ABSTRACT

Aiming at the problem of using only the least square method in the monitoring of the cable winding state and using insufficient cable specification information, an improved circle fitting method is designed: the least squares fitting method for radius determination. The effects of sensor angular resolution, cable diameter, cable outer surface material and other factors on the fitting accuracy of cable relative position were studied experimentally. The experimental results show that the main factor affecting the fitting accuracy is the accuracy of the measured data. For the cable with common black rubber appearance, when the random measurement error of the sensor is less than 7 mm, the algorithm can ensure that the fitting error of the relative position of the cable is less than 1.5 mm.

Keywords:Cable Status Detection, Radius Determination, Least Squares Method, Fitting Accuracy, Black Rubber

半径确定的最小二乘圆拟合法在电缆卷绕监测中的应用

范巍，程超，张静怡

南京理工大学，自动化学院，江苏 南京

收稿日期：2019年9月4日；录用日期：2019年9月19日；发布日期：2019年9月26日

摘 要

针对在电缆卷绕状态的监测中仅使用最小二乘法，而对电缆规格信息利用不充分的问题，设计了一种改进的圆拟合方法：半径确定的最小二乘圆拟合法，并以实验的方式研究了传感器角度分辨率、电缆直径、电缆外表面材料等诸多因素对电缆相对位置拟合精度的影响。实验结果表明：影响拟合精度的主要因素为测量数据的精度，而对于常见黑色橡胶外表的电缆，当传感器的随机测量误差小于7 mm时，本算法可以保证电缆相对位置的拟合误差小于1.5 mm。

关键词 :电缆状态检测，半径确定，最小二乘法，拟合精度，黑色橡胶

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1. 引言

将电缆整齐卷绕于电缆卷筒上是现代电缆生产中的重要步骤，电缆卷绕是否整齐直接影响了电缆生产的合格率。目前，国内外对于如何保证电缆卷绕整齐度已经有了诸多的控制方式 [1] [2] [3]，但是却一直缺乏安全高效兼顾的电缆卷绕监测方案。其中文献 [4] 提出了一种车载射线检测方案，但整套系统安全性低且成本高；文献 [5] 提出了一种基于半径约束的最小二乘圆拟合法的监测方案，但没有充分利用电缆规格已知的特性。

因此，本文提出一种改进的圆拟合方法：半径确定的最小二乘圆拟合法，用于电缆卷绕状态的监测。由于文献 [5] 已经对电缆卷绕状态监测的算法设计进行了详细阐述，本文不再赘述。而是以实验的方式对各种影响电缆拟合精度的因素进行研究，并对用于黑色橡胶电缆测量的传感器提出相关要求。

2. 数学原理

2.1. 一般的最小二乘圆拟合法

最小二乘圆拟合法 [6] [7] [8] [9]，即是利用最小二乘法的基本原理，对圆进行拟合，其基本原理如下：

圆方程的一般形式可表示为：

${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r_0^2$ (1)

因而可以构造如下目标优化函数：

$F\left(x_0,y_0,r_0\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{\left[{\left(x_i-x_0\right)}^2+{\left(y_i-y_0\right)}^2-r_0^2\right]}^2$ (2)

式中： $\left(x_i,y_i\right)$ 为圆弧上的扫描点， $\left(x_0,y_0,r_0\right)$ 为使 $F\left(x_0,y_0,r_0\right)$ 最小时的最优解，也即拟合的圆心与半径，N为参与拟合的特征点个数。对式(2)求偏导，然后利用牛顿–拉夫逊法即可以很容易得到圆心坐标和圆的半径 $\left(x_0,y_0,r_0\right)$ 。

2.2. 半径确定的最小二乘圆拟合法

当电缆被生产加工后，其规格已经确定，因此认为拟合过程中圆半径已知，可将 $r_0=R_0$ 代入目标优化函数F，得新的目标优化函数：

$G\left(x_0,y_0\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{\left[{\left(x_i-x_0\right)}^2+{\left(y_i-y_0\right)}^2-R_0^2\right]}^2$ (3)

对式(3)求偏导，利用牛顿–拉夫逊法，给予合适的迭代初始点，即可解出使目标优化函数G，达到最小值时的未知参数 $\left(x_0,y_0\right)$ 的值。

其中，选取直径d = 50 mm的管材进行测试，比较两种拟合方法的效果，结果如图1所示。

图1表明，当参与拟合的特征点个数相同时，最小二乘法拟合出的圆的直径偏小，而半径确定的最小二乘法拟合出的圆不存在这样问题。因此在对电缆相对位置的分析中，使用半径确定的最小二乘圆拟合法获得的数据进行判断，更加可靠、准确。

图1. 拟合效果对比

3. 实验验证与分析

为试验所述检测算法的可行性，在实验室环境下搭建实验环境，如图2所示。实验中以木板模拟电缆盘；以不同直径的管材模拟不同直径的电缆；在管材表面贴上不同材料，模拟不同外表面材料的电缆。

本次实验所选用的传感器为SICK公司生产的LMS400型二维激光传感器，其相关参数如下：角度分辨率0.1˚~1˚，实验过程中使用0.1˚~0.25˚；角度误差±0.1˚；长度系统误差±4 mm；长度随机误差随反光率变化而变化，变化规律如表1所示。此外，若选取电缆与传感器的相对位置误差作为电缆圆心拟合效果的指标，则易受传感器安放位置影响。因此本实验采用电缆间的相对位置误差来替代电缆与传感器的相对位置误差作为评估电缆圆心拟合效果的指标，并设置0 mm，5 mm，10 mm，15 mm，20 mm五种相对距离模拟不同电缆间隔的情况，如图2(c)所示。

