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PureMathematics
理论数学
,2021,11(4),419-427
PublishedOnlineApril2021inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2021.114054
量子环面代数及其上的李代数
陆狄雷,常智华
华南理工大学数学学院,广东广州
Email:ludyray@126.com
收稿日期:
2021
年
3
月
2
日;录用日期:
2021
年
4
月
2
日;发布日期:
2021
年
4
月
12
日
摘要
量子环面代数在
A
型扩张仿射李代数的研究中起到重要作用
.
两个变量的量子环面代数
C
q
在
q
是一个
m
次本原单位根时,同构于
m
阶矩阵代数的一个有扭双重
loop
代数
.
为证明这一结果
,
本文具体地构造了矩阵代数的双重
loop
代数的一个有限自同构群并将量子环面代数
C
q
实现为矩
阵代数的双重
loop
代数在这一有限群作用下的不动点子代数
.
进一步将量子环面代数的结果应用
于以其为坐标环的特殊线性李代数
sl
n
(
C
q
)
,
我们得到
sl
n
(
C
q
)
在
q
是单位根时是基于有限维单李
代数
sl
mn
(
C
)
的一个有扭双重
loop
代数
.
关键词
量子环面,有扭双重
loop
代数,扩张仿射李代数
QuantumToriandLieAlgebrasover
QuantumTori
DileiLu,ZhihuaChang
SchoolofMathematics,SouthChinaUniversityofTechnology,GuangzhouGuangdong
Email:ludyray@126.com
文章引用
:
陆狄雷
,
常智华
.
量子环面代数及其上的李代数
[J].
理论数学
,2021,11(4):419-427.
DOI:10.12677/pm.2021.114054
陆狄雷
,
常智华
Received:Mar.2
nd
,2021;accepted:Apr.2
nd
,2021;published:Apr.12
th
,2021
Abstract
QuantumtoriplayimportantrolesinthestudyofextendedaffineLiealgebraoftype
A
.Thequantumtorus
C
q
intwovariablesisisomorphictoatwisteddoubleloop
algebraofthe
m
×
m
-matricesprovidedthat
q
isa
m
-thprimitiverootofunit.In
ordertoprovethisresult,weconcretelyconstructafinitegroupofautomorphismof
the doubleloop algebraofmatricesandrealizethequantum torus
C
q
as itssub-algebra
offixedpointsunderthisaction.Wefurtherapplythisresulttothespeciallinear
Liealgebra
sl
n
(
C
q
)
coordinatedbythequantumtorus
C
q
,andconcludethattheLie
algebra
sl
n
(
C
q
)
isalso atwisteddouble loopLiealgebra basedon thefinite-dimensional
simpleLiealgebra
sl
mn
(
C
)
if
q
isarootofunit.
Keywords
QuantumTorus,TwistedDoubleLoopAlgebra,ExtendedAffineLieAlgebra
Copyright© 2021byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
介绍
有限维复单李代数可以通过有限型根系和
Cartan
矩阵进行分类
.20
世纪
50
年代后期
,V.G.
Kac
和
R. V.Moody
分别推广了
Cartan
矩阵的概念
,
引入了
Kac-Moody
代数的概念
,
并进一步对
其中的仿射型
Kac-Moody
代数给出了基于有限维李代数的
(
有扭
)loop
代数的实现
.
因为同时具
有
Chevalley-Serre
和
loop
实现
,
仿射李代数的结构和表示的研究近几十年取得了丰硕的成果
(
参
考文献
[1]).
20
世纪
90
年代初
,S.Azam,B.Allison,S.Berman,Y.Gao
和
A.Pianzola
在
[2]
中进一步将
仿射型
Kac-Moody
代数推广到扩张仿射李代数
.
事实上
,
论文
[3]
已证明零度为
0
的扩张仿射李代
数就是有限维可列单李代数
,
而零度为
1
的扩张仿射李代数恰为仿射
Kac-Moody
代数
.
对于零度
更大的情形
,
论文
[4]
证明了除
A
型外其它类型的扩张仿射李代数的无中心核同构于一个基于有限
维单李代数的多重
(
有扭
)loop
代数
.
