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AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
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Ð
,2019,8(8),1418-1431
PublishedOnlineAugust2019inHans.http://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2019.88166
RadialPositiveSolutionsof
p
-Laplacian
ProblemwithNonnegativeLocalTerms
YongZeng
GuangxiUniversity,NanningGuangxi
Received:Aug.1
st
,2019;accepted:Aug.15
th
,2019;published:Aug.22
nd
,2019
Abstract
Inthispaper,wemainlystudytheexistenceofradialsolutionsforthefollowing
p
-
Laplacianproblem:
−
m
(
k
u
k
p
)
div
(
|
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|
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(
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)
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B
;
u
(0) = 0
where
f
and
m
satisfycertainconditions.Weprovethattheabove
p
-Laplacianproblem
has a radial solution through the origin mainly by means of upper and lower solutions.
Firstly,wemaketheauxiliaryproblemsequenceoftheoriginalproblem.Thenwe
getamonotoneboundedsolutionsequencebysolvingtheproblemsequence.Then
wecangetthatwhenntendstoinfinity,thereexistsa
u
,whichmakesthissolution
sequencetendto
u
.Finally,weprovethat
u
istheradialsolutionoftheoriginal
problem.Theconcreteproofisgiveninthethirdpart.
Keywords
RadialSolution,UpperandLowerSolutions,
p
-LaplacianProblem
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k
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-Laplacian
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,2019,8(8):1418-1431.
DOI:10.12677/aam.2019.88166
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-Laplacian
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K
Copyright
c
2019byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
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n
−
1
(
r,u
)
,
˜
f
n
(
r,u
)
}
d
d
Œ
•
§
{
f
n
}
∞
n
=1
•
½
Â
3
[0
,
1)
×
(0
,
∞
)
þ
ë
Y
4
~
ê
§
=
f
1
(
r,u
)
≥
f
2
(
r,u
)
≥···≥
f
n
(
r,u
)
≥
f
n
+1
(
r,u
)
≥···≥
f
(
r,u
)
,
§
·
‚
5
¿
(
r,u
)
∈
E
n
×
(0
,
∞
)
DOI:10.12677/aam.2019.881661426
A^
ê
Æ
?
Ð
Q
]
f
(
r,u
)
≤
f
n
(
r,u
)
≤
˜
f
n
(
r,u
) =
f
(
r,u
)
=
f
n
(
r,u
) =
f
(
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)
,
(
r,u
)
∈
E
n
×
(0
,
∞
)
¤
±
§
é
?
¿
;
f
8
K
⊂
[0
,
1)
§
3
K
×
(0
,
∞
)
þ
f
n
→
f
"
y
3
·
‚
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e
¡
¯
K
(2)
9
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¯
K
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µ
−
m
(
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r
1
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N
(
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N
−
1
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0
|
u
0
)
0
=
f
n
(
r,u
)
,r
∈
(0
,
1);
u
0
(1) = 0
,u
(0) =
ε
n
(17)
n
é
²
w
§
(17)
n
)
´
(17)
n
+1
þ
)
§
e
¡
·
‚
2
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Ñ
ü
^
Ú
n
µ
Ú
n
3.1
µ
é
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¿
c
∈
(0
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n
]
§
u
n
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c
´
¯
K
(17)
n
e
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"
y
²
µ
Ï
•
u
(
r
)
•
~
ê
§
¤
±
(17)
n
†
>
•
0
§
=
‡
y
Ú
n
3.1
•
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y
é
?
¿
c
∈
(0
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n
]
§
f
n
(
r,c
)
>
0
"
3ù
p
·
‚
^
ê
Æ
8
B
{
µ
n
= 1
ž
§
f
1
(
r,c
) =
e
f
1
(
r,u
) =
max
{
f
(
r,u
)
,f
(
e
1
,u
)
}≥
f
(
e
1
(
r
)
,c
)
≥
L>
0.
b
n
=
k>
1
ž
(
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¤
á
"
K
n
=
k
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ž
§
f
k
+1
(
r,c
) =
min
{
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k
(
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)
,
e
f
k
+1
(
r,u
)
}
q
Ï
•
e
f
k
+1
(
r,u
) =
max
{
f
(
r,u
)
,f
(
e
k
+1
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)
}≥
f
(
e
k
+1
(
r
)
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)
≥
L
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þ
¡
ü
‡
ª
f
Œ
µ
f
k
+1
(
r,c
)
>
0
u
´
é
?
