ABSTRACT

By using the Lewis-Riesenfeld invariant theory, the geometric phase in a generalized Jaynes-Cummings model with double mode operators and phase operators has been studied. Compared with the dynamical phase, the geometric phase in a cycle case is independent of the frequency of the double photon field, the coupling coefficient between photons and atoms, and the atom transition frequency. It is apparent that the geometric phase has the pure geometric and topological characteristics, which means that the geometric phase represents the holonomy in the Hermitian linear bundles.

Keywords:Geometric Phase, Lewis-Riesenfeld Invariant Theory, Generalized Jaynes-Cummings Model

具有双模运算符和相位运算符的广义Jaynes-Cummings模型中的几何相位

乔元新，于肇贤

北京信息科技大学理学院，北京

收稿日期：2017年8月5日；录用日期：2017年8月25日；发布日期：2017年8月31日

摘 要

通过使用Lewis-Riesenfeld不变理论，已经研究了具有双模运算符和相位运算符的广义Jaynes-Cummings模型中的几何相位。与动力学相位相比，一个周期情况下的几何相位与双光子场的频率无关，光子和原子之间的耦合系数以及原子跃迁频率。显然，几何相具有纯几何和拓扑特征，这意味着几何相位代表了厄米线性束中的和乐。

关键词 :几何相位，Lewis-Riesenfeld不变理论，广义Jaynes-Cummings模型

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1. 引言

众所周知，Pancharatnam [1] 首先引入几何相位的概念来研究古典光在不同极化状态下的干扰。Berry [2] 在循环绝热演化的情况下发现了Pancharatnam相位的量子对应物。Ahyalov和Anandan [3] 对其扩展到了非绝热循环演化。Samuel等人 [4] 通过扩展到非循环演化和顺序投影测量来研究纯态几何相位的一般性。几何相位是量子运动学的结果，因此与状态空间中的路径的动态起源的详细性质无关。Mukunda和Simon [5] 通过将在状态空间中穿过的路径作为几何相位的主要概念给出了运动学方法。通过放宽绝热条件，统一性和演化的循环性，进行了进一步的推广和改进 [6] 。最近，混合状态的几何相位也已经被研究 [7] [8] [9] 。

我们知道Lewis和Riesenfeld [10] 提出的量子不变性理论是用于处理与时间相关的哈密顿量系统的强大工具。通过引入基本不变量的概念的一般性，并用于研究几何相位 [11] [12] [13] [14] ，与时间相关的薛定谔方程的精确解。Berry相位的发现不仅是旧的量子绝热近似理论的突破，也为我们许多物理现象提供了新见解。Berry相位的概念已经不同的方向得到发展 [15] - [23] 。

自从几何相位发现以来，它对物理理论和应用均产生了重大影响。一方面，其理论层面的研究十分广泛，包含：绝热和循环过程、非绝热和非循环的推广、混态、非对角项、开放系统以及它与微分几何和规范场理论的广泛联系。另一方面，它的应用几乎触及了物理研究的方方面面，例如：分子物理学、凝聚态以及量子信息与计算。其次，量子精确和准精确可解问题无论从理论物理学家还是实验物理学家的角度看都有重要的意义，因为其理论计算的结论可以和实验的结果直接对照。最后，狭义相对论的理论结论超越我们日常的经验而且几乎不可能在平常的低速实验中得到观察，例如：运动的尺缩短和运动的钟变慢等现象。所以，借助于光学实验验证它的结论变得非常有意义。

在本文中，通过Lewis-Riesenfeld不变量理论，我们将研究具有双模运算符和相位运算符的广义Jaynes-Cummings模型中的几何相位。这对在凝聚态和量子光学中的新奇现象发现有一定的理论意义。

2. 模型

具有双重模式运算符和相位运算符的广义Jaynes-Cummings模型中的哈密顿量被描述为 [24]

(1)

其中()和 ()是双光子湮灭(产生)运算符。 ()是原子定义的伪旋律运算符，其中和是保利矩阵，代表原子和光场之间的耦合强度，是电磁波的频率，是原子的跃迁频率。

我们介绍以下运算符：

(2)

(3)

还有以下对易关系：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中{,}代表反对易括号。方程(1)式变为

(8)

(9)

所以我们可以把我们的研究限制在我们在超对称准正弦矩阵和的希尔伯特空间，随后，我们用特定的特征值来代替运算符。

3. 量子系统的几何相因子

我们首先说明了Lewis-Riesenfeld(L-R)不变量理论 [10] 。对于与时间相关的一维系统其哈密顿量则存在称为不变量的运算符将会满足方程式，

(10)

给出与时间有关的不变量的特征值方程

(11)

当。该系统与时间相关的薛定谔方程为

(12)

根据L-R不变理论，等式(12)的特解与关于的本征函数只有相位因子不同，即

(13)

这表明形成方程(12)解的完整集合。然后可以把(12)的薛定谔方程的一般解写为下列形式

(14)

此时

(15)

并且。

对于(8)式的哈密顿量描述的系统，我们可以定义以下不变量

(16)

将方程(8)和方程(16)带入方程(10)，得到一个辅助方程

(17)

(18)

其中，dot表示时间导数，表示算子的特征值。

为了获得与时间无关的不变量我们可以引入单位变换当满足以下关系时，很容易发现

(19)

和

(20)

得到与时间无关的不变量

(21)

根据方程(19)，我们可以选择

(22)

根据方程(22)，在方程(16)中的不变量变为

(23)

通过使用Baker-Campbell-Hausdoff公式 [25]

(24)

通过，当满足下列等式时，很容易得到

(25)

有

(26)

对于，方程(12)有一个的具体解：

(27)

其中

(28)

(29)

对于，有

(30)

此时

(31)

(32)

从等式(28)~(29)，(31)~(32)我们得出结论，当，系统的动力学和几何相位因子分别为和。特别地，当我们考虑不变量的参数空间中的周期，并且使常数时，从式(29)和(32)分别得到一个方程，

(33)

这里表示不变量的参数空间上的立体角。

4. 结论

本文通过使用Lewis-Riesenfeld不变量理论，研究了具有双模运算符和相位运算符的广义Jaynes-Cummings模型中的几何相位。与动力学相位相比，一个周期情况下的几何相位与双光子场的频率无关，包括光子和原子之间的耦合系数以及原子跃迁频率。很明显，几何相具有纯粹的几何和拓扑特征。

基金项目

本文得到北京信息科技大学研究生院基金支持。

文章引用

乔元新,于肇贤. 具有双模运算符和相位运算符的广义Jaynes-Cummings模型中的几何相位
Geometric Phase in a Generalized Jaynes-Cummings Model with Double Mode Operators and Phase Operators[J]. 凝聚态物理学进展, 2017, 06(03): 74-80. http://dx.doi.org/10.12677/CMP.2017.63010

参考文献 (References)