $f^n$ 表示n个f的复合映射。

一般而言，有理映射f的正向轨道是一个无穷序列，其复杂性是复动力系统理论所要研究的中心问题之一。然而，对于特定的初始点 $z_0$ ，轨道为有限点集时更值得关注。

若存在自然数p，使得 $f^p\left(z_0\right)=z_0$ ，则称 $z_0$ 为f的周期点。把具有上述性质的最小的自然数p称为 $z_0$ 的周期，称 $z_0$ 为p阶周期点。这时

$\left\{z_0,z_1=f\left(z_0\right),z_2=f^2\left(z_0\right),\cdots ,z_{p-1}=f^{p-1}\left(z_0\right)\right\}$

称为一条周期轨道，或周期循环。特别地，当 $p=1$ 时，称 $z_0$ 为f的一个不动点。

定义2.1 见参考文献 [3] 设 $z_0\in \overline{ℂ}$ 为有理映射f的周期为p的周期点。 $\lambda ={\left(f^p\right)}^{\prime }\left(z_0\right)$ 称为 $z_0$ 的特征值。进一步，根据 $\lambda$ 的取值情况可以对特征值进行如下分类：

1) 如果 $\left|\lambda \right|<1$ ，称 $z_0$ 为吸性周期点，( $\lambda =0$ 时称为超吸性不周期点)；

2) 如果 $\left|\lambda \right|>1$ ，称 $z_0$ 为斥性周期点；

3) 如果 $\left|\lambda \right|=1$ 且对某个整数n成立 ${\lambda }^n=1$ ，称 $z_0$ 为有理中性周期点；如果 $\left|\lambda \right|=1$ 但是 ${\lambda }^n\ne 1$ ，称 $z_0$ 为无理中性周期点。

注 见参考文献 [4] 同一条周期轨道上的不同周期点具有相同的特征值。设M为 $\overline{ℂ}$ 上的非退化的Mobius变换(即次数为1的有理映射)，对于有理映射f，称 $M^{-1}\circ f\circ M$ 为f的共轭映射。如果 $z_0$ 为f的p阶周期点，易验证 $M^{-1}\left(z_0\right)$ 也为 $M^{-1}\circ f\circ M$ 的p阶周期点，且对应的特征值相等。在上述定义中，当 $z_0=\infty$

时，特征值 $\lambda$ 的计算事实上正是借助共轭变换 $M\left(z\right)=\frac{1}{z}$ 来实现的。

我们称函数 $f:U\to U$ 与函数 $g:V\to V$ 是共形共轭的，若存在共形映射 $\phi :U\to V$ ，使得 $g=\phi \circ f\circ {\phi }^{-1}$ ，即

$\phi \left(f\left(z\right)\right)=g\left(\phi \left(z\right)\right)$ .

在此定义下映射f和g在不同坐标系下被认作同一映射。这一定义也意味着迭代函数 $f^n$ 和 $g^n$ 也是共轭的，即 $g^n=\phi \circ f^n\circ {\phi }^{-1}$ ，同样有 $f^{-1}$ 和 $g^{-1}$ 共轭，即 $g^{-1}=\phi \circ f^{-1}\circ {\phi }^{-1}$ 。注意 $\phi$ 将函数f的周期点映射到g的周期点。

解析映射在周期点附近迭代性态的研究起源于1884年Koenigs的工作、1897年Leau的工作和1903年Bottcher的工作，见参考文献 [5] 和 [6] 。本文以下主要研究f在0点的局部迭代动力学性质。

3. 周期点附近的动力学性态

如果 $z_0$ 是有理映射g的一个p阶周期点，易见可以通过一个Mobius变换将 $g^p$ 共轭于一个以0为不动点的有理映射f，且在 $z=0$ 附近f具有如下展开式：

$f\left(z\right)=\lambda z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\cdots$ . (3.1)

在0点的邻域上，当 $\lambda \ne 0$ 时，f近似于函数 $g\left(z\right)=\lambda z$ ，当 $\lambda =0$ ， $a\ne 0$ 时，f近似于函数 $g\left(z\right)=a{z}^p$ ，这里是否一定存在g到f的共轭函数 $\phi$ ？答案依赖于函数f和乘子 $\lambda$ 。