¿
c
∈
(0
,ε
n
]
,f
n
(
r,u
)
>
0
§
¤
±
(
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¤
á
"
Ú
n
3.2
µ
¯
K
(17)
n
(
n
=1
,
2
,
3
···
)
–
•
3
˜
‡
)
u
n
∈
C
1
[0
,
1)
∩
C
[0
,
1]
…
÷
v
n
≥
2
ž
§
•
3
η
n
≤
u
n
(
r
)
≤
u
n
−
1
(
r
)
"
y
²
µ
^
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Æ
8
B
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§
n
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§
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§
d
b
(
H
2
)
§
•
3
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h
M
∈
L
(0
,
1)
∩
C
([0
,
1);(0
,
+
∞
))
¦
µ
|
f
(
r,u
)
|≤
h
M
(
r
)
,
(
r,u
)
∈
[0
,
1)
×
[
M,
∞
)
…
é
u
,
‡
~
ê
M
0
k
µ
|
f
(
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1
(
r
)
,u
)
|≤
h
M
(
e
1
(
r
))
≤
M
0
,
(
r,u
)
∈
[0
,
1)
×
[
M,
∞
)
·
‚
-
G
(
r
) =
h
M
(
r
)+
M
0
K
k
µ
G
(
r
)
∈
L
(0
,
1)
∩
C
([0
,
1);(0
,
+
∞
))
§
…
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v
µ
|
f
1
(
r,u
)
|≤
G
(
r
)
,
(
r,u
)
∈
[0
,
1)
×
[
M,
∞
)
e
5
§
4
·
‚
•
Ä
e
¡
¯
K
µ
DOI:10.12677/aam.2019.881661427
A^
ê
Æ
?
Ð
Q
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−
m
(
φ
(
N,p
))
r
1
−
N
(
r
N
−
1
|
u
0
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2
u
0
)
0
=
G
(
r
)
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∈
(0
,
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u
0
(1) = 0
,u
(0) =
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(18)
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ª
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/
ª
•
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u
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M
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r
0
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1
p
(
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1
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N
Z
1
t
s
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−
1
G
(
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)
m
(
φ
(
N,p
))
ds
)
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+
∞
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•
G
(
r
)
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1
(
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G
(
r
))
…
u
0
G
(
r
)
<
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r
∈
[0
,
1]
u
G
(
r
)=
u
G
(1)
§
Ï
•
u
G
(
r
)
>
0
§
¤
±
•
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η
1
∈
(0
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1
]
§
¦
µ
η
1
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u
G
(1)
§
2
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n
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•
§
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1
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K
(17)
1
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)
§
¤
±
N
´
µ
0
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1
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u
G
(1)
≤
u
G
(
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)
<
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∞
,
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b
(
H
2
)
•
§
•
3
¼
ê
h
η
1
∈
L
(0
,
1)
∩
C
([0
,
1);(0
,
+
∞
))
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ª
¤
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|
f
(
r,u
)
|≤
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1
(
r
)
,
(
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)
∈
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,
1)
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η
1
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G
(
r
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·
K
2.3
§
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K
(17)
1
•
3
)
u
1
∈
C
1
[0
,
1)
∩
C
[0
,
1]
…
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v
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u
1
(
r
)
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u
G
(
r
)
"
¤
±
(
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¤
á
"
b
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§
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K
(17)
k
•
3
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u
k
Ú
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k
§
¦
η
k
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u
k
≤
u
k
−
1
K
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L
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µ
•
3
G
k
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r
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¦
µ
|
f
k
(
r,u
)
|≤
G
k
(
r
)
,
(
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)
∈
[0
,
1)
×
[
M,
∞
)
n
=
k
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ž
§
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•
§
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G
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(
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k
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M
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µ
|
f
(
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k
+1
(
r
)
,u
)
|≤
h
M
(
e
k
+1
(
r
))
≤
M
k
,
(
r,u
)
∈
[0
,
1)
×
[
M,
∞
)
K
G
k
+1
(
r
)
÷
v
µ
|
f
k
+1
(
r,u
)
|≤
G
k
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(
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,
§
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n
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ž
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Œ
µ
¯
K
(17)
k
+1
•
3
)
u
k
∈
C
1
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,
1)
∩
C
[0
,
1]
…
÷
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k
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u
k
+1
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)
≤
u
k
(
r
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¤
±
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¤
á
"
–
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½
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1.1
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µ
y
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µ
d
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n
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•
§
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K
(17)
1
•
3
)
u
1
(
r
)
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η
1
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(
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i
§
Ï
•
f
1
(
r,u
)
≥
f
(
r,u
)
§
¤
±
d
·
K
2.2
·
‚
µ
u
1
(
r
)
≥
K
1
p
−
1
0
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(
r
)
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∈
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,
1]
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u
n
´
(17)
n
)
§
Ï
L8
B
{
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•
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u
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¿
r
∈
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,
1]
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v
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u
n
≥
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n
,u
n
(
r
)
≥
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p
−
1
0
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(
r
)
d
Ú
n
3.1
·
‚
•
η
n
+1
u
n
©
O
´
¯
K
(17)
n
+1
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)
Ú
þ
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§
…
η
n
+1
≤
η
n
≤
u
n
§
K
d
(
H
2
)
§
•
3
¼
ê
h
η
n
+1
∈
L
(0
,
1)
∩
C
([0
,
1);(0
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+
∞
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¦
µ
|
f
(
r,u
)
|≤
h
η
n
+1
(
r
)
,
(
r,u
)
∈
[0
,
1)
×h
η
n
+1
,u
n
i
DOI:10.12677/aam.2019.881661428
A^
ê
Æ
?
