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PureMathematics
理论数学
,2022,12(3),323-343
PublishedOnlineMarch2022inHans.http://www.hanspub.org/journal/pm
https://doi.org/10.12677/pm.2022.123037
n
维广义
Fock
空间
F
p
φ
上的
Hankel
算子
郝丽丽,李海绸
华南农业大学数学与信息学院,广东广州
收稿日期:
2022
年
1
月
25
日;录用日期:
2022
年
3
月
1
日;发布日期:
2022
年
3
月
8
日
摘要
对于
1
≤
p<
∞
,利用有界
(
消失
)
平均震荡函数的性质,本文讨论了一类
n
维广义
Fock
空间
F
p
φ
上的
Hankel
算子
H
f
和
H
¯
f
的有界性和紧性。其中权函数
φ
∈
C
2
(
C
n
)
且在流的意义下满足
dd
c
φ
∼
=
ω
0
。同时
,
利用
Berezin
变换刻画了空间
BMO
和
VMO
的几何性质。
关键词
Fock
空间,
Hankel
算子,有界性,紧性
HankelOperatorsonn-Dimension
GeneralizedFockSpaces
F
p
φ
LiliHao,HaichouLi
SchoolofMathematicsandInformation,SouthChinaAgriculturalUniversity,
GuangzhouGuangdong
Received:Jan.25
th
,2022;accepted:Mar.1
st
,2022;published:Mar.8
th
,2022
文章引用
:
郝丽丽
,
李海绸
.n
维广义
Fock
空间
F
p
φ
上的
Hankel
算子
[J].
理论数学
,2022,12(3):323-343.
DOI:10.12677/pm.2022.123037
郝丽丽,李海绸
Abstract
For
1
≤
p<
∞
,wecharacterizetheboundednessandcompactnessofHankeloperators
H
f
and
H
¯
f
onn-dimensionalgeneralizedFockspaces
F
p
φ
intermsofthepropertiesof
bounded(vanishing)meanoscillationfunction,wheretheweightfunction
φ
∈
C
2
(
C
n
)
andsatisfies
dd
c
φ
∼
=
ω
0
inthesenseofcurrent.Wealsogivegeometricdescriptionsfor
thespacesBMOandVMOwhicharedefinedintermsoftheBerezintransform.
Keywords
FockSpaces,HankelOperators,Boundedness,Compactness
Copyright© 2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed under theCreative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
介绍
函数空间上的算子理论与小波分析、函数论、调和分析、偏微分方程、控制论以及量子力学
等有密切的联系
,
是泛函分析的一个重要课题
.
自上世纪五六十年代至今
,
函数空间上的算子理论经
久不衰
.
有界区域上全纯函数空间理论在最近的几十年得到了极大的发展
,
对这些空间的研究可参
见专著
[
1–3]
等
.
相较于有界区域
,
对无界区域上全纯函数空间的研究要少得多
.
Fock
空间最早是由苏联的一位物理学家
Fock.V.A
定义并运用于描述粒子的量子态
,
它是由复
平面
C
上的全纯函数构成的
.
有关
Fock
空间的研究也已有几十年的历史
,
可追溯到
20
世纪
60
年
代
,
参见文献
[4].
在经历了几十年的研究历程之后
,Fock
空间上的算子理论得到了迅速地发展
.
参
见文献
[5–19].Hankel
算子是全纯函数空间理论中一个重要的线性算子模型
.
在过去的几十年中
,
作用于各种全纯函数空间的
Hankel
算子引起了人们的广泛关注
.
在
Bergman
空间和
Fock-Sobolev
空间中
,Hankel
算子已经得到了很好的研究
[20–27].
最近
,
受调和分析、插值理论等学科的发展驱动
,
各种加权
Fock
空间
,
例如广义
Fock
空间、
Fock
型空间、
Fock-Sobolev
空间上的算子理论倍受关注:
2005
年
,Bauer
在文献
[5]
中讨论了
Hankel
算子
H
f
和
H
¯
f
在经典
Fock
空间
F
2
α
上同时为有界算子
(
或紧算子
)
的充要条件
.2012
年
,
Zhu[6]
的专著讨论了
Hankel
算子
H
f
在
F
2
α
上的相关特性
,
包括有界性、紧性和
Schatten
类
.
Per
¨
a
l
¨
a
等人
[7]
将有界性和紧性部分的结果推广到了
1
≤
p<
∞
的情形
.
DOI:10.12677/pm.2022.123037324
理论数学
郝丽丽,李海绸
给定
C
n
上满足一定条件的一类权函数
ψ
,Seip
和
Youssfi[8]
获得了由全纯函数
f
所诱导的
Hankel
算子
H
f
在一维加权
Fock
空间
F
2
ψ
上的有界性、紧性和
Schatten
类特征
.
之后
,Wang
等
人
[9]
利用有界
(
消失
)
平均振荡函数的性质
,
刻画了
n
维广义
Fock
空间
F
2
ψ
上的
Hankel
算子的
有界性
(
紧性
),
并于
2021
年由
Tu
等人
[10]
将结果推广到了
1
≤
p<
∞
的情形
.
给定
C
上满足
∆
ϕdv
为双倍测度的次调和函数
ϕ
和整函数
f
, Constantin
和
Ortega-Cerd
`
a
[11]
研究了
Hankel
算子
H
f
在一维
Fock
空间
F
2
ϕ
上分别为有界算子、紧算子的特征
,
并得到了该算
子的
Schatten
类性质
.2016
年
,Hu
等人
[12]
研究了
Hankel
算子
H
f
在一维
Fock
空间
F
p
ϕ
上
的有界性、紧性和
Schatten
类特征
.
对于给定的实值函数
φ
∈
C
2
(
C
n
)
,其在流的意义下满足
0
<mω
0
6
dd
c
φ
6
Mω
0
,其中
ω
0
=
dd
c
|
z
|
2
=
i
2
n
k
=1
dz
k
∧
dz
k
,d
=(
¯
∂
+
∂
)
,d
c
=
i
4
(
¯
∂
−
∂
)
,
m
和
M
是正常数
.Wang
等人
[23]
研究了
n
维
fock
空间
F
2
ϕ
的
hankel
算子
H
f
的有界性、紧性和
Schatten
类特征。当限制在
n= 1
时,由权函数
φ
所诱导的
fock
空间是
F
p
φ
是加权
Fock
空间
F
p
ϕ
的特殊情况,但当
n
不等于
1
时,两类空间就不尽相同。本文拓展了文献
[23]
的结果
,
研究
n
维
加权
Fock
空间
F
p
φ
(1
≤
p
≤∞
)
上的
Hankel
算子有界性和紧性特征。
我们规定如下记号
:
如果
X
和
Y
是两个非负量
,
记号
X
.
Y
或
Y
&
X
表示存在一个与
X
和
Y
无关的正常数
C
,
使得
X
6
CY
成立
.
