(3 + 1)维修正KdV-ZK方程和(3 + 1)维KP方程的精确行波解 Exact Traveling Wave Solutions of the (3 + 1)-Dimensional Modified KdV-ZK Equation and the (3 + 1)-Dimensional KP Equation

doi:10.12677/AAM.2022.113096

Advances in Applied Mathematics
Vol. 11 No. 03 ( 2022 ), Article ID: 49154 , 8 pages
10.12677/AAM.2022.113096

(3 + 1)维修正KdV-ZK方程和(3 + 1)维KP方程的精确行波解

曾职云^*，张练，叶飞筠

●How to Cite this Article

贵州民族大学，数据科学与信息工程学院，贵州贵阳

收稿日期：2022年2月3日；录用日期：2022年2月28日；发布日期：2022年3月7日

摘要

本文讨论了(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解，得到了(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的扭状孤波解和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的双曲函数奇异解，并且利用Maple软件给出了解的3D和2D图，分析了解在特殊参数值下的动力行为。

关键词

行波解，(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程，(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程

Exact Traveling Wave Solutions of the (3 + 1)-Dimensional Modified KdV-ZK Equation and the (3 + 1)-Dimensional KP Equation

Zhiyun Zeng^*, Lian Zhang, Feiyun Ye

College of Data Science and Information Engineering, Guizhou Minzu University, Guiyang Guizhou

Received: Feb. 3^rd, 2022; accepted: Feb. 28^th, 2022; published: Mar. 7^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, we discuss the exact traveling wave solutions of the (3 + 1)-dimensional modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equation and the (3 + 1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation, the twisted solitary wave solutions of the (3 + 1)-dimensional modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equation and the hyperbolic function singular solutions of the (3 + 1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation were obtained; the 3D and 2D plots of the solutions were given with Maple, analyzing the dynamic behavior of the solutions under the particular parameters value.

Keywords:Traveling Wave Solution, The (3 + 1)-Dimensional Modified KdV-Zakharov-Kuznetsov Equation, The (3 + 1)-Dimensional Kadomtsev-Petviashvili Equation

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

非线性发展方程在许多领域中有着广泛的应用，例如在流体力学、固体物理、生物和海洋工程、光纤、等离子体物理和化学物理等领域中，涌现出类似于薛定谔方程 [1] 、KdV方程 [2] 等许多重要的非线性发展方程。如今，人们提出了许多有效的方法去构造非线性发展方程的精确行波解，如 $(G^{'} / G, 1 / G)$ 扩展法 [3] [4] ，正弦–余弦方法 [5] ， $e^{(- Φ (ξ))}$ 函数法 [6] [7] ，Jacobi椭圆函数法 [8] [9] ，tanh函数法 [10] ，扩展的直接代数法及新的扩展的直接代数法 [11] [12] [13] ， $(G^{'} / G)$ 扩展法 [14] [15] ，F-扩展法 [16] [17] ，映射法和扩展映射法 [18] ， $(1 / G^{'})$ 扩展法 [19] [20] [21] [22] 等。

本文主要用 $(1 / G^{'})$ 扩展法构造(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程 [14] (简称mKdV-ZK方程)

$u_{t} + α u^{2} u_{x} + u_{x x x} + u_{x y y} + u_{x z z} = 0$ (1)

和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程 [3] (简称KP方程)的精确行波解。

${(u_{t} + 6 u u_{x} + u_{x x x})}_{x} - 3 u_{y y} - 3 u_{z z} = 0$ (2)

方程(1)中包含四项耗散效应 $u_{t}, u_{x x x}, u_{x y y}, u_{x z z}$ 和一个对流过程 $u^{2} u_{x}$ 。在均匀磁场存在的情况下，方程(1)控制弱非线性离子声波的行为，包括冷离子和热等温电子的等离子体。1970年，Kadomtsev和Petviashvili在研究散色和非线性介质中的非线性波动理论时提出了KP方程，该方程是描述浅水波和等离子声波的方程，且在很多领域都有重要的应用。Zhang Z Y [8] 利用Jacobi椭圆函数展开法得到了方程(1)精确的行波解；Uttam Ghosh [23] 利用修正分数阶子方程方法得到了方程(1)的精确解析解；Md. Nur Alam [24] 利用一种 $(G^{'} / G)$ 扩展法获得了方程(1)一些新的和更一般的行波解。Ma W X [25] 总结了方程(2)的行波解和有理解；Zayed E M E [26] 利用 $(G^{'} / G, 1 / G)$ 扩展法得到方程(2)的孤立波解和三角周期解；Lu D [27] 运用拟设法获得了方程(2)的孤立波解、冲击波解和奇异波解等。