A
型的扩张仿射李代数较为特别
,
论文
[5]
指出当
n
>
3
时
,
零度为
ν
的
A
n
型扩张仿射李代数的无中心核同构于
ν
个变量的量子环面代数上的特殊线性李代
DOI:10.12677/pm.2021.114054420
理论数学
陆狄雷
,
常智华
数
.
量子环面代数是一个非交换的含幺结合代数
.
论文
[6]
对零度为
2
的扩张仿射李代数做了更为细致的研究
,
得到了它们的完整分类
.
特别地
,
零度为
2
的
A
n
型扩张仿射李代数的分类依赖于
2
个变量的量子环面代数的分类
.
从论文
[5]
可以
知道
,
当参数
q
不是一个单位根时
,
量子环面代数
C
q
是一个单的结合代数
.
但
q
是一个单位根时
,
量子环面代数
C
q
不是单的
,
它的中心与两个变量的
Laurent
多项式代数
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
同构
.
根据论
文
[6]
的结果
,
把量子环面代数
C
q
看成其中心为基环的代数
,
通过基环的扩张可以得到
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
分式域上的一个有限维代数
.
通过证明这个有限维代数是中心单的结合代数,从而说明了量子环面
代数
C
q
事实上是
Larent
多项式环
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
上的全矩阵代数的一个扭形式
(
某个有限自同构群
作用下的不动点子代数
).
本文我们具体地给出
Laurent
多项式环
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
上的全矩阵的代数的有限自同构群
,
并证
明相应的不动点子代数与
q
是单位根时的量子环面代数
C
q
同构
.
即
,
通过自同构的直接构造来说
明
C
q
是矩阵代数的一个有扭双重
loop
代数
(
第
2
节
).
并进一步在第
3
节中说明以这样的量子环面
代数为坐标环的特殊线性李代数也是有限维单李代数的有扭双重
loop
代数
.
这些结果帮助我们更
为简单地理解以量子环面代数
C
q
为坐标环的特殊线性李代数的有限维表示的分类的结果
,
也启发
我们借助于多重
loop
李代数的结论来对以量子环面代数为坐标环的李代数进行更为深入地研究
.
2.
量子环面代数
量子环面代数是多项式代数的非交换推广
.
我们在本节中回顾量子环面代数的定义和基本性
质
,
并通过构造矩阵代数上的一些有限阶自同构证明量子环面代数同构于矩阵代数的有扭双重
loop
代数
.
定义
2.1.
设
Q
=(
q
ij
)
i,j
=1
,...,ν
是一个
ν
×
ν
的复方阵且满足
q
ii
=1
,i
=1
,...,ν,
且
q
ij
=
q
−
1
ji
,
1
≤
i,j
≤
ν.
定义复数域上
ν
个变量的
量子环面代数
C
Q
[
x
±
1
1
,...,x
±
1
ν
]
为由生成元
x
±
1
1
,...,x
±
1
ν
和定义关系
x
i
x
−
1
i
=1=
x
−
1
i
x
i
,i
=1
,...,ν,
x
i
x
j
=
q
ij
x
j
x
i
,
1
≤
i,j
≤
ν.
决定的结合代数
.
特别地
,
当
ν
=2
时
,
Q
=
1
q
q
−
1
1
由一个参数
q
决定
,
我们将
C
Q
[
x
±
1
,y
±
1
]
简记为
C
q
.
即
,
C
q
是由
x
±
1
和
y
±
1
生成的含幺结合代数
,
生成元满足定义关系
xx
−
1
=
x
−
1
x
=1=
yy
−
1
=
y
−
1
y,xy
=
qyx.
量子环面代数的中心和导子等性质已在文献
[5]
中进行了详细的讨论
,
我们仅在这里列出本文
中所需的若干性质
.
命题
2.2.
([5])
Z
(
C
q
)
C
q
.
DOI:10.12677/pm.2021.114054421
理论数学
陆狄雷
,
常智华
•
{
x
i
y
j
,i,j
∈
Z
}
C
q
,
•
C
q
=[
C
q
,
C
q
]
⊕
Z
(
C
q
)
.