因此记号
X
∼
=
Y
表示
X
.
Y
和
Y
.
X
同时成立
.
2.
预备知识
设
C
n
是
n
维复空间
,
对
z
=(
z
1
,...,z
n
)
和
w
=(
w
1
,...,w
n
)
∈
C
n
,
记
<z,w>
=
z
1
w
1
+
...
+
z
n
w
n
,
|
z
|
2
=
<z,z>,dv
为
C
n
上的
Lebsgue
测度
.
本文假设函数
φ
∈
C
2
(
C
n
)
且满足
0
<mω
0
6
dd
c
φ
6
Mω
0
其中
ω
0
=
dd
c
|
z
|
2
=
i
2
n
k
=1
dz
k
∧
dz
k
,d
=(
¯
∂
+
∂
)
,d
c
=
i
4
(
¯
∂
−
∂
)
,
m
和
M
是正常数
.
取
0
<p
6
∞
,
空间
L
p
φ
是指由所有满足如下性质的可测函数
f
组成的赋范空间
∥
f
∥
p,φ
=
C
n
|
f
(
z
)
e
−
φ
(
z
)
|
p
dv
(
z
)
1/
p
<
∞
记
H
(
C
n
)
表示
C
n
上所有的全纯函数组成的空间
,
则对于
0
<p
6
∞
,
定义广义
Fock
空间
F
p
φ
=
H
(
C
n
)
∩
L
p
φ
F
∞
φ
=
f
∈H
(
C
n
):
esssup
z
∈
C
n
|
f
(
z
)
|
e
−
φ
(
z
)
<
∞
.
易知
,
当
1
6
p
6
∞
时
,
F
p
φ
是以
∥·∥
p,φ
为范数的
Banach
空间
.
当
0
<p<
1
,F
p
φ
是以
d
(
f,g
)=
∥
f
−
g
∥
p
p,φ
DOI:10.12677/pm.2022.123037325
理论数学
郝丽丽,李海绸
为范数的
F
-
空间
.
特别地
,
F
2
φ
是以
⟨
f,g
⟩
=
C
n
f
(
z
)
g
(
z
)
e
−
2
φ
(
z
)
dV
(
z
)
为内积的
Hilbert
空间
.
当
φ
(
z
)
是一个适当规范化的线性函数时
,
则
F
2
φ
是一个经典的
Fock
空间
,
其性质参考文献
[6,28].
设
K
φ
(
·
,
·
)
是
F
2
φ
的再生核
,
在文献
[27]
中
,Schuster
和
Varolin
得到了
K
φ
(
·
,
·
)
的若干估计
,
这些估计对
F
p
φ
上函数空间和算子理论的研究是十分重要的
.
引理
2.1
(a)
C,θ>
0
z,w
∈
C
n
|
K
φ
(
z,w
)
|≤
Ce
φ
(
z
)+
φ
(
w
)
−
θ
|
z
−
w
|
;
(2.1)
(b)
r
0
>
0
z
∈
C
n
w
∈
B
(
z,r
0
)
|
K
φ
(
z,w
)
|
∼
=
e
φ
(
z
)+
φ
(
w
)
;
(2.2)
(c)
0
<p
≤∞
∥
K
φ
(
·
,z
)
∥
p,φ
∼
=
e
φ
(
z
)
∼
=
K
φ
(
z,z
)
,z
∈
C
n
.
(2.3)
相应地
,
在点
z
∈
C
n
处的规范化再生核定义为
k
φ
(
z,w
)=
K
φ
(
z,w
)
K
φ
(
z,w
)
因为
Fock
空间
F
2
φ
是
L
2
φ
的闭子空间
,
则存在从
L
2
φ
到
F
2
φ
的正交投影
(
也称
Bergman
投影
),
则对于
f
∈
L
2
φ
,
有
Pf
(
z
)=
C
n
f
(
w
)
K
φ
(
z,w
)
e
−
2
φ
(
w
)
dv
(
w
)
z
∈
C
n
.
关于正交投影的性质请参考文献
[27,29].
事实上
,
对于
0
<p
6
∞
,
由
[27]
知
Bergman
投
影
P
φ
可以拓展至从
L
p
φ
到
F
p
φ
的有界投影
.
由此易知
,
P
φ
是
F
p
φ
上的恒等映射
,
从而可知集合
Span
{
k
p,z
:
z
∈
C
n
}
在
F
p
φ
中稠密
.
对于
1
6
p<
∞
,
记
Γ
p
φ
是由
C
n
中所有满足如下条件的复值可测函数组成的线性空间
fK
φ
(
·
,z
)
∈
L
p
φ
,z
∈
C
n
.
所以显然有
L
∞
(
C
n
)
⊆
Γ
p
φ
.
对于
f
∈
Γ
p
φ
,
定义符号
f
的
(
大
)Hankel
算子如下
:
H
f
g
=(
I
−
P
φ
)(
fg
)
,g
∈
F
p
φ
,
DOI:10.12677/pm.2022.123037326
理论数学
郝丽丽,李海绸
其中
I
是
L
p
φ
上的单位算子
.
由
Bergman
投影
P
φ
的积分表示可得
H
f
g
=
C
n
(
f
(
z
)
−
f
(
w
))
K
φ
(
z,w
)
g
(
w
)
e
−
2
φ
(
w
)
dv
(
w
)
,z
∈
C
n
,g
∈
F
p
φ
.
下面引入一些关于平均振荡函数的空间。
取定半径
r>
0
,
记半径为
r
的复球
B
(
z,r
)=
{
w
∈
C
:
|
z
−
w
|
<r
}
,
记
v
(
B
(
z,r
))
为复球
B
(
z,r
)
的体积
.
由
[13]
知
,
v
(
B
(
z,r
))
∼
=
r
2
n
.
对于
C
中的局部可积函数
f
及半径
r>
0
,
定义其平均函数
ˆ
f
r
如下
:
ˆ
f
r
(
z
)=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
(
w
)
dv
(
w
)
,z
∈
C
n
.
对于
1
6
p<
∞
,
如果
f
是
C
n
上局部
p-
可积的函数
,
则定义
f
在点
z
处的
p-
平均如下
:
MO
p,r
(
f
)(
z
)=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
(
w
)
−
ˆ
f
r
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
1
p
,z
∈
C
n
.
(2.4)
其中半径
r>
0
.
记
BMO
p
r
=
BMO
p
r
(
C
n
)
是由
C
n
中所有满足以下条件的局部
p-
可积的函数
f
组成的空间
∥
f
∥
BMO
p
r
=
sup
{
MO
p,r
(
f
)(
z
):
z
∈
C
n
}
<
∞
.
及
VMO
p
φ
是由
BMO
p
φ
中满足如下条件的所有复值函数
f
组成的空间
.
lim
|
z
|→∞
MO
p,r
(
f
)(
z
)=0
.