本文结构为：在第二部分，给出 $(1 / G^{'})$ 扩展法的具体步骤；在第三部分，利用 $(1 / G^{'})$ 扩展法构造了(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解；在第四部分，对行波解的图形性态进行分析；总结在第五部分。

2. $(1 / G^{'})$ 扩展法的步骤

考虑如下非线性偏微分方程

$F (u, \frac{\partial u}{\partial t}, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \dots) = 0$ (3)

令行波变换

$u = u (ξ) = u (x, y, z, t), ξ = x + y + z - c t, c \neq 0$ (4)

其中c是波速。在方程(3)中用行波变换(4)可得如下常微分方程

$P (U, U', U ″, \dots) = 0$ (5)

$' = \frac{\partial U}{\partial ξ}$ 。假定方程(5)有如下形式的解

$U (ξ) = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} {(\frac{1}{G^{'} (ξ)})}^{i}$ (6)

其中 $a_{i} (i = 0, 1, \dots, n)$ 为待定常数，n由齐次平衡原则确定， $G = G (ξ)$ 满足二阶常微分方程

$G ″ + κ G' + μ = 0$ (7)

其中 $κ, μ$ 是参数，方程(7)有如下形式的解 [19]

$\frac{1}{G^{'} (ξ)} = \frac{1}{- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ)}$ (8)

将 $U (ξ)$ 以及 $U (ξ)$ 的各阶导数与方程(7)代入方程(5)中，合并 ${(\frac{1}{G^{'}})}^{i}$ $(i = 0, 1, \dots, n)$ 的次数，得到一个关于 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 的代数方程组，再借助解(8)可得出方程(3)的精确行波解。

3. 精确行波解

在本部分利用 $(1 / G^{'})$ 扩展法构造(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解。

3.1. mKdV-ZK方程的精确行波解

将行波变换(4)代入方程(1)可得

$- c u' + α u^{2} u' + 3 u^{‴} = 0$ (9)

其中c是波速。对方程(9)积分一次，并令积分常数为零，则

$- c u + \frac{1}{3} α u^{3} + 3 u ″ = 0$ (10)

根据最高阶导数项 $u^{″}$ 与非线性项 $α u^{3}$ 的平衡原则，可得 $n = 1$ 。再由方程(6)可设方程(10)有如下形式的解

$u (ξ) = a_{0} + a_{1} (\frac{1}{G'})$ (11)

其中 $a_{0}, a_{1}$ 是待定常数，将方程(11)以及 $u (ξ)$ 的相关导数与方程(7)代入方程(10)，合并同类项令 ${(\frac{1}{G^{'}})}^{i}$ $(i = 0, 1, 2, 3)$ 的系数为0，得到关于 $a_{0}, a_{1}$ 与c的代数方程组为：

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{G^{'}})}^{0} : - a_{0} c + \frac{1}{3} α a_{0}^{3} = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{1} : - a_{1} c + α a_{0}^{2} a_{1} + 3 a_{1} κ^{2} = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{2} : α a_{0} a_{1}^{2} + 9 a_{1} κ μ = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{3} : \frac{1}{3} α a_{1}^{3} + 6 a_{1} μ^{2} = 0 \end{array}$ (12)

求解上述方程组可得：

$a_{0} = \pm \sqrt{\frac{3 c}{α}}, a_{1} = - \frac{9 κ μ}{α a_{0}}, c = - \frac{3 κ^{2}}{2}$ (13)

将方程(13)和方程(8)代入方程(11)，得出方程(1)有如下形式的双曲函数解：

$u_{1} (ξ) = \pm \frac{3 \sqrt{2 α}}{α} i [\frac{κ}{2} + \frac{μ}{- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ)}]$ (14)

由 $(1 / G^{'})$ 扩展法得到的双曲函数解(14)的3D、2D图如图1所示，其中 $ξ = x + y + z + \frac{3 κ^{2}}{2} t$ ， $κ, μ$ 为参数，i为虚数单位。

Figure 1. The 3D and 2D plots of solution (14)

图1. 解(14)的3D与2D图

3.2. KP方程的精确行波解

将行波变换(4)代入方程(2)可得

${(- c u' + 6 u u' + u^{‴})}^{'} - 6 u ″ = 0$ (15)

其中c表示波速。对方程(15)积分两次，令积分常数为零，可得

$- c u - 6 u + 3 u^{2} + u ″ = 0$ (16)

考虑 $ξ \to \pm \infty$ 时， $| u | \to 0$ ，根据最高阶导数项 $u ″$ 与非线性项 $u^{2}$ 的平衡原则，可得 $n = 2$ ，再由方程(6)可设方程(16)有如下形式的解