•
q
,
Z
(
C
q
)=
C
;
C
q
.
•
q
m
,
x
m
y
m
=
y
m
x
m
.
(2.1)
Z
(
C
q
)
x
±
m
,y
±
m
Laurent
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
.
我们这里考虑
q
是
m
次本原单位根的情形
.
由于其中心是交换的
Laurent
多项式代
数
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
,
量子环面代数
C
q
是
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
上的有限型的结合代数
,
即
C
q
作为交换
环
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
的模是有限生成的
.
更进一步
,
C
q
是
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
上的
m
×
m
矩阵代数
M
m
(
C
)
⊗
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
相对于环扩张
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
⊆
C
[
x
±
1
,y
±
1
]
的扭形式
(twistedform),
也
称为
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
上的
Azumaya
代数
.
文献
[6]
中通过说明
C
q
在
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
的分式域
K
上的
扩张
C
q
⊗
C
[
x
±
m
,y
±
m
]
K
是
K
上的有限维中心可除代数证明了这一事实
,
我们在这里通过矩阵代数
上的自同构具体地给出这个扭形式
.
为此
,
我们引入矩阵
X
=
1
q
q
2
.
.
.
q
m
−
1
,Y
=
01
10
1
.
.
.
.
.
.
0
10
容易验证
,
它们满足下列性质
:
•
X
m
=1=
Y
m
.
•
XY
=
qYX
.
•
{
X
i
Y
j
|
0
≤
i,j
≤
m
−
1
}
是
M
m
(
C
)
的一组基
.
矩阵
X
和
Y
可以给出矩阵代数
M
m
(
C
)
上的两个
m
阶自同构
:
σ
X
:
M
m
(
C
)
−→
M
m
(
C
)
,A
−→
XAX
−
1
,
σ
Y
:
M
m
(
C
)
−→
M
m
(
C
)
,A
−→
YAY
−
1
.
引理
2.3.
M
m
(
C
)
σ
X
σ
Y
(i)
σ
X
σ
Y
=
σ
Y
σ
X
.
(ii)
σ
X
(
X
i
Y
j
)=
q
j
X
i
Y
j
,
i,j
=0
,
1
,...,m
−
1
.
(iii)
σ
Y
(
X
i
Y
j
)=
q
−
i
X
i
Y
j
,
i,j
=0
,
1
,...,m
−
1
.
引理可直接计算验证
,
我们在此略去细节
.
DOI:10.12677/pm.2021.114054422
理论数学
陆狄雷
,
常智华
接下来我们考虑矩阵代数
M
m
(
C
)
相应于自同构
σ
X
和
σ
Y
的双重有扭
loop
结合代数
.
记
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
为两个变量
u
和
v
的
Laurent
多项式代数
.
首先将自同构
σ
X
和
σ
Y
延拓为无扭
loop
代数
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
上的自同构
:
˜
σ
X
:
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
→
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
,A
⊗
u
i
v
j
7→
q
−
j
σ
X
(
A
)
⊗
u
i
v
j
,
˜
σ
Y
:
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
→
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
,A
⊗
u
i
v
j
7→
q
i
σ
Y
(
A
)
⊗
u
i
v
j
.
自同构
˜
σ
X
和
˜
σ
Y
同样满足
:
˜
σ
m
X
=˜
σ
m
Y
=1
,
˜
σ
X
˜
σ
Y
=˜
σ
Y
˜
σ
X
.
因此
,
它们定义了有限群
Γ=
Z
/
m
Z
×
Z
/
m
Z
在
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
上的作用
.
我们将证明
定理
2.4.
q
m
,
C
q
loop
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
Γ
.
,
C
q
∼
=
(
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
])
Γ
.
(2.2)
Proof.
因为
{
X
i
Y
j
|
i,j
=0
,
1
,...,m
−
1
}
是
M
m
(
C
)
的一组基
,
所以
{
X
i
Y
j
⊗
u
r
v
s
|
i,j
=0
,
1
,...,m
−
1
,r,s
∈
Z
}
是
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
的一组基
.