所以
BMO
p
r
中的函数在
C
n
中有有界
p-
平均震荡的函数
,
VMO
p
φ
空间中的函数在
C
n
上有消失的
p-
平均震荡
.
设
f
是
C
n
中的连续函数
,
半径
r>
0
,
定义
f
在
z
点的震荡为
ω
r
(
f
)(
z
)=
sup
{|
f
(
z
)
−
f
(
w
)
|
:
w
∈
B
(
z.r
)
}
,z
∈
C
n
则空间
BO
r
是指
C
n
中满足如下条件的连续函数组成的空间
∥
f
∥
BO
r
=
sup
{
ω
r
(
f
)(
z
):
z
∈
C
n
}
<
∞
.
且空间
VO
r
是由
BO
r
中所有满足如下条件的复值函数
f
组成的空间
lim
|
z
|→∞
ω
r
(
f
)(
z
)=0
,
由文献
[6]
进行简单拓展可得如下四个引理:
DOI:10.12677/pm.2022.123037327
理论数学
郝丽丽,李海绸
引理
2.2
1
6
p<
∞
,r>
0
,f
∈
L
p
loc
,
f
∈
BMO
p
r
C
n
c
C
,
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
(
w
)
−
c
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
≤
C.
引理
2.3
1
6
p<
∞
,f
∈
L
p
loc
,r>
0
,
f
∈
VMO
p
φ
C
n
c
lim
|
z
|→∞
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
(
w
)
−
c
(
z
)
|
p
dv
(
w
)=0
.
(2.5)
引理
2.4
BO
r
r
.
,
C
n
f
BO
r
C>
0
,
z,w
∈
C
n
,
|
f
(
z
)
−
f
(
w
)
|≤
C
(
|
z
−
w
|
+1)
.
引理
2.5
r
1
,r
2
>
0
,
f
∈
VO
r
1
,
f
∈
VO
r
2
.
对于
1
6
p<
∞
以及
r>
0
,
空间
BA
p
r
是指
C
n
中所有满足如下条件的局部
p-
可积的函数组
成的空间
∥
f
∥
BA
p
r
=
sup
|
f
|
p
r
(
z
)
1
p
:
z
∈
C
n
<
∞
.
且空间
VA
p
r
是由
BA
p
r
中所有满足如下条件的复值函数
f
组成的空间
lim
|
z
|→∞
|
f
|
p
r
(
z
)
1
p
=0
.
命题
2.6
1
6
p<
∞
,f
∈
L
p
loc
,
dµ
f,p
=
|
f
|
p
e
−
pφ
(
w
)
dv.
:
(
a
)
i
p
:
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
.
(
b
)
t
≥
1
,
|
f
|
p
t
.
(
c
)
r>
0
,
f
∈
BA
p
r
.
证明
(
a
)
⇒
(
b
)
|
f
|
p
p
(
z
)=
C
n
|
f
|
p
(
w
)
|
k
p,z
(
w
)
|
p
e
−
pφ
(
w
)
dv
(
w
)=
C
n
|
k
p,z
(
w
)
|
p
dµ
f,p
(
w
)=
∥
k
p,z
∥
p
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
.
因为
i
p
:
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
是有界的
,
k
p,z
是
F
p
φ
空间中在点
z
∈
C
n
处的单位向量
,
所以有
|
f
|
p
p
(
z
)=
∥
k
p,z
∥
p
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
≤∥
i
p
∥
p
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
∥
k
p,z
∥
p
F
p
φ
≤∥
i
p
∥
p
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
,
所以当
t
=
p
≥
0
时
|
f
|
p
t
是有界的
.
(
b
)
⇒
(
c
)
.
由文献
[13]
知
v
(
B
(
z,r
))
∼
=
r
2
n
∼
=
v
(
B
(
w,r
))
(2.6)
DOI:10.12677/pm.2022.123037328
理论数学
郝丽丽,李海绸
且对任意的
z,w
∈
C
n
且
|
z
−
w
|
<r
,
由
(2.1)
和
(2.2)
可知对任意的
z
∈
C
n
,
有
|
k
t,z
(
w
)
|
t
e
−
tφ
(
w
)
=
K
φ
(
w,z
)
∥
K
φ
(
·
,z
)
∥
t,φ
t
e
−
tφ
(
w
)
∼
=
e
φ
(
z
)+
φ
(
w
)
e
φ
(
z
)
t
e
−
tφ
(
w
)
=1
.
(2.7)
所以
|
k
t,z
(
z
)
|
e
−
φ
(
z
)
∼
=
1
.
所以对于任意的点
z
∈
C
n
,
有
|
f
|
p
r
(
z
)=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
|
p
(
w
)
dv
(
w
)
∼
=
r
−
2
n
B
(
z,r
)
|
f
|
p
(
w
)
|
k
t,z
(
w
)
|
t
e
−
t
2
φ
(
w
)
dv
(
w
)
≤
r
−
2
n
|
f
|
p
t
(
z
)
.
因为
|
f
|
p
t
是有界的
,
所以存在一个正常数
M
使得
|
f
|
p
t
(
z
)
≤
M,
所以
∥
f
∥
BA
p
r
≤
M
1
p
<
∞
,
所以
f
∈
BA
p
r
.
(
c
)
⇒
(
a
)
.
给定
r>
0
和
C
n
中的序列
{
a
k
}
k
,
如果
B
(
a
k
,
2
r
)
覆盖
C
n
且
B
(
a
k
,r
)
彼此互不相
交
,
则
{
a
k
}
∞
k
=1
称是
C
n
上的
r-
格
.
根据
Bergman
空间理论中覆盖定理的研究方法
,
不难得到是
C
n
上的
r-
格的存在性
,
参见文献
[30].
设
a
k
是覆盖半径为
r
的
φ
-
格
,
使得对
C
n
中的任意点
z
来讲
,
至多属于集合
B
(
k,
2
r
)
的
N
个
.
对于
f
∈
F
p
φ
,
1
≤
k<
∞
以及
z
∈
B
(
a
k
,r
)
,
由
[13]
及
(2.6)
可知
|
g
(
z
)
e
−
φ
(
z
)
|
p
.
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
g
(
z
)
e
−
φ
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
.
1
v
(
B
(
a
k
,r
))
B
(
a
k
,
2
r
)
|
g
(
z
)
e
−
φ
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
(2.8)
所以有
C
n
|
g
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)
≤
∞
k
=1
B
(
a
k
,r
)
|
g
(
z
)
|
p
|
f
(
z
)
|
p
e
−
pφ
(
z
)
dv
(
z
)
≤
∞
k
=1
sup
z
∈
B
(
a
k
,r
)
g
(
z
)
e
−
φ
(
z
)
p
B
(
a
k
,r
)
|
f
(
z
)
|
p
dv
(
z
)
.
