ABSTRACT

Using elementary method, we get all the prime ideals of integral domain $\mathbb{Z}\left[x\right]$ , which give an explicit proof of a result in Mumford’s red book. We get the Krull dimension 2 of $\mathbb{Z}\left[x\right]$ by direct computation as a by-product.

Keywords:Integral Domain, Prime Ideal, Maximal Ideal, Krull Dimension, Euclid Domain

$\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的素理想与Krull维数

焦荣政

扬州大学数学科学学院，江苏 扬州

收稿日期：2017年11月4日；录用日期：2017年11月17日；发布日期：2017年11月23日

摘 要

本文用初等方法考虑一元多项式环 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上的素理想、极大理想。进而得到 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的Krull维数为2。

关键词 :整环，素理想，极大理想，Krull维数，欧几里得整环

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1. 引言

有理整系数上一元多项式环 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上的所有素理想是一个很有意思的问题。一个整系数多项式在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上生成的理想是不是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上的素理想有一些判别法则。如标准的Eisenstein判别法

定理1： $f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是一个整系数多项式。如果满足：

1) $p$ 不是 $a_n$ 的因子；2) $p$ 是 $a_{n-1},a_{n-2},\cdots ,a_1,a_0$ 的因子；3) $p^2$ 不是 $a_0$ 的因子。

则 $f\left(x\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的不可约多项式。

再列举其它一些看上去比较简洁的判别准则。

A. Cohn也有一个经典判别准则：

定理2：如果将素数 $p$ 表示成十进制则 $p=a_m{10}^m+a_{m-1}{10}^{m-1}+\cdots +a_0$ ，则

则 $f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_0$ 在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上不可约。(文献 [1] )

1981年Brillhart, Filaseta, Odlyzko [2] 将此结果推广成任意在 $b$ -进制。

定理3：如果将素数 $p$ 表示成 $b$ -进制 $p=a_m{b}^m+a_{m-1}{b}^{m-1}+\cdots +a_0$ ，则

则 $f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_0$ 在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上不可约。

M. R. Murty [3] 还进一步推广至有限域上的多项式。

2000年M. Cavachi [4] 中证明了

定理4： $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中互素的多项式，且 $\mathrm{deg}f\left(x\right)<\mathrm{deg}g\left(x\right)$ ，则

$f\left(x\right)+pg\left(x\right)$ 在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上除了有限个素数 $p$ 外不可约。

2006年A. I. Bonciocat 与N. C. Bonciocat [5] 给出：

定理5：设 $f\left(x\right)=p^m{a}_n{x}^n+p^e{a}_{n-2}{x}^{n-2}+a_{n-3}{x}^{n-3}+\cdots +a_0$ 是整系数多项式。

其中 $p$ 是素数， $n\ge 3$ 。且 $a_0$ ， $a_{n-2}$ ， $a_n$ 均不是0；而 $a_{n-2}$ ， $a_n$ 都不是 $p$ 的倍数。如果

$p^m>\left|a_n{a}_{n-2}\right|p^{3e}+{\displaystyle {\sum }_{i=3}^n\left|a_n^{i-1}{a}_{n-i}\right|p^{ie}}$ ，且 $m$ 与 $e$ 的奇偶性不同。则 $f\left(x\right)$ 在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上不可约。

2013年J. Harrington与L. Jones [6] 给出了

定理6：设 $f\left(x\right)=x^n+k_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +k_{1}x+k_0$ 是整系数多项式。这里 $3\le k_{n-1}\le k_{n-2}\le k_1\le k_0\le 2k_{n-1}-3$ 。则 $f\left(x\right)$ 与 $f\left(x^2\right)$ 在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 上不可约。

由这些判别准则中任何一个，我们都可以造出 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中有无穷多个不可约多项式。

如果 $g\left(x\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的不可约多项式，容易知道由 $g\left(x\right)$ 在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中生成的主理想 $\left(g\left(x\right)\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的素理想，也就有商环 $Z\left[x\right]/\left(g\left(x\right)\right)$ 是整环。但我们知道，整环 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 不是主理想环，比如容易验证 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中由2和一个整系数多项式 $x^3+2x+1$ 生成的理想 $\left(2,x^3+2x+1\right)$ 就不是由一个整系数多项式生成的主理想。另一个有意思的问题， $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中所有的素理想是些什么样子？

