Pure Mathematics
Vol.06 No.01(2016), Article ID:16845,5
pages
10.12677/PM.2016.61006
Several Inequalities Related to Circumcentre Lines for n-Dimensional Simplexes
Le Zhang, Weidong Wang
Department of Mathematics, China Three Gorges University, Yichang Hubei
Received: Nov. 25th, 2015; accepted: Jan. 21st, 2016; published: Jan. 28th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
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ABSTRACT
The essay has introduced the notion of circumcentre line, and has obtained several inequalities related to circumscribed sphere radius in an n-dimensional simplex by making use of it.
Keywords:n-Dimensional Simplex, Circumcentre Line, Circumscribed Sphere Radius
n维单形中与外心线相关的几个不等式
章乐,王卫东
三峡大学理学院数学系,湖北 宜昌
收稿日期:2015年11月25日;录用日期:2016年1月21日;发布日期:2016年1月28日
摘 要
本文引入了n维单形外心线的概念,并应用它建立了几个与n维单形外接球半径有关的不等式。
关键词 :n维单形,外心线,外接球半径
最近,文[1] 引入了与三角形高线,内角平分线和中线平行的一个新概念——三角形的外心线。结合这个新概念,文 [1] [2] 通过类比三角形中与高线、内角平分线和中线相关的不等式,建立了如下与三角形外心线相关的不等式。
定理A ( [2] ). 在锐角DABC中,设三条外心线的长为,,,外接圆半径为。
若,则
; (1)
若,则不等式(1)是逆向的。当时,不等式(1)和它的逆形式中等号成立当且仅当DABC为正三角形;当时,(1)是恒等式。
定理B ( [2] ). 在锐角DABC中,设三条外心线的长为,,,外接圆半径为。若,则
,
等号成立当且仅当DABC为正三角形。
定理C ( [1] ). 在锐角DABC中,设三条外心线的长为,,,外接圆半径为,则有
,
等号成立当且仅当DABC为正三角形。
关于三角形中与外心线相关的几何不等式研究,还可以参见文 [3] [4] 。
在文 [5] 中,段继艳和王卫东把定理A和定理C中的不等式推广到四面体中,建立了四面体中与外心线相关的不等式。本文将上述不等式推广到n维单形中,得到了n维单形中与外心线相关的不等式。这里,我们先给出n维单形外心线的概念如下:
定义1. 设为n维欧氏空间中的单形,其顶点集为,过n维单形的一个顶点和它的外接球的球心的直线,与顶点所对面所在的平面相交于一点,该顶点与交点之间的线段就叫做n维单形中过顶点的一条外心线。
在n维单形中,我们记过顶点的外心线长为,的外接球的半径为。结合定义1,我们建立了如下n维单形中与外心线相关的不等式。
定理1. 在n维单形中,设外接球的球心O在的内部,若,则
; (2)
若,则不等式(2)是逆向的。等号成立当时当且仅当中诸外心线长都相等;当时,(2)是恒等式。
定理2. 在n维单形中,设外接球的球心O在的内部,若,则
, (3)
等号成立当且仅当中外心线长都相等。
定理3. 在n维单形中,设外接球的球心O在的内部,则有
,(4)
等号成立当且仅当在中外心线长都相等。
下面我们给出上述定理1~3的证明。
引理1 (Holder不等式[6] ). 设均为正实数,为实数,且,若,则有
, (5)
等号成立当且仅当;若或,则不等式(5)是逆向的。
定理1的证明. 由于外接球的球心O在n维单形的内部,为此设n维单形,,,,的体积分别为,,,,,则的体积为。又设的延长线交所对面于点,则知,。由于
,
于是令,则有,且
。 (6)
因而可得
,
即
。 (7)
因此,利用(7)和Holder不等式(5)知:当时有
。(8)
由此可得不等式(2)。
同理,当时,利用Holder不等式(5)的逆形式,可得不等式(8)的逆形式,即得不等式(2)的逆为真。
显然,由(7)知,当时,(2)中等号成立;当时,根据Holder不等式取等号的条件知,不等式(8)和它的逆形式中等号成立当且仅当诸外心线长相等,即知不等式(2)和它的逆形式中等号成立当且仅当的诸外心线长都相等。定理1证毕。
定理2的证明. 当时,由Holder不等式(5)有
, (9)
且根据Holder不等式取等号的条件知,(9)中等号成立当且仅当诸外心线长都相等。
又由Holde不等式(5)有
,
由此利用(7)可得
, (10)
且等号成立当且仅当诸外心线长都相等。
于是由(9)和(10)知
,
即有
。
此即为不等式(3)。根据不等式(9)和(10)中取等号的条件知:不等式(3)中等号成立当且仅当诸外心线长都相等。
当时,由不等式(2)的逆和Holder不等式(5)有
,
由此仍然得到不等式(3)。定理2证毕。
定理3的证明. 由(6)知:
, (11)
又
, (12)
等号成立当且仅当诸都相等。
于是知
,
由此结合,则有。将其代入(11)中有
。
因此即得不等式(4)。
由不等式(12)取等号的条件知,不等式(4)中等号成立当且仅当诸相等,由(6)即知诸相等,定理3证毕。
利用Holder不等式(5)和不等式(4),易知
。
根据Holder不等式(5)取等号的条件知,上述不等式中等号成立当且仅当诸相等,即诸相等。由此可得如下结论:
推论1. 在n维单形中,设外接球的球心在的内部,则有
,
等号成立当且仅当n维单形中外心线长都相等。
基金项目
国家自然科学基金项目(11371224);三峡大学“求索”大学生创新活动计划重点项目。
文章引用
章 乐,王卫东. n维单形中与外心线相关的几个不等式
Several Inequalities Related to Circumcentre Lines for n-Dimensional Simplexes[J]. 理论数学, 2016, 06(01): 37-41. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.61006
参考文献 (References)
- 1. 贺小刚, 吴恒, 王卫东. 三角形中一类新的几何不等式[J]. 数学通报, 2012, 51(2): 62-63.
- 2. 陈贝贝, 王卫东. 关于三角形外心线的几个不等式[J]. 数学通报, 2012, 51(10): 58-60.
- 3. 赵龙潮, 王卫东. 涉及三角形外心线的一类几何不等式[J]. 数学通报, 2012, 51(7): 55-57.
- 4. 刘合勇, 邓秀方, 王卫东. 联系三角形外心线的几个不等式[J]. 中学数学教学参考, 2014, 1-2(下旬): 127-129.
- 5. 段继艳, 王卫东. 四面体中与外心线相关的几个不等式[J]. 数学通报, 2014, 53(7): 57-58.
- 6. 匡继昌. 常用不等式[M]. 第4版. 济南: 山东科技技术出版社, 2010.