∞
k
=1
1
v
(
B
(
a
k
,r
))
B
(
a
k
,
2
r
)
g
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
p
dv
(
w
)
B
(
a
k
,r
)
|
f
(
z
)
|
p
dv
(
z
)
=
∞
k
=1
1
v
(
B
(
a
k
,r
))
B
(
a
k
,r
)
|
f
(
z
)
|
p
dv
(
z
)
B
(
a
k
,
2
r
)
g
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
p
dv
(
w
)
=
∞
k
=1
f
|
p
r
(
a
k
)
B
(
a
k
,
2
r
)
g
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
p
dv
(
w
)
≤
∞
k
=1
∥
f
∥
BA
P
r
B
(
a
k
,
2
r
)
g
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
p
dv
(
w
)
=
∥
f
∥
p
BA
p
r
∞
k
=1
B
(
a
k
,
2
r
)
g
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
p
dv
(
w
)
≤∥
f
∥
p
BA
p
r
N
C
n
|
g
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
DOI:10.12677/pm.2022.123037329
理论数学
郝丽丽,李海绸
所以
f
∈
BA
p
r
,
∥
f
∥
BA
p
r
是有限的
,
上式也表明
∥
g
∥
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
.
∥
g
∥
F
p
φ
.
所以
i
p
:
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
是有界的
.
证明完毕
.
命题
2.7
VA
p
r
r
.
1
6
p<
∞
,f
∈
L
p
loc
,
dµ
f,p
=
|
f
|
p
e
−
pφ
(
w
)
dv.
:
(
a
)
{
g
k
}
∞
k
=1
F
p
φ
,
C
n
0,
lim
k
→∞
C
n
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)=0
.
(
b
)
t
≥
1
,
lim
|
z
|→∞
|
f
|
p
t
(
z
)=0
.
(
c
)
r>
0
,
f
∈
VA
p
r
.
证明
(
a
)
⇒
(
b
)
由命题
2.6
的证明可知
|
f
|
p
p
(
z
)=
C
n
|
k
p,z
(
w
)
|
p
dµ
f,p
(
w
)
.
因为
{
k
p,z
}
z
∈
C
n
是
F
p
φ
中的有界序列
;
事实上
{
k
p,z
}
z
∈
C
n
是
F
p
φ
中的单位向量序列
,
并且在
C
n
的
任一紧子集上一致收敛于
0,
所以有
lim
|
z
|→∞
|
f
|
p
p
(
z
)=
lim
|
z
|→∞
C
n
|
k
p,z
(
w
)
|
p
dµ
f,p
(
w
)=0
.
所以令
t
=
p
≥
1
,lim
|
z
|→∞
|
f
|
p
t
(
z
)=0
.
(
b
)
⇒
(
c
)
对于足够小的半径
r>
0
,
由
(2.6)
和
(2.7)
得
lim
|
z
|→∞
|
f
|
p
r
(
z
)
1
p
=
lim
|
z
|→∞
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
|
p
(
w
)
dv
(
w
)
1
p
∼
=
lim
|
z
|→∞
r
−
2
n
B
(
z,r
)
|
f
|
p
(
w
)
|
k
t,z
(
w
)
|
t
e
−
φ
(
w
)
dv
(
w
)
1
p
.
lim
|
z
|→∞
f
|
p
t
(
z
)
1
p
=0
所以
f
∈
VA
p
r
.
(
c
)
⇒
(
a
)
设
a
k
是覆盖半径为
r
的
φ
-
格
,
使得对
C
n
中的任意点
z
来讲
,
至多属于集合
B
(
k,
2
r
)
的
N
个
.
ε>
0
,
有
lim
|
z
|→∞
f
|
p
r
(
z
)
1
p
=0
则存在正整数
K
1
使得当
k
≥
K
1
时
,
有
f
|
p
r
(
a
k
)
<ε.
设
{
g
k
}
∞
k
=1
是
F
p
φ
中的有界序列
,
并且在
C
n
DOI:10.12677/pm.2022.123037330
理论数学
郝丽丽,李海绸
的任一紧子集上一致收敛于
0,
因为
B
K
1
:=
K
1
k
=0
B
(
a
k
,
2
r
)
是中的一个紧子集
,
则有
lim
k
→∞
B
K
1
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)=0
所以存在一个足够大的正整数
K
2
,
使得当
k
≥
K
2
时
,
有
B
K
1
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)
<ε
在命题
2.6
的证明过程中可知
C
n
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)
.
∞
k
=1
|
f
|
p
r
(
a
k
)
B
(
a
k
,
2
r
)
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
.
因为
{
g
k
}
∞
k
=1
是
F
p
φ
中的有界序列
,
所以存在一个正整数
M
,
使得
∥
g
k
∥
p,φ
≤
M
1
≤
k<
∞
.
令
K
=
max
{
K
1
,K
2
}
,
则当
k
≥
K
时
,
C
n
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)
.
K
1
k
=1
|
f
|
p
r
(
a
k
)
B
(
a
k
,
2
r
)
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
+
∞
k
=
K
1
+1
f
|
p
r
(
a
k
)
B
(
a
k
,
2
r
)
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
.
∥
f
∥
p
BA
p
r
K
1
k
=1
B
(
a
k
,
2
r
)
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
+
ε
∞
k
=
K
1
+1
B
(
a
k
,
2
r
)
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
≤∥
f
∥
p
BA
p
r
N
B
K
1
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
+
εN
C
n
g
k
(
w
)
e
−
φ
(
w
)
p
dv
(
w
)
≤∥
f
∥
p
BA
p
T
Nε
+
εNM
p
=
∥
f
∥
p
BA
p
T
+
M
p
Nε
由定义可知若
f
∈
VA
p
r
,
则
f
∈
BA
p
r
,
所以
∥
f
∥
BA
p
r
是有限的
,
所以有
lim
k
→∞
C
n
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)=0
证毕
.
由上述引理和命题可知
BMO
p
r
,VMO
p
r
,BO
r
,VO
r
,BA
p
r
和
VA
p
r
分别与参数
r
无关
.
所以可
DOI:10.12677/pm.2022.123037331
理论数学
郝丽丽,李海绸
以分别简记为
BMO
p
φ
,VMO
p
φ
,BO
φ
,VO
φ
,BA
p
φ
和
VA
p
φ
.
下面描述空间
BMO
p
φ
和
VMO
p
φ
.
命题
2.8
1
6
p<
∞
,f
∈
L
p
loc
,
r
,
:
(
a
)
f
∈
BMO
p
r
(
b
)
f
=
f
1
+
f
2
,f
1
∈
BO
φ
,f
2
∈
BA
p
φ
.
证明
(
a
)
⇒
(
b
)
.