2. Z[x]中素理想分类

1) $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}\left[x\right]$ ， $\mathbb{Z}$ 中的素数 $p$ 是其中的素元，当然是 中不可约的。看成 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的元素时，在 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中也是不可约的。所以其生成的理想看成 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的理想时也是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的素理想。所以{(p)│p是素数}是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的素理想。

另外，由于 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 是整环，所以零理想是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的素理想。代数几何中将 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的零理想看成 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的广点(generic point)。

2) 如果 $g\left(x\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的不可约多项式，则由它生成的主理想 $\left(g\left(x\right)\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的素理想。

再来细究 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的极大理想 $\mathfrak{M}$ ，也就是在什么情形下，商环 $F=\mathbb{Z}\left[x\right]/\left(\mathfrak{M}\right)$ 是一个域。我们先来考虑域F的特征char(F)。熟知一个域的特征是0或者一个素数q。首先我们来说明域 $F=\mathbb{Z}\left[x\right]/\left(\mathfrak{M}\right)$ 的特征char(F)不可能是0。这是因为 $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}\left[x\right]$ ，如果 $\text{char}\left(F\right)=0$ ，则有 $F\supset \mathbb{Q}$ ，这显然不对，因为分数跑到整数之外了，故域F的特征只能是素数q。

可以做作自然同态映射 $F=\mathbb{Z}\left[x\right]/\left(\mathfrak{M}\right)$ 到 $\bar{F}={\mathbb{Z}}_q\left[x\right]/\left(\bar{\mathfrak{M}}\right)$ ，实际上就是通常的整系数一元多项式模q映射，其中 $\bar{\mathfrak{M}}$ 是 $\mathfrak{M}$ 在 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 中的系数模q的自然像。显然域 $F$ 到 $\bar{F}$ 的自然同态是满同态。由于 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]/\left(\bar{\mathfrak{M}}\right)$ 是域，这样理想 $\bar{\mathfrak{M}}$ 是整环 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 的极大理想，因而是素理想。顺便说一句，因为有限整环是域，所以整环 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 的素理想与极大理想本质上是一回事。注意到 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 是有限域 ${\mathbb{Z}}_q$ 上的一元多项式环，抽象代数里基本结果告诉我们，域上一元多项式环是欧几里得整环，从而是主理想整环，也就是 $\bar{\mathfrak{M}}$ 是整环 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 中的一个不可约多项式。任取此多项式在自然同态下的一个原像，容易用反证法证明该原像是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的一个不可约多项式，至此我们已经证明了 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的极大理想 $\mathfrak{M}=\left(q,f\left(x\right)\right)$ 。

3) $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的极大理想形如 $\mathfrak{M}=\left(q,f\left(x\right)\right)$ ，其中了 $q$ 是素数， $f\left(x\right)$ 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的一个不可多项式，且 $f\left(x\right)$ 模q是 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 中的不可约多项式。

上面实际就给出D. Munford名著 [7] 中Example H的一个严格初等证明。

3. Z[x]的Krull维数

十九世纪末德国学派将代数集的维数定义为其函数域的超越次数，而上世纪40年代以来至今代数几何里采用的Krull维数：即函数环中素理想列的最大长度。

设P是环R的素理想，则素理想列 $P=P_0⊋P_1⊋\cdots$ 的长度上界称为P的高度，记为 $ht\left(P\right)$ 。对任一个理想 $I⊊R$ ，称 $\underset{I\subset P}{\inf }ht\left(P\right)$ 为理想I的高度 这里的P是R中素理想。R中素理想列的长度的上界称为环R的Krull维数，记为dim(R)。

由上节直接的讨论，我们知道 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的素理想列长度达到上确界2的链为 $0⊊\left(q\right)⊊\left(q,f\left(x\right)\right)$ ，这里 是 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 中的不可约多项式，且多项式 $f\left(x\right)$ 模 $q$ 后是 ${\mathbb{Z}}_q\left[x\right]$ 中的一个不可约多项式。这样就有 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的素理想列长度上确界为2。也就是整环 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的Krull维数是2。我们这里给出的是最直接的方法来计算 $\mathbb{Z}\left[x\right]$ 的Krull维数。交换代数里面有更一般的结果，那涉及很专业的交换代数方法与技巧，有兴趣的可参看 [8] 推论10.12。

致谢

本工作得到江苏高校品牌专业工程资助(No. PPZY2015B109)。并感谢审稿人提出有益的修改意见。

文章引用

焦荣政. Z[x]的素理想与Krull维数
Prime Ideals and Krull Dimension of Z[x][J]. 应用数学进展, 2017, 06(08): 942-945. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.68113

参考文献 (References)