$u (ξ) = a_{0} + a_{1} (\frac{1}{G^{'}}) + a_{2} {(\frac{1}{G^{'}})}^{2}$ (17)

其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 是待定常数，将方程(17)以及 $u (ξ)$ 的相关导数与方程(7)代入方程(16)，合并同类项令 ${(\frac{1}{G^{'}})}^{i}$ $(i = 0, 1, 2, 3, 4)$ 的系数为0，得到关于 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 与c的代数方程组为：

$\begin{array}{l} {(\frac{1}{G^{'}})}^{0} : - a_{0} c - 6 a_{0} + 3 a_{0}^{2} = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{1} : - a_{1} c - 6 a_{1} + 6 a_{0} a_{1} + a_{1} κ^{2} = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{2} : - a_{2} c - 6 a_{2} + 3 a_{1}^{2} + 6 a_{0} a_{2} + 3 a_{1} κ μ + 4 a_{2} κ^{2} = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{3} : 3 a_{1} a_{2} + a_{1} μ^{2} + 5 a_{2} κ μ = 0 \\ {(\frac{1}{G^{'}})}^{4} : a_{2}^{2} + 2 a_{2} μ^{2} = 0 \end{array}$ (18)

求解上述方程组，得出如下解的情况：

情况1. $a_{0} = 0, a_{1} = - 2 κ μ, a_{2} = - 2 μ^{2}, c = κ^{2} - 6$ (19)

将方程(19)和方程(8)代入方程(17)，得出方程(2)有如下形式的双曲函数解：

$u_{2} (ξ) = - \frac{2 κ μ}{- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ)} - \frac{2 μ^{2}}{{(- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ))}^{2}}$ (20)

其中 $ξ = x + y + z - (κ^{2} - 6) t$ 。

情况2. $a_{0} = \frac{1}{3} (c + 6), a_{1} = - 2 κ μ, a_{2} = - 2 μ^{2}, c = - (κ^{2} + 6)$ (21)

将方程(21)和方程(8)代入方程(17)，得出方程(2)有如下形式的双曲函数解：

$u_{3} (ξ) = \frac{1}{3} (c + 6) - \frac{2 κ μ}{- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ)} - \frac{2 μ^{2}}{{(- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ))}^{2}}$ (22)

其中 $ξ = x + y + z + (κ^{2} + 6) t$ 。

Figure 2. The 3D and 2D plots of solution (20)

图2. 解(20)的3D与2D图

Figure 3. The 3D and 2D plots of solution (22)

图3. 解(22)的3D与2D图

4. 图像分析

图1是方程(1)的解 $u_{1}$ 在 $- 10 \leq x, t \leq 10$ 区间内，当参数 $μ = - 1, α = κ = y = z = 1, A = 0.4$ 时的3D性态，以及 $t = 1$ 时的2D性态。根据波向右传播，有一个波峰，且波的形状和速度保持不变，可知解 $u_{1}$ 为方程(1)的扭状孤波解。图2是方程(2)的解 $u_{2}$ 在 $- 10 \leq x, t \leq 10$ 区间内，当参数 $μ = κ = y = z = 1, A = 0.4, c = - 5$ 时的3D和 $t = - 1$ 时的2D性态。可以看出解 $u_{2}$ 有一个波谷，并且出现尖点，因此 $u_{2}$ 为方程(2)的非光滑奇异解。图3是方程(2)的解 $u_{3}$ 在 $- 10 \leq x, t \leq 10$ 区间内，当参数 $μ = κ = y = z = 1, A = 0.4, c = - 7$ 时的3D和 $t = - 1$ 时的2D性态。可以观察到解 $u_{3}$ 有一个波谷和尖点，因此 $u_{3}$ 为方程(2)的非光滑奇异解。

5. 总结

本文主要用 $(1 / G^{'})$ 扩展法构造了方程(1)和方程(2)的精确行波解，得到方程(1)的解为扭状孤波解，方程(2)的解为非光滑奇异解。做出了这些解在特殊参数值下的3D和2D图，并对这些解的性态进行了分析。

通过将解(14)与文献 [19] 中解(23)比较发现，若解(14)中令 $α = - 18$ 时，可得出解的形式为 $u_{1} (ξ) = - \frac{κ}{2} - \frac{μ}{- \frac{μ}{κ} + A \cosh (ξ κ) - A \sinh (ξ κ)}$ ，而解(23)中令 $a_{1} = - μ$ ，可得出相同形式的解。由此可见，

解(14)比解(23)更具有一般性。

致谢

我对本文进行审阅的各位老师表示由衷的感谢。

基金项目

贵州省科学技术厅基金[2019] (1162)。

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NOTES

^*通讯作者。

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