因为
f
=
f
r
2
+(
f
−
f
r
2
)
,
则只需证明
f
r
2
∈
BO
φ
和
f
−
f
r
2
∈
BA
p
φ
,
对于任意的
z,w
∈
C
n
且满足
|
z
−
w
|
<
r
2
,
有
|
f
r
2
(
z
)
−
f
r
2
(
w
)
|≤|
f
r
2
(
z
)
−
f
r
(
z
)
|
+
|
f
r
(
z
)
−
f
r
2
(
w
)
|
≤
1
v
(
B
(
z,
r
2
))
B
(
z,
r
2
)
|
f
(
u
)
−
f
r
(
z
)
|
dv
(
u
)
+
1
v
(
B
(
w,
r
2
))
B
(
w,
r
2
)
|
f
(
u
)
−
f
r
(
z
)
|
dv
(
u
)
(2.9)
因为
B
(
w,
r
2
)
⊂
B
(
z,r
)
,v
(
B
(
z,
r
2
))
∼
=
v
(
B
(
w,
r
2
))
∼
=
v
(
B
(
z,r
))
,
所以结合
(2.9)
可得
|
f
r
2
(
z
)
−
f
r
2
(
w
)
|
.
2
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
(
u
)
−
f
r
(
z
)
dv
(
u
)
(2.10)
由
H
¨
older
不等式可得
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
(
u
)
−
f
r
(
z
)
dv
(
u
)
≤
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
(
u
)
−
f
r
(
z
)
p
dv
(
u
)
1
p
(2.11)
所以由
(2.10),(2.11)
可得
|
f
r
2
(
z
)
−
f
r
2
(
w
)
|
.
2
MO
p,r
(
f
)(
z
)
.
所以
ω
r
2
(
f
r
2
)(
z
)
.
2
MO
p,r
(
f
)(
z
)
≤
2
∥
f
∥
BMO
p
r
.
因为
f
∈
BMO
p
r
,
所以
f
r
2
∈
BO
r
2
,
即
BO
φ
.
记
g
=
f
−
f
r
2
,
由
L
p
范数的三角不等式得
|
g
|
p
r
2
(
z
)
1
p
=
1
v
(
B
(
z,
r
2
))
B
(
z,
r
2
)
f
(
w
)
−
f
r
2
(
w
)
p
dv
(
w
)
1
p
≤
1
v
(
B
(
z,
r
2
))
B
(
z,
r
2
)
f
(
w
)
−
f
r
2
(
z
)
p
dv
(
w
)
1
p
+
1
v
(
B
(
z,
r
2
))
B
(
z,
r
2
)
f
r
2
(
w
)
−
f
r
2
(
z
)
p
dv
(
w
)
1
p
≤
MO
p,
r
2
(
f
)(
z
)+
ω
r
2
f
r
2
(
z
)
DOI:10.12677/pm.2022.123037332
理论数学
郝丽丽,李海绸
因为
f
∈
BMO
p
r
,
所以
f
∈
BMO
p
r
2
,
又因为
f
r
2
∈
BO
r
2
,
所以
g
=
f
−
f
r
2
∈
BA
p
r
2
,
即
BA
p
φ
.
(
b
)
⇒
(
a
)
.
由
H
¨
older
不等式可得
f
1
r
(
z
)
−
f
1
(
z
)
=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
(
f
1
(
w
)
−
f
1
(
z
))
dv
(
w
)
≤
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
1
(
w
)
−
f
1
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
1
p
≤
ω
r
(
f
1
)(
z
)
.
因此由
L
p
范数的三角不等式得
MO
p,r
(
f
1
)(
z
)=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
1
(
w
)
−
f
1
r
(
z
)
p
dv
(
w
)
1
p
≤
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
1
(
w
)
−
f
1
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
1
p
+
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
1
r
(
z
)
−
f
1
(
z
)
p
dv
(
w
)
1
p
≤
ω
r
(
f
1
)(
z
)+
f
1
r
(
z
)
−
f
1
(
z
)
≤
2
ω
r
(
f
1
)(
z
)
.
因为
f
1
∈
BO
φ
,
并且当
r
足够小时
,
f
1
∈
BO
r
,
所以
f
1
∈
BMO
p
r
.
另一方面
,
由
H
¨
older
不等式得
f
2
r
(
z
)
=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
2
(
w
)
dv
(
w
)
≤
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
2
(
w
)
|
p
dv
(
w
)
1
p
=
|
f
2
|
p
r
(
z
)
1
p
因此由
L
p
范数的三角不等式得
MO
p,r
(
f
2
)(
z
)=
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
2
(
w
)
−
f
2
r
(
z
)
p
dv
(
w
)
1
p
≤
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
2
(
w
)
|
p
dv
(
w
)
1
p
+
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
2
r
(
z
)
p
dv
(
w
)
1
p
≤
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
2
(
w
)
|
p
dv
(
w
)
1
p
+
f
2
r
(
z
)
≤
2
|
f
2
|
p
r
(
z
)
1
p
DOI:10.12677/pm.2022.123037333
理论数学
郝丽丽,李海绸
因为
f
1
∈
BA
p
φ
,
并且当
r
足够小时
,
f
1
∈
BA
p
r
,
所以
f
1
∈
BMO
p
r
.
很容易去验证
BMO
p
r
空间是线
性的
,
所以
f
=
f
1
+
f
2
∈
BMO
p
r
,
证明完毕
.
命题
2.9
1
6
p<
∞
,f
∈
L
p
loc
,
r
,
:
(
a
)
f
∈
VMO
p
r
(
b
)
f
=
f
1
+
f
2
,f
1
∈
VO
φ
,f
2
∈
VA
p
φ
.
证明
(
a
)
⇒
(
b
)
因为
f
=
f
r
2
+(
f
−
f
r
2
)
,
则只需证明
f
r
2
∈
VO
φ
和
f
−
f
r
2
∈
VA
p
φ
,
对于任意的
z,w
∈
C
n
根据命题
2.8
的证明可知
ω
r
2
f
r
2
(
z
)
.
2
MO
p,r
(
f
)(
z
)
,
所以
|
g
|
p
r
2
(
z
)
1
p
≤
MO
p,
r
2
(
f
)(
z
)+
ω
r
2
f
T
2
(
z
)
,
记
g
=
f
−
f
r
,
若
f
∈
VMO
p
r
,
则
lim
|
z
|→∞
ω
r
2
f
r
2
(
z
)
.
lim
|
z
|→∞
2
MO
p,r
(
f
)(
z
)=0
,
所以
lim
|
z
|→∞
|
g
|
p
r
2
(
z
)
1
p
≤
lim
|
z
|→∞
MO
p,
r
2
(
f
)(
z
)+
lim
|
z
|→∞
ω
r
2
f
r
2
(
z
)
.
lim
|
z
|→∞
MO
p,r
(
f
)(
z
)+
lim
|
z
|→∞
ω
r
2
f
T
2
(
z
)=0
所以
f
r
2
∈
VO
r
2
(
即
VO
φ
)
,
并且
f
−
f
r
2
∈
VA
p
r
2
(
即
VA
p
φ
.