定理3.1 设f由(3.1)式表示， $0<\left|\lambda \right|<1$ ，则存在 $z=0$ 的一个邻域U及唯一一个共形映射 $\phi :U\to {\Delta }_r$ ，这里 ${\text{Δ}}_r=\left\{z|\left|z\right|<r\right\}$ ，使得 $\phi \left(0\right)=0,{\phi }^{\prime }\left(0\right)=1$ ，且满足：

$\phi \circ f\left(z\right)=\lambda \phi (z)$

证明：考虑辅助函数 ${\phi }_n\left(z\right)=\frac{1}{{\lambda }^n}{f}^n\left(z\right)$ ，它定义在 $z=0$ 附近。

首先证明 ${\phi }_n\left(z\right)$ 在 $z=0$ 某个邻域内一致收敛。取常数 $c>0$ 使得 $c^2<\left|\lambda \right|<c<1$ ，再取 $z=0$ 的一个小邻域 ${\Delta }_{\delta }=\left\{z|\left|z\right|<\delta \right\}$ ，只要 $\delta >0$ 充分小，易见当 $z\in {\text{Δ}}_{\delta }$ 时，有 $\left|f\left(z\right)\right|<c\left|z\right|$ ，故 $f\left({\Delta }_{\delta }\right)\subset {\Delta }_{\delta }$ 。所以，对任意自然数 $n$ ，有

$\left|f^n\left(z\right)\right|<c^n\left|z\right|<\delta c^n$ .

又由(2.1)可见，当 $\delta$ 充分小时，存在常数 $K>0$ ，使得 $z\in {\Delta }_{\delta }$ 时有

$\left|f\left(z\right)-\lambda z\right|<K{\left|z\right|}^2$ ,

故 $z\in {\text{Δ}}_{\delta }$ 时，

$\left|f^{n+1}\left(z\right)-\lambda f^n\left(z\right)\right|<K{\left|f^n\left(z\right)\right|}^2<K{\delta }^2{c}^{2n}$ .

从而有

$\left|{\phi }_{n+1}\left(z\right)-{\phi }_n\left(z\right)\right|=\frac{1}{{\left|\lambda \right|}^{n+1}}\left|f^{n+1}\left(z\right)-\lambda f^n\left(z\right)\right|<\frac{K{\delta }^2}{\left|\lambda \right|}{\left(\frac{c^2}{\left|\lambda \right|}\right)}^n$ .

由 $\frac{c^2}{\left|\lambda \right|}<1$ 知， ${\phi }_n$ 在 ${\Delta }_{\delta }$ 内是一致收敛的Cauchy序列。记 $\phi$ 为 ${\phi }_n$ 的极限函数，取 $U={\phi }^{-1}\left({\Delta }_r\right)$ ，其中 ${\Delta }_r$ 为充分小的圆盘，使得 ${\phi }^{-1}$ 在其上为共形映射。易见 $\phi \left(0\right)=0,{\phi }^{\prime }\left(0\right)=1$ ，且满足 $\phi \circ f\left(z\right)=\lambda \phi \left(z\right)$ 。证毕。

定理表明f在0点局部共轭于线性映射 $z\mapsto \lambda z$ ，这时f在0点附近与 $z\mapsto \lambda z$ 有相应的迭代性质，这就给出f在0点附近的局部动力学模型。

进一步，假设解析映射 以 $z=0$ 为超吸性不动点，即f在 $z=0$ 附近具有如下展开式：

$f\left(z\right)=z^k+a_{k+1}{z}^{k+1}+\cdots ,k\ge 2$ . (3.2)

则有如下定理：

定理3.2 设f由(3.2)式表示，则存在 $z=0$ 的一个邻域U及唯一一个共形映射 $\phi :U\to {\Delta }_r$ ，这里 ${\Delta }_r=\left\{z|\left|z\right|<r<1\right\}$ ，使得 $\phi \left(0\right)=0,{\phi }^{\prime }\left(0\right)=1$ ，且满足：

