ABSTRACT

In this paper, we will give a rigorous proof of existence of local solutions to perturbed Einstein- Yang/Mills equations with gauge group SU(2), here we require the existence of zero point for A, and we consider the area in Holder spaces.

Keywords:Einstein-Yang/Mills Equations, Perturbed Term, Holder Spaces, Existence of Solutions

带扰动的Einstein-Yang/Mills方程局部解的存在性

王旭

云南民族大学，数学与计算机科学学院，云南 昆明

收稿日期：2017年7月24日；录用日期：2017年8月9日；发布日期：2017年8月14日

摘 要

本文严格地证明了带扰动的Einstein-Yang/Mills方程在Holder空间中局部解的存在性，这里要求A具有零点。

关键词 :Einstein-Yang/Mills方程，扰动项，Holder空间，解的存在性

Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Yang/Mills理论，是现代规范场理论的基础。由杨振宁和米尔斯在1954年首先提出来，通过后来许多学者于1960年到1970年代引入对称性自发破缺与渐进自由的观念，发展成今天的标准模型。杨–米尔斯理论作为克雷数学研究所提出的新前年七大问题之一，在当今物理界和数学界都是热门的问题，本文讨论静态球对称Einstein-Yang/Mills方程在Holder空间中局部解的存在性，这里Einstein度量 [1] ：

(1.1)

SU(2)Yang/Mills曲率-2形式 [2] ：

(1.2)

这里A,C和w都是关于r的函数，由(1.1)和(1.2)，得静态球对称SU(2)EYM方程为 [3] [4] ：

(1.3)

(1.4)

和

(1.5)

由于(1.3)和(1.4)与C无关，所以本文我们主要的工作是耦合方程(1.3)，(1.4)进行分析。

为了使讨论更具有一般性，对原方程加入扰动项，使得(1.4)变为：

(1.6)

这里的在1附近扰动。

2. 准备知识

为了使我们讨论方便，定义函数：

(2.1)

这里。

设。则由(1.3)，(1.6)得

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

设，由泰勒展开并引入算子B有，解得，得

(2.6)

3. 局部解的存在唯一性

定理：若，则对于带扰动的静态球对称EYM方程(1.3)和(1.6)，在区域上，方程解具有存在唯一性。

证明：取，我们考虑在Holder空间下的范数 [5] ：

并定义集合：

因为集合是上的闭集，易得是完备的度量空间 [5] ，同理，和也是完备的度量空间。定义X为

这里，定义度量 [5] ：

若，由于，则：

同理得

再定义映射为：，这里

下面我们证明：对于，，s.t，且T是压缩映射 [5] 。这里表示半径为的球。用泰勒展开可得：

易得球上的点可表示为：

由于，显然当充分小时，，即T为自映射得证。

接下来我们证明T是压缩映射：

先考虑，令；则

则为压缩映射得证。接下来证明也是压缩映射：

其中，对上式用推广的Holder不等式 [6] 可得

又因为当充分小时，且，易得，即有

，于是为压缩映射得证 [5] 。

下面证明也是压缩映射。实际上

再由(2.2)可得：

为了计算方便，我们引入算子，并定义，则上式化简为：

则

(3.1)

由(2.6)有

则当时，有。对于(3.1)最右边部分，令

(3.2)

其中

则当时，有。由于均与无关，故，则对于(3.2)式最后一项，我们有

(3.3)

为了表示方便，令

则

(3.4)

其中，则由推广的Holder不等式有 [6] ：

则当时，有。再考虑(3.4)最右式，为表示方便令，则

再由推广的Holder不等式 [6] 得

这里，有界，当时，有。又因为，故，，故， (当时) [6] 。于是我们可取，s.t。则

这里，故可得(3.3)左式为：

故有，于是为压缩映射得证。

于是，在区域上，由Banach不动点定理，可得T存在唯一不动点 [5] 。

文章引用

王旭. 带扰动的Einstein-Yang/Mills方程局部解的存在性
Existence of Local Solutions to Perturbed Einstein-Yang/Mills Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(05): 685-691. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.65081

参考文献 (References)