(
b
)
⇒
(
a
)
.
令
f
=
f
1
+
f
2
,
且
f
1
∈
VO
φ
且
f
2
∈
VA
p
φ
.
根据命题
2.8
的证明可知
MO
p,r
(
f
1
)(
z
)
≤
2
ω
r
(
f
1
)(
z
)
,
以及
MO
p,r
(
f
2
)(
z
)
≤
2
f
2
|
r
(
z
)
1
p
.
因为
f
1
∈
VO
φ
且
f
2
∈
VA
p
φ
,
所以有
lim
|
z
|→∞
MO
p,r
(
f
1
)(
z
)
≤
lim
|
z
|→∞
2
ω
r
(
f
1
)(
z
)=0
以及
lim
|
z
|→∞
MO
p,r
(
f
2
)(
z
)
≤
lim
|
z
|→∞
2
|
f
2
|
p
r
(
z
)
1
p
=0
所以
f
1
,f
2
∈
VMO
p
r
,
又因为
VMO
p
r
空间是线性的
,
所以
f
=
f
1
+
f
2
∈
VMO
p
r
,
证毕
.
DOI:10.12677/pm.2022.123037334
理论数学
郝丽丽,李海绸
3.Fock
空间
F
p
φ
上的
Hankel
算子
本节刻画在
n
维广义
Fock
空间
F
p
φ
上具有复值函数符号
f
∈
Γ
p
φ
的
Hankel
算子
H
f
和
H
¯
f
的
有界性和紧性
,
其中
1
6
p<
∞
.
对于
1
6
p<
∞
,f
∈
Γ
p
φ
,
定义
C
n
上的函数
MO
p
f
如下
MO
p
f
(
z
)=
fk
p,z
−
g
z
(
z
)
k
p,z
p,φ
,z
∈
C
n
其中
g
z
(
w
)=
P
φ
¯
fk
p,z
(
w
)
k
p,z
(
w
)
,w
∈
C
n
因为
k
p,z
在
C
n
中不为
0,
所以
g
z
是
C
n
上的全纯函数
.
定理
3.1
1
6
p<
∞
,f
∈
Γ
p
φ
,
MO
p
f
∈
L
∞
(
C
n
)
,
f
∈
BMO
p
r
.
证明
对于无穷小的半径
r>
0
,
由命题
2.6
的证明过程中的
(2.6)
和
(2.7)
可知对任意的
z
∈
C
n
,
有
(
MO
p
f
)
p
=
C
n
|
fk
p,z
−
g
z
(
z
)
k
p,z
|
p
e
−
pφ
(
w
)
dv
(
w
)
∼
=
1
v
(
B
(
z,r
))
C
n
|
f
−
g
z
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
≥
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
f
−
g
z
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
.
因为
MO
p
f
∈
L
∞
(
C
n
)
,
所以
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
|
fk
p,z
−
g
z
(
z
)
|
p
dv
(
w
)
≤∥
MO
p
f
∥
p
∞
.
由引理
2.2
可知令
c
(
z
)=
g
z
(
z
)
,C
=
∥
MO
p
f
∥
p
∞
,
所以有
f
∈
BMO
p
r
,
证明完毕
.
定理
3.2
1
6
p<
∞
,f
∈
Γ
p
φ
,
MO
p
f
(
z
)
.
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
H
¯
f
k
p,z
p,φ
证明
由三角不等式可得
MO
p
f
(
z
)=
fk
p,z
−
g
z
(
z
)
k
p,z
p,φ
≤∥
fk
p,z
−
P
(
fk
p,z
)
∥
p,φ
+
P
(
fk
p,z
)
−
g
z
(
z
)
k
p,z
p,φ
=
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
P
(
fk
p,z
)
−
g
z
(
z
)
k
p,z
p,φ
(3.1)
DOI:10.12677/pm.2022.123037335
理论数学
郝丽丽,李海绸
由再生公式可得对任意的
z,w
∈
C
n
,
有
g
z
(
z
)
k
p,z
(
w
)=
∥
K
(
·
,z
)
∥
−
1
p,φ
g
z
(
z
)
K
φ
(
z,w
)
=
∥
K
(
·
,z
)
∥
−
1
p,φ
⟨
g
z
K
φ
(
·
,w
)
,K
φ
(
·
,z
)
⟩
φ
=
∥
K
(
·
,z
)
∥
−
1
p,φ
⟨
K
φ
(
·
,z
)
,g
z
K
φ
(
·
,w
)
⟩
φ
=
⟨
g
z
k
p,z
,K
φ
(
·
,w
)
⟩
φ
=
P
φ
(¯
gk
p,z
)(
w
)
(3.2)
所以
P
φ
(
fk
p,z
)
−
g
z
(
z
)
k
p,z
p,φ
=
∥
P
φ
(
fk
p,z
)
−
P
φ
(
g
z
k
p,z
)
∥
p,φ
=
∥
P
φ
(
P
φ
(
fk
p,z
)
−
g
z
k
p,z
)
∥
p,φ
≤∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
∥
P
φ
(
fk
p,z
)
−
g
z
k
p,z
∥
p,φ
(3.3)
由
g
z
的定义可知
g
z
k
p,z
=
P
(
¯
fk
p,z
)
,
所以
∥
P
φ
(
fk
p,z
)
−
g
z
k
p,z
∥
p,φ
≤∥
fk
p,z
−
P
φ
(
fk
p,z
)
∥
p,φ
+
∥
fk
p,z
−
g
z
k
p,z
∥
p,φ
=
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
¯
fk
p,z
−
g
z
k
p,z
p,φ
=
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
¯
fk
p,z
−
P
φ
¯
fk
p,z
p,φ
=
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
H
¯
f
k
p,z
p,φ
(3.4)
所以由
(3.1),(3.3)
和
(3.4)
可得
MO
p
f
(
z
)
≤
(1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
)
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
H
¯
f
k
p,z
p,φ
证明完毕
.
定理
3.3
1
6
p<
∞
,f
∈
Γ
p
φ
,
H
f
,H
¯
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
,
f
∈
VMO
p
φ
.
证明
因为
{
k
p,z
}
z
∈
C
n
是
F
p
φ
中的有界序列
;
事实上
{
k
p,z
}
z
∈
C
n
是
F
p
φ
中的单位向量序列
,
并且在
C
n
的任一紧子集上一致收敛于
0,
所以由
Hankel
算子
H
f
得紧性可知
lim
|
z
|→∞
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
=0
.
同理可知
lim
|
z
|→∞
H
¯
f
k
p,z
p,φ
=0
.
