ABSTRACT

In this paper, we study the uniqueness of meromorphic function and its differential polynomial sharing two small functions, and prove the follow theory. Let be a nonconstant meromorphic function satisfying, let be an integer and let and be two distinct small functions related to. Let, where are small functions related to. If and share and CM almost, then. Thus, this result improves some existing results.

Keywords:Meromorphic Function, Sharing Function, Differential Polynomial, Uniqueness

亚纯函数与微分多项式分担小函数的唯一性

杨城威，刘丹

华南农业大学应用数学研究所，广东 广州

Email: yangchw213@stu.scau.edu.cn, liudan@scau.edu.cn

收稿日期：2015年8月30日；录用日期：2015年9月18日；发布日期：2015年9月21日

摘 要

本文研究了亚纯函数及其微分多项式分担两个小函数的唯一性定理，证明了：设是开平面上满足的非常数亚纯函数，是正整数，和为的两个相互判别的小函数，，其中是的小函数。若和几乎CM分担和，则。这个结果改进了已有的一些结果。

关键词 :亚纯函数，分担函数，微分多项式，唯一性

1. 引言与主要结果

设是开平面上的非常数亚纯函数，本文将使用值分布论中的标准记号(可参考[1] [2] )：

设是开平面上的一个亚纯函数，称是的小函数，若满足：

设和是两个非常数亚纯函数，为和的公共小函数。称和CM分担，如果与有相同的零点并且其重数也相同。

令表示与在圆盘内公共零点的个数(计重数)，表示相应的密指量，记：

。

称和几乎CM分担，若。显然，若和CM分担，则和一定是几乎CM分担。

1976年，Ruble L. A.和Yang C. C. [3] 证明了：若整函数及其一阶导数CM分担两个不同的有穷复数和，则。自此以来，对于这一结果的改进和研究一直在继续。1983年，Gundersen G. G. [4] 证明了将整函数换为亚纯函数，上述结果仍然成立；1994年，顾永兴[5] 将一阶导数换为更为一般的的线性微分多项式，在满足或的条件下，有成立，并猜测条件或是可以去掉的；1995年，方明亮[6] 去掉了条件或，证明了更一般的结果：对于满足的亚纯函数及其线性微分多项式，若和几乎CM分担两个不同的有穷复数和，则；2002年，王建平[7] 将方明亮结果中分担两个常数的情形推广到了分担两个小函数的情形；2006年，陈春芳[8] 在王建平结果的基础上，将这一限制推广为。

本文进一步改进了上述结果，证明了如下定理：

定理1：设是开平面上满足的非常数亚纯函数，是正整数，和是的两个相互判别的小函数，如定理B。若和几乎CM分担和，则。

2. 主要引理

为了证明定理，需要如下结果。

引理1 [2] ：设为开平面上非常数亚纯函数，为个判别的复数(其中之一可以是)，则：

引理2 [8] ：设和是开平面上满足：

的两个亚纯函数，若和几乎CM分担0,1，并且存在使得：

其中，则。

引理3 [8] ：设和是开平面上满足：

的两个亚纯函数，若和几乎CM分担0，1，且不是的线性变换，则对于任意有：

其中。

引理4：设和是开平面上满足：

的两个亚纯函数，若和几乎CM分担0，1，且：

其中是一个无穷测度的值集，则是的一个分式线性变换。

证明：若不是的一个分式线性变换，则由引理3，令，得：

。

另一方面，由引理1及和几乎CM分担0,1有：

由以上四式得：

即有：

矛盾，故是的一个分式线性变换。

引理5 [7] ：设是开平面上满足的非常数亚纯函数，是正整数，，和是的两个相互判别的小函数。若和几乎CM分担和，则。

3. 定理的证明

令：

(1)

由和几乎CM分担，可知，和几乎CM分担0,1，且：

(2)

(3)

则对和有：

即有：

(4)

由(2) (4)和Nevanlinna第一基本定理有：

另一方面，令：

下面分两种情形讨论。

情形1：，则：

情形2：，则：

其中为，，的Wronsky行列式，为的小函数。

综上两种情形有：

从而有：

(5)

由(4) (5)有：

由引理3知是的一个分式线性变换，即：

(6)

其中为有穷复数，且。

另一方面，由(2) (3)有：

(7)

(8)

如果，则。从而。结合(7) (8)，即有：

则由文献[6] 中的注，类似可证。

如果，设为的极点，则由(6)，。

另一方面，由(1)中的构造，则的极点来自的极点，或者的零点和极点，或者的极点。又由的构造，其极点只能来自的极点，或者的极点。若是的极点但不是的极点，且既不是的零点和极点，也不是的极点，则是的极点。故。从而的极点只能来自的极点或者的零点和极点，或者的极点，所以：

结合(8)即有。

综上可得，则由引理5即可得。

证毕。

致谢

作者衷心感谢方明亮教授的指导和帮助！

基金项目

本文由国家自然科学基金资助(基金号：11371149)。

文章引用

杨城威,刘 丹. 亚纯函数与微分多项式分担小函数的唯一性
Uniqueness of Meromorphic Function and Its Differential Polynomial Sharing Small Functions[J]. 理论数学, 2015, 05(05): 212-218. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2015.55030

参考文献 (References)