ABSTRACT

In this paper, we mainly study the problem of Valiron quasi-degenerate value over the meromorphic function and prove that: Let $f\left(z\right)$ be a transcendental meromorphic function such that $\underset{r\to \infty }{\overline{lim}}\frac{logT\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{logT\left(r,f\right)}<+\infty$ . If $0<\delta <1$ , then there exist $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ , such that the set

$\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$

is a subset of

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<e^{-e^{\sigma n}}\right\}}}$ ,

where $\sigma =\frac{log\frac{2}{2-\delta }}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}>0$ , which is a set of finite μ-measure.

Keywords:Meromorphic Function, μ-Measure, Valiron Quasi-Deficient

超越亚纯函数的拟亏值

马琳珂，刘丹

华南农业大学应用数学研究所，广东 广州

收稿日期：2018年8月18日；录用日期：2018年9月4日；发布日期：2018年9月11日

摘 要

本文主要研究超越亚纯函数的Valiron拟亏值问题，证明了：设 $f\left(z\right)$ 是复平面上满足 $\underset{r\to \infty }{\overline{lim}}\frac{logT\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{logT\left(r,f\right)}<+\infty$ 的超越亚纯函数。若 $0<\delta <1$ ，则存在一列复数 $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，使得集合

$\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$

含于

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<e^{-e^{\sigma n}}\right\}}}$ ，

其中 $\sigma =\frac{log\frac{2}{2-\delta }}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}>0$ ，即 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 为一个有穷μ测度集。

关键词 :亚纯函数，μ测度集，Valiron拟亏值

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1. 引言

在本文中，假设读者熟知Nevanlinna值分布理论的相关基础知识以及常见符号 [1] 。设 $f\left(z\right)$ 是复平面上的亚纯函数，a为任意的复数，Nevanlinna定义a关于 $f\left(z\right)$ 的亏量为 $\delta \left(a,f\right)=1-\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{N\left(r,a\right)}{T\left(r,f\right)}$ ，当 $\delta \left(a,f\right)>0$ 时，a称为 $f\left(z\right)$ 的Nevanlinna亏值.Valiron进一步定义 $\Delta \left(a,f\right)=1-\underset{r\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{N\left(r,a\right)}{T\left(r,f\right)}$ ，称为a关于 $f\left(z\right)$ 的Valiron亏量，当 $\Delta \left(a,f\right)>0$ 时，a称为 $f\left(z\right)$ 的Valiron亏值。

1970年，Hyllengren [2] 证明了对于有穷级亚纯函数和任意 $0<\delta <1$ ，集合 $\left\{a:\Delta \left(a,f\right)>\delta \right\}$ 一定是一个有穷 $\mu$ 测度集。即存在一列复数 $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，使得上述集合含于

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<{\text{e}}^{-{\text{e}}^{\sigma n}}\right\}}}$ 。

记 $N_{1)}\left(r,a\right)$ 为 $\left\{z|z\le r\right\}$ 内 $f\left(z\right)-a$ 的单重零点密指量，杨乐 [3] 引进了 ${\delta }_{1)}\left(a,f\right)=1-\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{N_{1)}\left(r,a\right)}{T\left(r,f\right)}$ ，当 ${\delta }_{1)}\left(a,f\right)>0$ 时，a称为 $f\left(z\right)$ 的Nevanlinna拟亏值。之后杨乐又定义了 ${\Delta }_{1)}\left(a,f\right)=1-\underset{r\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{N_{1)}\left(r,a\right)}{T\left(r,f\right)}$ ，当 ${\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>0$ 时，a称为 $f\left(z\right)$ 的Valiron拟亏值，并且证明了

定理A [4] ：设 $f\left(z\right)$ 为开平面有穷级的超越亚纯函数，若 $0<\delta <1$ ，则存在一列复数 $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，使得集合 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 含于

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<{\text{e}}^{-{\text{e}}^{\sigma n}}\right\}}},$

其中 $\sigma =\frac{\log \frac{2}{2-\delta }}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}>0$ 。

之后Furuta和Toda他们引进了 [5]