所以由定理
3.2
可得
lim
|
z
|→∞
MO
p
f
(
z
)
.
lim
|
z
|→∞
∥
H
f
k
p,z
∥
p,φ
+
H
¯
f
k
p,z
p,φ
=0
,
DOI:10.12677/pm.2022.123037336
理论数学
郝丽丽,李海绸
对于固定的
r>
0
,
则由定理
3.1
的证明可知
(
MO
p
f
(
z
))
p
&
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
(
w
)
−
g
z
(
z
)
p
dv
(
w
)
,
所以有
lim
|
z
|→∞
1
v
(
B
(
z,r
))
B
(
z,r
)
f
(
w
)
−
g
z
(
z
)
p
dv
(
w
)
.
lim
|
z
|→∞
(
MO
p
f
(
z
))
p
=0
所以由引理
2.3
可知
f
∈
VMO
p
φ
.
证毕
.
定理
3.4
1
6
p<
∞
,
f
∈
Γ
p
φ
,
(
a
)
f
∈
BO
φ
,
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
.
(
b
)
f
∈
VO
φ
,
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
.
证明
(a)
由
[13]
可知
,
当
0
<p<
∞
时,存在常数
C
和
M
使得
C
n
|
K
φ
(
z,w
)
|
p
e
−
p
(
φ
(
z
)+
φ
(
w
))
dv
(
w
)
≤
C,
所以
sup
z
∈
C
n
C
n
(
|
z
−
w
|
+1)
|
K
φ
(
z,w
)
|
e
−
(
φ
(
z
)+
φ
(
w
))
dv
(
w
)
<
∞
对于
g
∈
F
p
φ
,
由引理
2.4
得
|
H
f
g
(
z
)
|
e
−
φ
(
z
)
≤
C
n
|
f
(
z
)
−
f
(
w
)
∥
g
(
w
)
∥
K
φ
(
z,w
)
|
e
−
φ
(
w
)
dv
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
.
C
n
(
|
z
−
w
|
+1)
|
g
(
w
)
∥
K
φ
(
z,w
)
|
e
−
φ
(
w
)
dv
(
w
)
e
−
φ
(
z
)
=
C
n
(
|
z
−
w
|
+1)
|
K
φ
(
z,w
)
|
e
−
(
φ
(
z
)+
φ
(
w
))
|
g
(
w
)
|
e
−
φ
(
w
)
dv
(
w
)
.
当
p
=1
时
,
由
Fubini
定理得
,
∥
H
f
g
∥
1
,φ
.
C
n
|
g
(
w
)
|
e
−
φ
(
w
)
dv
(
w
)
C
n
(
|
z
−
w
|
+1)
|
K
φ
(
z,w
)
|
e
−
(
φ
(
z
)+
φ
(
w
))
dv
(
z
)
=
C
n
|
g
(
w
)
|
e
−
φ
(
w
)
dv
(
w
)
C
n
(
ϱ
(
w,z
)+1)
|
K
φ
(
w,z
)
|
e
−
(
φ
(
w
)+
φ
(
z
))
dv
(
z
)
≤
C
∥
g
∥
1
,φ
当
p
=
∞
时
,
有
∥
H
f
g
∥
∞
,φ
.
∥
g
∥
∞
,φ
C
n
(
|
z
−
w
|
+1)
|
K
φ
(
z,w
)
|
e
−
(
φ
(
z
)+
φ
(
w
))
dv
(
w
)
≤
C
∥
g
∥
∞
,φ
所以当
p
=1
,
∞
时
,
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
是有界的
,
由
Riesz–Thorin
插值定理可知当
1
6
p<
∞
DOI:10.12677/pm.2022.123037337
理论数学
郝丽丽,李海绸
时
,
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
是有界的
.
(b)
对于任意的
R>
0
,
定义
f
R
(
z
)=
f
(
z
)
·
χ
|
z
|≤
R
,
对于足够小的半径
r>
0
,
因为
f
∈
VO
φ
,
即
f
∈
VO
r
,
所以
lim
|
z
|→∞
ω
r
(
f
)(
z
)=0
.
所以对于任意的
ε>
0
,
存在一个常数
M>
0
,
使得当
|
z
|
>M
时
,
有
ω
r
(
f
)(
z
)
<ε.
令
R
0
=
M
+
r
,
则对于
R>R
0
,
当
|
z
|≤
M
时
,
若
w
∈
B
(
z,r
)
且
|
w
|≤|
z
|
+
|
z
−
w
|
<M
+
r
=
R
0
<R
,
则有
(
f
R
−
f
)(
z
)=
f
(
z
)
−
f
(
z
)=0
,
(
f
R
−
f
)(
w
)=
f
(
w
)
−
f
(
w
)=0
.
所以对于
|
z
|≤
M
,
有
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)=
sup
{|
(
f
R
−
f
)(
z
)
−
(
f
R
−
f
)(
w
)
|
:
w
∈
B
(
z,r
)
}
=0
所以
sup
|
z
|≤
M
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)=0
.
另一方面
,
对于任意的
z
∈
C
n
,
有
ω
r
(
f
R
)(
z
)
≤
ω
r
(
f
)(
z
)
,
所以当
|
z
|
>M
时
,
有
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)
≤
ω
r
(
f
R
)(
z
)+
ω
r
(
f
)(
z
)
≤
2
ω
r
(
f
)(
z
)
<
2
ε.
所以有
sup
|
z
|
>M
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)
<
2
ε.
所以
∥
f
R
−
f
∥
BO
r
=
sup
z
∈
C
n
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)=
max
sup
|
z
|≤
M
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)
,
sup
|
z
|
>M
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)
<
2
ε
所以有
lim
R
→∞
∥
f
R
−
f
∥
BO
r
=0
.
由引理
2.4
可知存在绝对常数
C>
0
使得
∥
H
f
R
−
H
f
∥≤
C
∥
f
R
−
f
∥
BO
r
.
所以有
lim
R
→∞
∥
H
f
R
−
H
f
∥
=0
.
若紧算子空间是闭的
,
则对任意的
R>
0
,
H
f
R
是紧的
.
设
{
g
k
}
∞
k
=1
是
F
p
φ
中的有界序列
,
并且在
C
n
上一致收敛于
0.
因为
VO
φ
空间中的函
数是连续的
,
且
f
R
(
z
)
在紧子集
{
z
∈
C
n
:
|
z
|≤
R
}
上是有界的
,
所以其在
C
n
上是有界的
.
所以
∥
f
R
∥
∞
是有限的
.
因为对任意的
g
∈
F
p
φ
有
∥
f
R
g
∥
p,φ
≤∥
f
R
∥
∞
∥
g
∥
p,φ
<
∞
,
所以
f
R
g
∈
L
p
φ
.
因为
P
φ
:
L
p
φ
→
F
p
φ
是有界的
,
所以对任意的
g
∈
F
p
φ
,
有
∥
P
φ
(
f
R
g
)
∥
p,φ
≤∥
P
φ
∥→
F
p
φ
∥
f
R
g
∥
p,φ
.
