Bioprocess 生物过程, 2011, 1, 5-8 http://dx.doi.org/10.12677/bp.2011.12002 Published Online December 2011 (http://www.hanspub.org/journal/bp/) Copyright © 2011 Hanspub Bp Laplace Transforming and Dynamics of CSTR Bioreaction Mathematical Models# Ling Gao1, Yilin Ren2, Jianqun Lin3, Xin Pang3, Jia nqi ang Lin3* 1School of Information Science & Engineering, Shandong Normal University, Jinan 2School of Life Science, Shandong Normal University, Jinan 3State Key Lab of Microbial Technology, Shandong University, Jinan Email: jianqianglin@sdu.edu. cn Received: Oct. 4th, 2011; revised: Nov. 2nd, 2011; accepted: Nov. 23rd, 2011. Abstract: Continuous Stirred Tank Reactor (CSTR) is commonly used in case of immobilized enzyme or immobilized cells. Mathematical model is a useful tool in reactor design, operation condition optimization, and production process optimization. The mathematical models of dynamic process are usually in forms of differential equations. Laplace transforming can make the solution of the differential equations easy. In addi- tion, Laplace transforming is often used in building the transfer function in field of process automation. In this paper, the methods of Laplace transforming and dynamic analysis of the mathematical models for CSTR with immobilized biocatalysts are introduced in detail. Keywords: Mathematical Model; Laplace; CSTR; Biocatalyze CSTR 生物催化反应过程数学模型拉氏变换及过程动态特性# 高 玲1,任一林 2,林建群 3,庞 欣3,林建强3* 1山东师范大学信息科学与工程学院,济南 2山东师范大学生命科学学院,济南 3山东大学微生物技术国家重点实验室,济南 Email: jianqianglin@sdu.edu.cn 收稿日期:2011 年10 月4日;修回日期:2011 年11 月2日;录用日期:2011 年11 月23 日 摘 要:连续搅拌反应器是固定化酶、固定化细胞经常采用的反应器形式。数学模型是反应器设计、 操作条件优化以及催化生产过程优化的必要工具。动态过程的数学模型一般是微分方程的形式。拉氏 (Laplace)变换可以简化微分方程的求解,此外,拉氏变换还 是自动控制领 域构建传递函 数数学模型 的 工具。本文以连续搅拌反应器固定化酶或固定化细胞催化过程的数学模型为例,介绍生物催化过程数 学模型拉氏变换及过程动态特性分析方法。 关键词:生物数学模型;拉氏变换;CSTR;生物催化 1. 引言 与传统化工工艺相比,生物催化具有常温、常压、 环保、无毒等优点,在食品、医药甚至大宗化工原料 或中间体生产方面越来越多地受到产业界关注[1]。与 发酵工程相比,生物催化具有容积效率高、产品纯度 高、副产物少、废弃物少、工艺简单等优点。生物催 化过程中最常使用固定化酶或固定化细胞,使生物催 化剂限制于生物反应器中连续或循环使用,从而大大 降低生物催化剂的成本以及反应过程操作的复杂性[2]。 与批式操作方式相比,连续操作大大提高了生产效率 和容积生产率,是固定化酶、固定化细胞理想的操作 方式。数学模型是反应过程分析、反应器设计、反应 过程优化的有力工具[3-6]。拉氏(Laplace)变换可以简化 微分方程的求解并可用于构建传递函数数学模型,用 于自动控制过程的分析、设计和实施[7]。为此,本文 以连续搅拌反应器固定化酶或固定化细胞催化过程 的数学模型为例,介绍生物催化过程数学模型的拉氏 变换及过程动态特性分析方法。 #资助信息:国家科技支撑项目(2011BAC02B04),国家重点基础研 究计划(973)(2010CB630902),国家自然科学基金(31070034),中国 博士后基金(200902568),山东省自然科学基金(2009ZRB019US)。 高玲 等生物催化反应过程数学模型拉氏变换及过程动态特性 6 | CSTR 2. CSTR固定化生物反应器微分方程模型 3. 数学模型拉氏变换及过程动态特性 反应体系如图 1所示,建立如下微分方程数学模 型: d din C C VFCCV t r (1) d dC P VVrF t P (2) 其中,V,反应器体积(l);C,底物浓度(g/l);Cin, 进料底物浓度(g/l);F,底物流加速率(l/h);rC,反应 速率(g/l/h);P,产物浓度(g/l)。 定义稀释率 D(1/h): F DV (3) 方程(3)代入方程(1)、(2)得: d din C CDCC r t (4) d dC PrDP t (5) 固定化酶或细胞催化反应速率 rC由米氏方程定义, Cm S VC r K C (6) 方程(6)代入方程(4)、(5)则有: d d m in S VC CDC C tK C (7) d d m S VC PDP tKC (8) 其中 2 l/h,4 1,0.5 1/h,0.2 g/l mS FVV K 。 Figure 1. Schematic diagram of the CSTR 图1. CSTR 反应器示意图 方程(6)为非线性方程,为适合拉氏变换的运算需 对rC进行线性化处理。用 Taylor 级数在平衡点 C处 对rC展开,并忽略二阶以上各项,得: 2 1 m Cm SS S VC C rV C KC KCKC C (9) 方程(9)代入方程(7)、(8)分别得方程(10)、(11) : 2 d d 1 in m m SS S CDC C t VC C VCC K CK KC C (10) 2 d d 1 m S m SS VC P tKC C VC KCKC CDP (11) 将参数数值以及底物平衡点浓度 1g/lD代入 方程(10)、(11)分别得方程(12)、(13): d0.57 0.50.347 din CCC t (12) d0.50.069 0.35 d PPC t (13) 反应开始时 Cin为1 (g/l),则 C(0) = 1 (g/l),P(0) = 0 (g/l)。