由引理
2.3,
我们直接计算
˜
σ
X
(
X
i
Y
j
⊗
u
r
v
s
)=
q
j
−
s
X
i
Y
j
⊗
u
r
v
s
,
˜
σ
Y
(
X
i
Y
j
⊗
u
r
v
s
)=
q
−
i
+
r
X
i
Y
j
⊗
u
r
v
s
.
说明
a
ijr s
X
i
Y
j
⊗
u
r
v
s
∈
(
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
])
Γ
当且仅当
a
ijr s
=
q
j
−
s
a
ijrs
,
且
a
ijr s
=
q
−
i
+
r
a
ijr s
.
即
,
a
ijr s
̸
=0
仅当
j
≡
s
(
mod
m
)
且
i
≡
r
(
mod
m
)
.
注意到
X
m
=
Y
m
=1
,
我们有
loop
代数
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
在
Γ
作用下的不动点子代数
(
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
])
Γ
有一组基
{
X
i
Y
j
⊗
u
i
v
j
|
i,j
∈
Z
}
.
它们的乘积满足
(
X
i
Y
j
⊗
u
i
v
j
)(
X
k
Y
l
⊗
u
k
v
l
)=
X
i
Y
j
X
k
Y
l
⊗
u
i
+
k
v
j
+
l
=
q
−
jk
X
i
+
k
Y
j
+
l
⊗
u
i
+
k
v
j
+
l
.
另一方面
,
由命题
2.2,
量子环面代数
C
q
有一组基
{
x
i
y
j
|
i,j
∈
Z
}
,
它们也满足
x
i
y
j
x
k
y
l
=
q
−
jk
x
i
+
k
y
j
+
l
,i,j,k,l
∈
Z
.
DOI:10.12677/pm.2021.114054423
理论数学
陆狄雷
,
常智华
因此
,
φ
:
C
q
→
(
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
])
Γ
,x
i
y
j
7→
X
i
Y
j
⊗
u
i
v
j
,i,j
∈
Z
.
是一个代数同构
.
注记
2.5.
上述定理说明当
q
是一个单位根时
,
两个变量的量子环面代数
C
q
是矩阵代数的一个有
扭双重
loop
代数
.
但对于
ν>
2
个变量的量子环面代数
C
Q
,
即便在
Q
=(
q
ij
)
中所有元素
q
ij
都是
单位根的情形都不一定是一个有扭的多重
loop
矩阵代数
.
此时把
C
Q
看成是以其中心作为基环上
的代数是仍然有限维的
,
但这个有限维代数的结构目前仍不清楚
.
3.
量子环面上的特殊线性李代数
基于
S. Berman,Y.Gao
和
Y.Krylyuk
在论文
[5]
中的结果
,
零度为
2
的
A
n
-
型扩张仿射李代
数与量子环面
C
q
上的特殊线性李代数
sl
n
(
C
q
)
中心同源
.
这里的特殊线性李代数事实上可以对任
何一个含幺结合代数
A
定义
,
即
,
sl
n
(
A
)=
{
A
∈
gl
n
(
A
)
|
tr
(
A
)
∈
[
A
,
A
]
}
,
(3.1)
其中
gl
n
(
A
)
是元素在
A
中的全体
n
阶方阵在通常的换位运算下形成的李代数
.
在上一节中
,
我们证明了参数
q
是
m
次本原单位根时
,
两个变量的量子环面代数
C
q
同构于
m
阶全矩阵代数
M
m
(
C
)
的双重
loop
代数在有限群
Γ=
Z
/
m
Z
×
Z
/
m
Z
作用下的不动点子代数
.
此
时
,
sl
n
(
C
q
)=
sl
n
((
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
])
Γ
)
.
(3.2)
我们将进一步证明
:
sl
n
(
C
q
)
是有限维李代数
sl
mn
(
C
)
的一个多重有扭
loop
代数
.
设
A
是一个含幺结合代数
,
Γ
是
A
的自同构群的一个有限子群
.