因此当
k
≥
1
时
,
∥
H
f
R
g
k
∥
p,φ
=
∥
(
I
−
P
φ
)(
f
R
g
k
)
∥
p,φ
≤∥
f
R
g
k
∥
p,φ
+
∥
P
φ
(
f
R
g
k
)
∥
p,φ
≤
1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
)
∥
f
R
g
k
∥
p,φ
因为序列
{
g
k
}
∞
k
=1
在紧子集
{
z
∈
C
n
:
|
z
|≤
R
}
上一致收敛于
0,
所以对任意的
ε>
0
,
存在
K>
0
使得当
k>K
时
,
对任意的
|
z
|≤
R
,
有
|
g
k
(
z
)
|
<ε,
DOI:10.12677/pm.2022.123037338
理论数学
郝丽丽,李海绸
所以
∥
f
R
−
f
∥
BO
r
=
sup
z
∈
C
n
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)=
max
sup
|
z
|≤
M
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)
,
sup
|
z
|
>M
ω
r
(
f
R
−
f
)(
z
)
<
2
ε
所以有
lim
k
→∞
∥
f
R
g
k
∥
p,φ
=0
.
且
lim
k
→∞
∥
H
f
R
g
k
∥
p,φ
=0
,
所以
H
f
R
是紧的
.
证毕
.
下一个引理是引理
2.4
的改进版本
.
这种改进的优势是我们可以利用它来揭示
Hankel
算子
H
f
的范数和符号
f
的
BOr
−
范数之间的关系
.
定理
3.5
r
,
(
a
)
f
∈
BO
r
,
r
C
r
>
0
z,w
∈
C
n
,
|
f
(
z
)
−
f
(
w
)
|≤
C
r
∥
f
∥
BO
r
(
|
z
−
w
|
+1)
(
b
)
f
∈
Γ
p
φ
,
1
≤
p<
∞
,
Hankel
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
CC
r
∥
f
∥
BO
r
,
C>
0
.
证明
对引理
2.4
进行简单修改即得
(
a
)
成立
.
利用定理
3.4
的证明中使用的方法可得
(
b
)
成立
.
因此
,
证明完毕
.
定理
3.6
1
6
p<
∞
f
∈
Γ
p
φ
.
(
a
)
f
∈
BA
p
φ
,
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
.
(
b
)
f
∈
VA
p
φ
,
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
.
证明
(a)
令
f
∈
BA
p
φ
.
由命题
2.6
可知
i
p
:
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
是有界的
,
所以对于
g
∈
F
p
φ
,
我们
有
∥
fg
∥
p,φ
=
∥
g
∥
L
p
(
dµ
f,p
)
≤∥
i
p
∥
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
∥
g
∥
p,φ
,
所以
fg
∈
L
p
φ
.
因为
Bergman
投影
P
φ
在
L
p
φ
上是有界的
,
所以
∥
H
f
g
∥
p,φ
≤∥
fg
∥
p,φ
+
∥
P
φ
(
fg
)
∥
p,φ
≤
1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
∥
fg
∥
p,φ
≤
1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
∥
i
p
∥
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
∥
g
∥
p,φ
(3.5)
所以
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
是有界的
.
(b)
设
{
g
k
}
∞
k
=1
是
F
p
φ
中的有界序列
,
并且在
C
n
上一致收敛于
0.
由
(3.5)
知对任意的
1
≤
k<
∞
,
有
∥
H
f
g
k
∥
p,φ
≤
1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
∥
i
p
∥
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
∥
g
k
∥
L
p
(
dµ
f,p
)
DOI:10.12677/pm.2022.123037339
理论数学
郝丽丽,李海绸
其中
dµ
f,p
=
|
f
|
p
e
−
pφ
(
w
)
dv
.
因为
f
∈
VA
p
φ
,
根据命题
2.7
可知
lim
k
→∞
∥
H
f
g
k
∥
p,φ
≤
lim
k
→∞
1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
)
∥
i
p
∥
F
p
φ
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
∥
g
k
∥
L
p
(
dµ
f,p
)
=
lim
k
→∞
1+
∥
P
φ
∥
L
p
φ
→
F
p
φ
)
∥
i
p
∥
F
p
N
→
L
p
(
C
n
,dµ
f,p
)
C
n
|
g
k
(
z
)
|
p
dµ
f,p
(
z
)
1
p
=0
所以
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
是紧的
,
证毕
.
定理
3.7
1
6
p<
∞
f
∈
Γ
p
φ
(
a
)
Hankel
H
f
,H
¯
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
f
∈
BMO
p
φ
.
(
b
)
Hankel
H
f
,H
¯
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
f
∈
VMO
p
φ
.
证明
(a)
由定理
3.1
和定理
3.2
可知必要性成立
.
又因为
f
∈
BMO
p
φ
当且仅当
¯
f
∈
BMO
p
φ
,
所以
由命题
2.8
命题、定理
3.4
和定理
3.6
可知充分性成立
.
(b)
由定理
3.3
可知必要性成立
,
又因为
f
∈
VMO
p
φ
当且仅当
¯
f
∈
VMO
p
φ
,
所以由命题
2.9
、定
理
3.4
和定理
3.6
可知充分性成立
,
定理证毕
.
推论
3.8
1
6
p<
∞
,f
∈
Γ
p
φ
,
f
C
n
,
(a)
H
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
f
∈
BMO
p
φ
.
(b)
H
f
,H
¯
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
f
∈
VMO
p
φ
.
推论
3.9
1
6
p<
∞
,f
∈
Γ
p
φ
,
f
C
n
,
(a)
H
¯
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
f
∈
BMO
p
φ
.
(b)
H
f
,H
¯
f
:
F
p
φ
→
L
p
φ
f
∈
VMO
p
φ
.
4.
总结
本文利用有界
(
消失
)
平均震荡函数的性质
,
讨论了一类
n
维广义
Fock
空间
F
p
φ
(1
≤
p<
∞
)
上的
Hankel
算子
H
f
和
H
¯
f
的有界性和紧性
,
拓展了文献
[23]
的结果
.
同时
,
利用
Berezin
变换
刻画了空间
BMO
和
VMO
的几何性质
.
截止目前
,
当
1
≤
p<
∞
时
,
在各类加权
Fock
空间上的
Hankel
算子的有界性和紧性的研究已较为完整
.
而当
p
=
∞
时
,
对于
Hankel
算子的研究有赖于对
“平均震荡”函数空间的进一步刻画
,
当
0
<p<
1
时
,
要得到完整的结果还需有方法上的进一步创
新
.
基金项目
国家自然科学基金
(11901205).
DOI:10.12677/pm.2022.123037340
理论数学
郝丽丽,李海绸
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