对方程(12)、(13)进行Laplace 变换得方程(14)、 (15): 0.5 0.347 0.57 0.57 in s CsC s sss (14) 0.069 0.35 0.5 0.5 Ps Cs sss (15) 将方程(14)代入方程(15)得方程(16): 0.035 0.5 0.57 0.419 0.176 0.5 0.57 in PsC s ss s ss s (16) 假设流入底物浓度稳定为1 g/l,但从 0时刻产生 Copyright © 2011 Hanspub Bp 高玲 等生物催化反应过程数学模型拉氏变换及过程动态特性 | CSTR 7 宽度为 0.25 h高度为 5 g/l的冲激输入,之后继续稳定 在1 g/l。如式(17)所示: 0 600.25 h 10.25 h in t Ct t t 1 冲激输入幅度为: 5 g/l0.25 h1.25 gh/lM (18) 方程(18)等价的输入方程为: 11.25 in Ct t (19) 其中, 为单位冲激函数。对方程(19)进行拉氏变 换得: t 11.25 in Cs s (20) 将方程(20)代入方程(14)、(16),并整理得方程 (21)、(22): 0.153 1.625 0.57 0.57 Cs ss s (21) 1.669 0.211 0.5 0.57 s Ps ss s (22) 对方程(21)、(22)进行拉氏反变换,得到底物和产 物浓度的时域解: 0.57 1.357e 0.268 t Ct (23) 0.5 0.57 17.814e 18.555e0.74 tt Pt (24) 对方程(23)、(24)作图,结果见图2(曲线 1、2)。 结果显示在 0时刻底物浓度最高(曲线1),这是由于 0~0.25 小时高底物浓度冲激造成的,之后逐渐降低, 最后稳定于 0.3 (g/l)。产物浓度(曲线2)在第 2小时达 到峰值,即比底物浓度峰值延迟2小时。 对于前面的讨论,如果 rC = 0,即无生物催化发 生,则方程(4)变为: d din CDC C t (25) 对方程(25)进行拉氏变换为: 11 21 0.5 in CsC s ss s Figure 2. Mo del pr edi ct ion s of t ime se rie s of subst rat es a nd pr oduct . 1. Substrate at r 0; 2. Product at r 0; 3. S ub s trate at r =0 C C C 图2. 模型预测底物和产物浓度时间曲线. 1. rC 0时底物 浓度曲线; 2. rC 0时产物浓度曲线; 3. rC =0时底物浓度曲线 1 1.625 21 0.5 Cs ss s (27) 对方程(27)进行拉氏反变换为: 0.5 0.625eCt 1 t (28) 对方程(28)作图,结果见图 2(曲 rC = ,本文选择了较为简单的反应 体系 几个区间进行处理。 线3)。结果显示 0情况下,底物浓度下降速度慢于rC 0的情况, 底物浓度最终平衡浓度低于rC 0的情况。这是由于 rC 0的情况下生物催化反应对底物的消耗增加了底 物浓度的下降速度,降低了底物的平衡浓度,模型预 测与实际情况相符。 作为基本方法介绍 ,例如,采用最为常用的米氏方程,而没有考虑 产物抑制和底物抑制效应。在本模型中增加底物抑制 效应较为方便,只需用具有底物抑制效应的反应动力 学方程代替米氏方程即可,动力学方程的自变量不变, 仍是底物浓度 S。但若增加产物抑制效应,则需在反 应动力学方程中引入新的自变量,即产物浓度 P。用 Taylor 级数对方程进行线性化时需要用双自变量的 Taylor 级数展开方法。在 C(s)方程中含有Cin(s)和P(s) 两个输入变量。此外,本文以CSTR 连续操作系统为 例,其特点是在平衡操作点底物浓度和产物浓度基本 恒定,变化幅度不大。这样,在操作点附近对系统进 行线性化处理误差很小。如果选用分批操作方式,底 物浓度和产物浓度变化范围较大,线性化近似会扩大 误差。为了增加精度,可以把整个浓度变化范围分成 将冲激输入方程(20)代入方程(26)得: (26) Copyright © 2011 Hanspub Bp 高玲 等 | CSTR 生物催化反应过程数学模型拉氏变换及过程动态特性 Copyright © 2011 Hanspub Bp 8 催化动态过程的分析 分方程模型的拉式变换方便了模型的求解 和分 ) [1] 欧阳平凯. 走向 21 世纪的化学化工与生物化工技术[J]. 江苏 M. Kaieda, T. Matsumoto, chnology and Bioprocess En- ization using genetic algorithm. tation with i nhibition effec ts of lactic acid and glucose. Bio - ge to ol. New York: John Wiley & Sons, 2004: 15-65. 4. 结论 数学模型能方便地用于生物 和预测;微 析。本文以CSTR 固定化生物反应器生物催化过 程为例,介绍了生物数学模型的构建、线性化、拉氏 变换方法。这些方法同样适合于其它生物生物过程数 学模型的处理。 参考文献 (References 科技信息, 2000, 17(5): 22-25. [2] K. Ban, S. Hama, K. Nishizuk,A. Kondo, H. Noda and H. Fukuda. Repeated use of whole-cell biocatalysts immobilized within biomass support particles for biodiesel fuel production. Journal of Molecular Catalysis B: En- zymatic, 2002, 17(3-5): 157-165. [3] J. Lin, S. Lee, H. Lee and Y. Koo. Modeling of typical microbial cell growth in batch culture. Biote gineering, 2000, 5(5): 382-385. [4] J. Lin, S. Lee and Y. Koo. Model development for lactic acid fermentation and parameter optim Journal of Microbiology and Biotechnology, 2004, 14(6): 1163- 1169. [5] J. Lin, S. Lee and Y. Koo. 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