则
Γ
可以通过在每个元素上
分别作用的方式作用在李代数
gl
n
(
A
)
上
,
且这一作用可以限制到
sl
n
(
A
)
.
我们仍然把这样得到的
李代数
sl
n
(
A
)
的自同构群的有限子群记为
Γ
.
考虑结合代数
A
在
Γ
作用下的不动点子代数
A
Γ
.
容易看出
gl
n
(
A
Γ
)=
gl
n
(
A
)
Γ
.
(3.3)
但不动点子代数
A
Γ
上的特殊线性李代数
sl
n
(
A
Γ
)
通常并不同构于李代数
sl
n
(
A
)
在
Γ
作用下的
不动点子代数
sl
n
(
A
)
Γ
.
例
3.1.
在
2
阶矩阵代数
M
2
(
C
)
上定义自同构
:
τ
:
M
2
(
C
)
→
M
2
(
C
)
,
ab
cd
7→
01
10
ab
cd
01
10
=
dc
ba
.
记
Γ=
⟨
τ
⟩
为由
τ
生成的自同构群
.
则
M
2
(
C
)
Γ
=
ab
ba
a,b
∈
C
.
DOI:10.12677/pm.2021.114054424
理论数学
陆狄雷
,
常智华
容易验证
:
M
2
(
C
)
Γ
,
M
2
(
C
)
Γ
=0
.
但
[
M
2
(
C
)
,
M
2
(
C
)]
Γ
=
sl
2
(
C
)
Γ
=
sl
2
(
C
)
∩
M
2
(
C
)
Γ
=
0
b
b
0
b
∈
C
.
但我们可以证明下面的引理
:
引理
3.2.
A
,
Γ
A
.
sl
n
(
A
Γ
)=
sl
n
(
A
)
Γ
[
A
,
A
]
∩
A
Γ
=[
A
Γ
,
A
Γ
]
.
(3.4)
Proof.
由特殊线性李代数的定义
,
sl
n
(
A
Γ
)=
A
∈
gl
n
(
A
Γ
)
tr
(
A
)
∈
[
A
Γ
,
A
Γ
]
=
A
∈
gl
n
(
A
)
Γ
tr
(
A
)
∈
[
A
Γ
,
A
Γ
]
.
而
sl
n
(
A
)
Γ
=
sl
n
(
A
)
∩
gl
n
(
A
)
Γ
=
A
∈
gl
n
(
A
)
Γ
tr
(
A
)
∈
[
A
,
A
]
.
当
A
∈
gl
n
(
A
)
Γ
=
gl
n
(
A
Γ
)
时
,
自然有
tr
(
A
)
∈
A
Γ
.
所以
sl
n
(
A
)
Γ
可写为
sl
n
(
A
)
Γ
=
A
∈
gl
n
(
A
)
Γ
tr
(
A
)
∈
[
A
,
A
]
∩
A
Γ
.
因此
,
当
[
A
,
A
]
∩
A
Γ
=[
A
Γ
,
A
Γ
]
时有
sl
n
(
A
Γ
)=
sl
n
(
A
)
Γ
,
充分性得证
.
下面证明必要性
:
设
sl
n
(
A
Γ
)=
sl
n
(
A
)
Γ
.
记
e
11
(
a
)
为
gl
n
(
A
)
中
(1
,
1)
位置为
a
其余位置为
0
的矩阵
.
则
a
∈
[
A
Γ
,
A
Γ
]
当且仅当
e
11
(
a
)
∈
sl
n
(
A
Γ
)=
sl
n
(
A
)
Γ
,
这等价于
a
∈
[
A
,
A
]
∩
A
Γ
.
因
此
,
[
A
,
A
]
∩
A
Γ
=[
A
Γ
,
A
Γ
]
.
注记
3.3.
上述引理中在
n
=1
时是自然成立的
.
事实上
,
sl
1
(
A
)
Γ
=
sl
1
(
A
)
∩
A
Γ
=[
A
,
A
]
∩
A
Γ
,
sl
1
(
A
Γ
)=[
A
Γ
,
A
Γ
]
.