$\phi \circ f\left(z\right)=\phi {\left(z\right)}^k$

证明：取 $z=0$ 的邻域 ${\text{Δ}}_{\delta }=\left\{z|\left|z\right|<\delta \right\}$ 充分小，使得 $f\left(\overline{{\Delta }_{\delta }}\right)\subset {\Delta }_{\delta }$ ，且f在 ${\Delta }_{\delta }$ 内仅以 $z=0$ 为零点。由此可见，f在 ${\Delta }_{\delta }$ 内的阶数为k， $f^n$ 在 ${\Delta }_{\delta }$ 的阶数为 $k^n$ 。所以，可以取定 ${\left(f^n\left(z\right)\right)}^{1/k^n}$ 的一个分支，记为 ${\phi }_n$ ，它是 ${\Delta }_{\delta }$ 上的单值解析映射， ${\phi }_n\left(0\right)=0$ ， ${{\phi }^{\prime }}_n\left(0\right)=1$ 。下证 ${\phi }_n$ 在 ${\Delta }_{\delta }$ 内一致收敛。考虑

$h_n\left(z\right)={\log }_{+}\left|{\phi }_n\left(z\right)\right|=\frac{1}{k^n}{\log }_{+}\left|f^n\left(z\right)\right|$ ,

这里 ${\log }_{+}x=\max \left\{\log x,0\right\}$ 。当 ${\Delta }_{\delta }$ 充分小时，对于 $z\in {\Delta }_{\delta }$ ，有

$\left|\frac{f\left(z\right)}{z^k}\right|=\left|1+a_{k+1}z+\cdots \right|<2$ ,

且 $f\left(\overline{{\Delta }_{\delta }}\right)\subset {\Delta }_{\delta }$ ，所以有

$\begin{array}{c}{h}_n\left(z\right)\le {\displaystyle \sum }_{j=0}^n\frac{1}{k^{j+1}}{\log }_{+}\left|\frac{f\left(f^j\left(z\right)\right)}{{\left(f^j\left(z\right)\right)}^k}\right|+{\log }_{+}\left|z\right|\\ \le \log 2{\displaystyle {\sum }_{j=0}^{\infty }\frac{1}{k^{j+1}}}<\infty \end{array}$ .

这说明 $\left|{\phi }_n\left(z\right)\right|$ 在 ${\text{Δ}}_{\delta }$ 上一致有界，故 $\left\{{\phi }_n\left(z\right)\right\}$ 为 ${\text{Δ}}_{\delta }$ 上正规族。任取 $\left\{{\phi }_n\left(z\right)\right\}$ 的一个收敛子序列 $\left\{{\phi }_{n_j}\left(z\right)\right\}$ ，由于

$\left|{\phi }_{n_j}\circ f\left(z\right)-{\left({\phi }_{n_j}\left(z\right)\right)}^k\right|={\left|{\phi }_{n_j}\left(z\right)\right|}^k\left|1-{\left[\frac{f\left(f^{n_j}\left(z\right)\right)}{{\left(f^{n_j}\left(z\right)\right)}^k}\right]}^{\frac{1}{k^{n_j}}}\right|$ ,

且在 ${\text{Δ}}_{\delta }$ 内 $\frac{f\left(z\right)}{z^k}\to 1\left(z\to 0\right)$ ， $f^n\left(z\right)\to 0\left(n\to \infty \right)$ ， $\left|{\phi }_n\left(z\right)\right|$ 一致有界，故

$\left|{\phi }_{n_j}\circ f\left(z\right)-{\left({\phi }_{n_j}\left(z\right)\right)}^k\right|\to 0,j\to \infty$ .

这说明 $\left\{{\phi }_{n_j}\right\}$ 的极限函数满足方程 $\phi \circ f\left(z\right)=\phi {\left(z\right)}^k$ 。将(2.2)式代入方程，比较两边系数即可导出极限函数的唯一性。故 $\left\{{\phi }_n\right\}$ 在 ${\text{Δ}}_{\delta }$ 上一致收敛于极限函数 $\phi$ 。证毕。

定理表明在f的超吸性周期点附近， $f^p$ 局部共轭于映射 $z\mapsto z^k$ ，这是超吸性周期点的局部动力学模型。

基金项目

大学生创新创业训练计划项目(201710452006)，国家自然科学基金项目(11701250)。

文章引用

李晓琳,吴 艳. 两类周期点的局部动力学性态
Local Dynamical Behavior of Two Classes of Periodic Points[J]. 应用数学进展, 2019, 08(01): 26-30. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.81003

参考文献