ABSTRACT

Let and. Let be the class of sense-preserving univalent harmonic and odd mappings which map the unit disk onto with normalization and. We obtain the distortion theorem and area theorem of.

Keywords:Univalent Harmonic Mapping, Two-Slit Domain, Distortion Theorem, Area Theorem

单位圆到双狭缝区域间的调和映射

周敏¹，关丽娜²

¹惠州学院数学与大数据学院，广东 惠州

²深圳大学数学与统计学院，广东 深圳

收稿日期：2017年8月26日；录用日期：2017年9月10日；发布日期：2017年9月14日

摘 要

设，。且设为单位圆到上的所有满足标准化条件，且的所有保向同胚的调和奇映射所构成的函数族。我们给出了的长度扭伸定理和面积定理。

关键词 :单叶调和映射，双狭缝区域，长度扭伸定理，面积定理

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1. 引言

设为复平面内的单位圆盘。一个定义在上的二次可微函数如果满足，则称为上的一个调和映射。设，。且设集合为到上的所有满足的保向同胚的调和映射。由于是单连通区域，因此对于所有的，有，其中为内的解析映射。根据Lewy [1] 的一个结果，是保向局部一一映射当且仅当。若，且，则有且。因此，以下讨论中我们只考虑的子集即可。另外，若设分别为调和映射和共形映射，则易有，这说明了一个共形映射左复合一个调和映射的结果依旧是一个调和映射；但是由于，所以一个共形映射右复合一个调和映射的结

果却不一定依旧仍是一个调和映射。因此，许多作者研究了这些单位圆到具体的单连通区域的保向同胚的调和映射。关于这类研究，读者可参考文献 [2] - [7] 。尤其，在 [2] 中，利文斯顿考虑了单位圆到双狭

缝区域之间的调和映射。特别地，他还考虑了单位圆到的满足，且所有保向同胚的调和映射。我们不妨将这些从单位圆到上的满足，且的所有保向同胚的调和奇映射所构成的函数族记做。以下的定理A和定理B是由利文斯顿 [2] 所得到的：

定理A 设。则对于所有的，有

定理B设，若，，则有

2. 主要结果

在调和映射理论中，长度扭伸定理和面积扭伸定理是在几何函数论中经常考虑到的问题！因此，我们接下来考虑的长度扭伸定理和面积估计定理。为了得到长度扭伸公式，我们需要考虑下面的一个引理。它可以由定理A中的方法直接计算获得(见文献 [2] )。经过计算，我们可以得到以下的一个引理：

引理1 设，则有

有了引理1，我们接下来先给出的长度扭伸定理：

定理1设，则有

证明 根据引理1，对于所有的，可得

故

证毕。

接下来我们利用定理B给出面积定理。我们有：

定理2 设，令，记的面积为，则有

证明 设，，则根据定理B，有

所以

即

由于

和

所以

证毕。

文章引用

周 敏,关丽娜. 单位圆到双狭缝区域间的调和映射
Univalent Harmonic Mapping from Unit Disk onto Two-Slit Domains[J]. 理论数学, 2017, 07(05): 396-400. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.75051

参考文献 (References)