Ð
Q
]
2
d
·
K
2.3
•
§
¯
K
(17)
n
+1
•
3
)
u
n
+1
…
é
u
r
∈
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k
η
n
+1
≤
u
n
+1
(
r
)
≤
u
n
(
r
)
"
,
§
d
f
n
+1
(
r,u
)
≥
f
(
r,u
)
Ú
·
K
2.2
•
µ
u
n
+1
(
r
)
≥
K
1
p
−
1
0
γ
(
r
)
,r
∈
[0
,
1]
¤
±
§
Ï
L8
B
§
·
‚
Œ
±
¯
K
(17)
n
)
S
{
u
n
}
∞
n
=1
÷
v
µ
u
n
(
r
)
≥
K
1
p
−
1
0
γ
(
r
)
,r
∈
[0
,
1];
ε
n
≤
u
n
≤
u
n
−
1
,r
∈
[0
,
1]
u
0
n
(1) = 0
,u
n
(0) =
η
n
(19)
w
,
§
{
u
n
}
∞
n
=1
´
ü
N4
~
k
.
S
§
¤
±
•
3
¼
ê
u
¦
é
?
¿
r
∈
[0
,
1]
§
n
→∞
ž
§
u
n
→
u
"
…
§
K
1
p
−
1
0
γ
(
r
)
≤
u
(
r
)
≤
u
n
(
r
)
,r
∈
[0
,
1](20)
e
5
§
·
‚
y
²
u
´
(2)
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"
Ï
•
u
n
´
¯
K
(17)
n
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§
¤
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§
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±
¤
e
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/
ª
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u
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(
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−
Z
r
0
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−
1
p
(
t
1
−
N
Z
1
t
s
N
−
1
f
n
(
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n
(
s
))
m
(
φ
n
(
N,p
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ds
)
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Ù
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m
(
φ
n
(
N,p
)) =
m
(
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(
N
)
R
1
0
s
N
−
1
|
u
n
(
s
)
|
p
ds
)
…
u
0
n
(
r
) =
−
ϕ
−
1
p
(
r
1
−
N
Z
1
r
s
N
−
1
f
n
(
s,u
n
(
s
))
m
(
φ
n
(
N,p
))
ds
)
é
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¿
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f
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K
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,
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§
•
3
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>
0
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¦
K
⊂
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∗
§
K
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¿
n
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,
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(
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n
) =
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n
)
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±
§
·
‚
k
µ
u
0
n
(
r
) =
−
ϕ
−
1
p
(
r
1
−
N
Z
1
r
s
N
−
1
f
(
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n
(
s
))
m
(
φ
n
(
N,p
))
ds
)
,r
∈
K
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(
r
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3
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þ
î
‚
4
~
…
γ
(
r
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>
0
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¤
±
•
3
δ
0
>
0
§
¦
3
K
þ
k
K
1
p
−
1
0
γ
(
r
)
>δ
0
"
q
Ï
•
é
?
¿
r
∈
[0
,
1]
u
n
(
r
)
≥
K
1
p
−
1
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(
r
)
§
,
·
‚
Œ
±
µ
u
n
(
r
)
≥
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0
,r
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b
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2
)
§
•
3
¼
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h
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0
(
r
)
∈
C
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,
1);(0
,
+
∞
))
∩
L
1
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1)
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|
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(
r,u
n
)
|≤
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δ
0
(
r
)
,r
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K
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¿
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δ
0
(
r
)
3
K
þ
k
.
§
¤
±
é
u
,
‡
•
•
6
K
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ê
M
K
§
·
‚
k
µ
|
u
0
n
(
r
)
|≤|
ϕ
−
1
p
(
r
1
−
N
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1
r
s
N
−
1
h
δ
0
(
s
)
m
(
φ
n
(
N,p
))
ds
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|≤
M
K
,r
∈
K
DOI:10.12677/aam.2019.881661429
A^
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d
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½
n
§
·
‚
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µ
3
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u
n
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u
…
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u
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K
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µ
u
n
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u
n
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−
1
p
(
t
1
−
N
Z
1
t
s
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−
1
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(
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n
(
s
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m
(
φ
n
(
N,p
))
ds
)
dt,r
∈
K
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4
•
§
2
d
›
›
Â
ñ
½
n
µ
u
(
r
) =
u
(0)
−
Z
r
0
ϕ
−
1
p
(
t
1
−
N
Z
1
t
s
N
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1
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(
s,u
(
s
))
m
(
φ
n
(
N,p
))
ds
)
dt,r
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DOI:10.12677/aam.2019.881661430
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DOI:10.12677/aam.2019.881661431
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