Pure Mathematics
Vol.07 No.01(2017), Article ID:19513,10
pages
10.12677/PM.2017.71004
The Automorphism Group of A Class of Abelian p-Group
Shuzhen Fang, Fang Zhou
Department of Mathematics, Taiyuan Normal University, Jinzhong Shanxi
Received: Dec. 25th, 2016; accepted: Jan. 10th, 2017; published: Jan. 13th, 2017
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Let 
be the cyclic group of order 
where 
is a prime number, and
. Using matrix representation, J. N. S. Bidwell got the automorphisms of direct products
, and 
which have no common direct factor. In this paper, the generators of the automorphism of direct product 
and the relations between them are obtained.
Keywords:Automorphism, Cyclic Group; Matrix Representation; Direct Product
一类交换p-群的自同构群
方树珍，周芳
太原师范学院数学系，山西 晋中
收稿日期：2016年12月25日；录用日期：2017年1月10日；发布日期：2017年1月13日
摘 要
设
是
阶的循环群，其中
为素数，
。J. N. S. Bidwell利用矩阵表示方法得到了没有共同直因子的直积
和
的自同构群。本文采用同样的方法得到了直积
的自同构群的生成元和生成关系。
关键词 :自同构群，循环群，矩阵表示，直积
1. 引言
设群
，其中
为素数，
互不相同，
为
阶的循环群。J. N. S. Bidwell在文献 [1] [2] [3] 给出了没有共同直因子直积的自同构群的结构，并通过矩阵表示方法得到了直积
，
的自同构群，其中
互不相同，并通过GAP软件计算了直积
的自同构群，周芳等人在文献 [4] 中利用该方法得到了给定半直积的稳定自同构群可分解为若干结构简单的特殊子群乘积的充要条件。本文中我们用矩阵表示的方法计算了
的自同构群，得到了该自同构群的生成元和生成关系。本文的符号是标准的，见 [1] 。
2. 主要内容
设
，其中
为素数，
互不相同，不失一般性，设
，由 [1] 可得
，其中
且
，
分别为模
的原根，即有
，其中
，于是
生成
，进而
是阶为
的循环群；进一步，
，于是
。
另若
，有
；若
，有
，则
生成
，进而
是阶为
的循环群，其中
。
令
有
。
于是
。
通过对
计算，当
，有
；当
，有
。
根据矩阵主对角线元素的顺序，首先计算
的共轭关系，
由于
，于是
。
类似计算结果有
，
。
由于
，于是
。
类似计算结果有
，
。
我们得到
的共轭关系如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
接下来计算
的共轭关系，
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
我们得到
的共轭关系如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
重复类似的计算过程，我们得到
的共轭关系：
，
，
，
，
。
对于形如
较复杂的共轭关系，计算如下：
由于
，于是
。
在接下来的计算中为方便书写，需定义参数
，其中
，此时
。
对于
的共轭关系，
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
我们得到
的共轭关系如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
对于
的共轭关系，
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
由于
，于是
。
我们得到
的共轭关系如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
接下来计算
的共轭关系，
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
由于
，于是
。
我们得到
的共轭关系如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
对于
的共轭关系，
由于
，于是
。
由于
，于是
。
类似计算结果有
。
我们得到的
共轭关系如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
重复类似的计算过程，我们得到生成元
的共轭关系，整理如下，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
。
最后计算更为复杂的转置共轭
，其中
，
此时，第一个矩阵和最后一个矩阵可分别记作
，这是由于
，有
，
为对应的结果；同样由于
，有
，
为对应的结果。而第二个矩阵可分解为
其中，
。
将
记作
，其中
是
对应的结果，而
，
，于是得到
。
通过计算我们得到其余生成元的转置共轭：
其中
分别为
，
，
对应的结果；
其中
分别为
，
，
对应的结果；
其中
分别为
，
，
对应的结果；
其中
分别为
，
，
对应的结果；
其中
分别为
，
，
对应的结果。
至此，我们得到16个生成元的136种生成关系，
基金项目
国家自然科学基金(11401424)和山西省自然科学基金(2013011001-3)资助项目资助。
文章引用
方树珍,周 芳. 一类交换p-群的自同构群
The Automorphism Group of A Class of Abelian p-Group[J]. 理论数学, 2017, 07(01): 20-29. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.71004
参考文献 (References)
- 1. Bidwell, J.N.S. (2006) Computing Automorphisms of Finite Groups. Ph.D. Thesis, University of Otago, Dunedin.
- 2. Bidwell, J.N.S., Curran, M.J. and McCaughan, D.J. (2006) Automorphisms of Direct Products of Finite Groups. Archiv der Mathematik, 86, 481-489. https://doi.org/10.1007/s00013-005-1547-z
- 3. Bidwell, J.N.S. (2008) Automorphisms of Direct Products of Finite II. Archiv der Mathematik, 91, 111-121. https://doi.org/10.1007/s00013-008-2653-5
- 4. 周芳, 马玉杰, 刘合国. 半直积的稳定自同构群[J]. 数学进展, 2010, 39(6): 673-678.