接下来回到量子环面
C
q
上特殊线性李代数
sl
n
(
C
q
)
的讨论
.
在上一节中
,
我们定义了有限群
Γ=
⟨
˜
σ
X
,
˜
σ
Y
⟩
在
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
上的作用
,
进而通过逐个位置作用到
sl
n
(
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
])
上
.
进而有下面的定理
:
定理
3.4.
q
m
,
sl
n
(
C
q
)
∼
=
(
sl
n
(
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]))
Γ
∼
=
sl
mn
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
Γ
.
(3.5)
Proof.
记
A
=
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
,
Γ=
⟨
˜
σ
X
,
˜
σ
Y
⟩
.
则由定理
2.4
可知
,
C
q
∼
=
A
Γ
.
我们验证结合
代数
A
满足上述引理的条件
.
DOI:10.12677/pm.2021.114054425
理论数学
陆狄雷
,
常智华
在定理
2.4
的证明过程中
,
我们已经说明
M
m
(
C
)
有一组基
{
X
i
Y
j
|
i,j
=0
,...,m
−
1
}
.
因为
tr
m
−
1
i,j
=0
a
ij
X
i
Y
j
=
m
−
1
i
=0
a
i
0
(1+
q
i
+
q
2
i
+
···
+
q
(
m
−
1)
i
)=
ma
00
+
m
−
1
i
=1
a
i
0
1
−
q
mi
1
−
q
i
=
ma
00
,
所以
m
−
1
i,j
=0
a
ij
X
i
Y
j
∈
sl
m
(
C
)=[
M
m
(
C
)
,
M
m
(
C
)]
当且仅当
a
00
=0
.
因此
,
sl
m
(
C
)
有一组基
{
X
i
Y
j
|
i,j
=0
,...,m
−
1
,
且
(
i,j
)
̸
=(0
,
0)
}
.
基于上述讨论
,
结合代数
A
=
M
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
有一组基
{
X
i
Y
j
⊗
u
k
v
l
|
i,j
=0
,...,m
−
1
,k,l
∈
Z
}
.
因此
,
[
A
,
A
]=
sl
m
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
的一组基为
{
X
i
Y
j
⊗
u
k
v
l
|
i,j
=0
,...,m
−
1
,
且
(
i,j
)
̸
=(0
,
0)
,k,l
∈
Z
}
.
注意到
a
ijkl
X
i
Y
j
⊗
u
k
v
l
∈
A
Γ
当且仅当
a
ijkl
非零时有
k
≡
i
(
mod
m
)
且
l
≡
j
(
mod
m
)
.
因此
,
[
A
,
A
]
∩
A
Γ
的一组基为
{
X
i
Y
j
⊗
u
i
v
j
|
i,j
∈
Z
,m
-
i
或
m
-
j
}
.
(3.6)
另一方面
,
由定理
2.4
有
A
Γ
∼
=
C
q
.
由命题
2.2
可得
[
C
q
,
C
q
]
的一组基为
{
x
i
y
j
|
i,j
∈
Z
,m
-
i
或
m
-
j
}
.
通过同构
A
Γ
∼
=
C
q
,(3.6)
也是
[
A
Γ
,
A
Γ
]
的一组基
.
至此
,
我们验证了结合代数
A
在
Γ
的作用下满足引理
3.2
的条件
.
因此
,
sl
n
(
C
q
)
∼
=
sl
n
(
A
Γ
)=
sl
n
(
A
)
Γ
∼
=
sl
mn
(
C
)
⊗
C
[
u
±
1
,v
±
1
]
Γ
.
(3.7)
即
,
sl
n
(
C
q
)
是
sl
mn
(
C
)
的一个有扭双重
loop
代数
.
致谢
作者感谢汪永杰博士在论文写作过程中给予的建议。
基金项目
广东省基础与应用基础研究基金项目
2020A1515011417
。
参考文献
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126
.
https://doi.org/10.1090/memo/0603
DOI:10.12677/pm.2021.114054426
理论数学
陆狄雷
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常智华
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DOI:10.12677/pm.2021.114054427
理论数学