Pure Mathematics
Vol.
09
No.
06
(
2019
), Article ID:
31610
,
3
pages
10.12677/PM.2019.96093
A Judgment of Integer Coefficient Polynomials without Integer Root
Mianmian Zhang
The Mathematics of Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang
Received: Jul. 11th, 2019; accepted: Jul. 21st, 2019; published: Aug. 7th, 2019
ABSTRACT
The article starts from an exercise in Higher Algebra Learning Guidelines (2nd Edition, Volume II) complied by Qiu Weisheng. This paper gives a judgment of integer coefficient polynomials without integer roots, and applies it to relevant examples and exercises.
Keywords:Integral Coefficient Polynomial, Integral Root
整系数多项式无整数根的一个判定
张棉棉
杭州师范大学数学系,浙江 杭州
收稿日期:2019年7月11日;录用日期:2019年7月21日;发布日期:2019年8月7日
摘 要
本文从丘维声编著的《高等代数学习指导书(第二版,下册)》的一道习题出发,给出整系数多项式无整数根的一个判定,并把它应用到相关例题及习题中。
关键词 :整系数多项式,整数根
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1. 引言
具体整系数多项式整数根的有无可以通过有理根进行判定。抽象整系数多项式整数根的有无没有特别适用的方法。我们从文献 [1] 的一道习题出发,给出整系数多项式证明无整数根的新方法,将此方法一般化,并把它应用到文献 [1] 的其他例题及习题中。由此,我们发现这个判定法是很有效的,且适用面是比较广的。更重要的是,此判定法既直接又简洁。它不同于反证法,反证法很多时候是需要技巧的,而技巧对学生,特别是刚从高中毕业的大一新生而言,是非常困难的。它又不同于直接证明的方法,需要用到很多新的知识,它最终只需要简单的计算几个函数值,再进行简单的判断即可。这样简单有效的方法,一方面在多项式各种证明中备受困扰的学生里无疑是受欢迎的,另一个方面也是对学生一种知识探索的示范。
2. 主要结果及应用
例1. 设次数为n的整系数多项式 ,满足3不整除 ,,。证明: 没有整数根。
证明:反证法:假设 有整数根c,即 。另一方面,由带余除法得 ,,, 能被3整除。但事实上,由已知知,3不整除 ,3不整除 ,3不整除 ,又由于 知3不整除 ,与前面3整除 矛盾。故 没有整数根。
定理1 设 是一个次数为n的整系数多项式。证明:如果存在正整除m,使得 都不能被m整除,那么 没有整数根。
证明:反证法:假设 有整数根c,即 。另一方面,由带余除法得 ,,, 能被m整除,与已知矛盾。故 没有整数根。
例2. 设 是一个首一整系数多项式,证明:如果 与 都是奇数,那么 没有有理根。
备注1:首一整系数多项式的有理根就是整数根。
证明:因为 与 都是奇数,取 ,由定理1知, 没有整数根,即没有有理根。
现在把例2进行推广,得到如下例3。
例3. 设 是一个整系数多项式,证明:如果存在一个偶数a及一个奇数b,使得 与 都是奇数,则 不能有整数根。
证明:设 ,则奇数 = = = 偶数 + ,得 为奇数。又奇数 = = 偶数 + ,得 为奇数。取 ,由定理1知, 没有整数根。
例4. 设 是整系数多项式,证明:如果 是奇数,那么 在有理数域上不可约。
证明:由 是奇数,知 均是奇数,即 均是奇数。则直接由例2,或取 ,由定理1知 在有理数域上不可约。
例5. 判断下列整系数多项式在有理数域上是否不可约:
备注1:3次整系数多项式在有理数域是否可约等同于是否有有理根,当多项式是首一时,等同于是否有整数根。
备注2:对具体整系数多项式 ,我们通常直接采用爱森斯坦判别法,或间接采用它的变型 来进行判定。虽然爱森斯坦判别法本身已经足够简单,但是艾森斯坦判别法的变形并不是那么容易,很多时候a的取值并非像我们上课时候碰到的一些例子直接在 中去寻找那么简单,例如(3),对 ,如果我们采用爱森斯坦判别法的变形, ,这里a取成了3。
解:1) ,有例2结论,或取 ,由定理1知, 没有整数根,即 在有理数域上不可约。
2) ,取 ,由定理1知, 没有整数根,即 在有理数域上不可约。
3) ,取 ,由定理1知, 没有整数根,即 在有理数域上不可约。
例6 求 的有理根
解:已知 均为奇数,故 无整数根。因此在 所有可能的有理根 中,我们只需要对 进行综合除法得 ,故 无有理根。
最后,我们通过上面的例题可以明显看出,解决同样的问题,定理1要优于其他例如反证法、爱森斯坦判别法及其变形等方法。定理1的引入又是非常自然的,因为,例2是我们必须掌握的内容,它总是以习题等形式存在于各课本之中。我们在讲解时候,适当进行引导,就可以得出定理1的判定。多一种方法,多一种选择。
文章引用
张棉棉. 整系数多项式无整数根的一个判定
A Judgment of Integer Coefficient Polynomials without Integer Root[J]. 理论数学, 2019, 09(06): 699-701. https://doi.org/10.12677/PM.2019.96093
参考文献
- 1. 丘维声. 高等代数学习指导书(第二版, 下册) [M]. 北京: 清华大学出版社, 2016.