3.1. 角度分辨率对拟合精度的影响

选取6根直径d = 50 mm的白色PVC管材，紧贴电缆盘底边排列，并使管材外表面的相对距离依次为0 mm，5 mm，10 mm，15 mm，20 mm。使用不同角度分辨率对管材进行测量，并对测量数据进行处理，其结果图3和表2所示。

图2. 电缆卷绕模拟图。(a) 实验现场；(b) 不同外表面材料管材；(c) 不同测试距离

表1. 传感器随机误差与反光率的关系

表2. 不同角度分辨率下的相对位置拟合误差

图3. 不同角度分辨率的拟合误差

由图3可知，随着角度分辨率的减小，管材圆心的拟合误差有减小趋势。但当选取角度分辨率0.2˚、0.1538˚时，能使不同测试距离的拟合误差均小于1 mm，不满足拟合误差逐渐减小的趋势。又由传感器的测量特性知，当选取的角度分辨率减小时，测量数据的误差会增大，但单位管材上的扫描点数会增加。因而可知，单位管材上增加的扫描点数可以补偿，甚至过补偿在角度分辨率减小过程中增加的拟合误差。所以在实际测量过程中，可以选择最小角度分辨进行测量，但可以根据拟合误差标准选择更大的角度分辨率，以减小扫描所需的时间。

3.2. 电缆直径对拟合精度的影响

选取6根直径相同的白色PVC管材，紧贴电缆盘底边排列，并使管材外表面的相对距离依次为0 mm，5 mm，10 mm，15 mm，20 mm，改变管材的直径，使用角度分辨率θ = 0.1˚进行测量，并对测量数据进行处理，其结果图4和表3所示。

图4. 不同电缆直径的拟合误差

表3. 不同电缆直径下的相对位置拟合误差

由图4可知，随着管材直径的减小，管材圆心的拟合误差逐渐增大。这是由于在固定的角度分辨率下，随着管材直径的减小，单位管材上的扫描点减少，导致获取的管材位置信息减少。此外，由图4还可知，对于白色PVC管材，若其直径不小于20 mm，则相对位置的拟合误差不超过1.5 mm。

3.3. 外表面材料对拟合精度的影响

选取6根直径d = 32 mm的管材，紧贴电缆盘底边排列，并使管材外表面的相对距离依次为0 mm，5 mm，10 mm，15 mm，20 mm，改变管材的外表面材料，使用角度分辨率θ = 0.1˚进行测量，并对测量数据进行处理，其结果图5和表4所示。同时，使用传感器对不同外表面材料的反光率进行测量，结果如图6所示。另由传感器说明书知，测量数据的误差随反光率的降低而增加。

由图5和图6可知，对于白色PVC、白色纸、红色绝缘胶、黄色绝缘胶，其反光率峰值均在30%左右，而其相对位置的拟合误差均小于1.5 mm。但对于黑色PU、黑色橡胶、蓝色绝缘胶、绿色绝缘胶，其反光率峰值不仅很低，而且反光率为0%的扫描点接近2/3，这意味着对于相同直径的电缆，上述四种外表面材料的测量数据的误差极大，且单位电缆上的扫描点会缺失近2/3。

表4. 不同外表面材料的相对位置拟合误差

图5. 不同外表面材料的拟合误差

图6. 不同外表面材料的反光率

由此可见，不同外表面材料对测量精度的影响因素有：测量数据的精度、特征点个数。进一步实验，选取d = 50 mm的白色PVC、d = 52 mm的黑色橡胶，使用角度分辨率θ = 0.1˚进行测量。扫描结果显示，对于黑色橡胶表面，单位电缆上会分布5~6个扫描点。因而，选定圆心拟合时的特征点个数N = 5，对两种外表面材料的扫描数据进行处理，结果如表5所示。

对比表3和表5可知，当特征点个数N = 5时，白色PVC的拟合精度会受到影响，但仅0 mm距离拟合精度降低，其余距离相对位置拟合误差均小于1 mm；同时，对于黑色橡胶，其拟合误差极大，完全无法用于电缆相对位置的判断。

由此可知，参与圆心拟合的特征点个数虽然会影响拟合精度，但影响不大。因此最终影响常见黑色橡胶外表电缆位置拟合精度的主要因素为测量数据的精度。再结合表1、表3、图6可知，如果要使电缆相对位置的拟合误差小于1.5 mm，所使用的传感器测量黑色橡胶电缆时的反光率不能小于30%，随机误差不能大于7 mm。

表5. 白色PVC与黑色橡胶拟合精度对比

4. 总结

以上是电缆卷绕过程中对其卷绕状态的监测分析，在目前研究的基础之上提出了半径确定最小二乘圆的二维激光传感器的检测方式。相比于最小二乘圆拟合法，本算法能够更加准确地确定电缆的位置。同时在测量过程中，对于直径在20 mm以上，测量长度随机误差小于7 mm的黑色橡胶电缆，能够保证其相对位置的拟合误差小于1.5 mm。但该算法仍有需要改进之处，如对于电缆凸起情况，由于测量点迅速减少，能够检测的电缆直径必须增大；又如实际卷绕中电缆盘不断旋转，如何将算法与卷绕速度进行适配，还缺乏相应实验分析。因而后续还需要继续优化，以提高算法对于不同情况的适应性。

基金项目

本论文受到国家级大学生创新创业训练计划项目经费资助，项目编号：201810288045。

文章引用

范 巍,程 超,张静怡. 半径确定的最小二乘圆拟合法在电缆卷绕监测中的应用
Application of Radius-Determined Least Squares Circle Fitting Method in Cable Winding Monitoring[J]. 传感器技术与应用, 2019, 07(04): 134-141. https://doi.org/10.12677/JSTA.2019.74016

参考文献