$T_0\left(r,f\right)={\displaystyle {\int }_1^r\frac{T\left(t,f\right)}{t}\text{d}t},N_0\left(r,a\right)={\displaystyle {\int }_1^r\frac{N\left(t,a\right)}{t}\text{d}t},{\Delta }_0\left(a,f\right)=1-\underset{r\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{N_0\left(r,a\right)}{T_0\left(r,f\right)}$ 。

当 ${\Delta }_0\left(a,f\right)>0$ 时，a称为 $f\left(z\right)$ 的修正Valiron亏量。

相对于杨乐的做法，方明亮、郭辉定义了

$N_{1)0}\left(r,a\right)={\displaystyle {\int }_1^r\frac{N_{1)}\left(t,a\right)}{t}\text{d}t},{\Delta }_{1)0}\left(a,f\right)=1-\underset{r\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{N_{1)0}\left(r,a\right)}{T_0\left(r,f\right)}$ 。

当 ${\Delta }_{1)0}\left(a,f\right)>0$ 时，a称为 $f\left(z\right)$ 的修正Valiron拟亏值。

相对于修正的Valiron亏值以及拟亏值，对于超越亚纯函数可以把“有穷级”的限制条件去掉。从而得到以下定理

定理B [6] ：设 $f\left(z\right)$ 是复平面上的超越亚纯函数。若 $0<\delta <1$ ，则存在一列复数 $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，使得集合 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 含于

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<{\text{e}}^{-{\text{e}}^{\sigma n}}\right\}}},$

其中 $\sigma =\frac{\log \frac{2}{2-\delta }}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}>0$ 。

对于定理A，去掉“有穷级”是否可以呢？刘丹等人得出如下定理

定理C [7] ：设 $f\left(z\right)$ 是复平面上满足 $\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{\log T\left(r+\frac{1}{r},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}<+\infty$ 的超越亚纯函数。若 $0<\delta <1$ ，则存在一列复数 $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，使得集合 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 含于

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<{\text{e}}^{-{\text{e}}^{\sigma n}}\right\}}},$

其中 $\sigma =\frac{\log \frac{2}{2-\delta }}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}>0$ 。

本文将定理C进行了推广和扩展，使得运用更加广泛。即

定理1：设 $f\left(z\right)$ 是复平面上满足 $\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}<+\infty$ 的超越亚纯函数。若 $0<\delta <1$ ，则存在一列复数 $a_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ ，使得集合

$\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$

含于

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{n=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a-a_n\right|<{\text{e}}^{-{\text{e}}^{\sigma n}}\right\}}},$

其中 $\sigma =\frac{\log \frac{2}{2-\delta }}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}>0$ 。即 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 为一个有穷 $\mu$ 测度集。

2. 几个引理

引理1 [9] ：设 $f\left(z\right)$ 是 $\left\{z|\left|z\right|<R\right\}$ 内的亚纯函数。若 $f\left(0\right)\ne 0,\infty$ ，则对于 $0<r<\rho <R$ 有

$m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le 4{\log }^{+}T\left(\rho ,f\right)+4{\log }^{+}\rho +3{\log }^{+}\frac{1}{\rho -r}+2{\log }^{+}\frac{1}{r}+4{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}+10$ 。

引理2 [9] ：对于 $x>0,A\ge \text{e}$ ，则有

$\log x+A{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{x}\le {\log }^{+}x+A\left(\log A-1\right)$ 。

引理3 [4] ：设 $f\left(z\right)$ 为复平面上的超越亚纯函数。若 $0<\delta <1$ ，当 $r_k\to +\infty \left(k\to \infty \right)$ 时， $T\left(r_k,f\right)={\left(\frac{2}{2-\delta }\right)}^k$ $\left(k=1,2,\cdots \right)$ ，则集合 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 含于集

$\left\{a:1-\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{N_{1)}\left(r_k,a\right)}{T\left(r_k,f\right)}>\frac{\delta }{2}\right\}$ 。

证：如果对某个复数a有 ${\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta$ ，则一定存在一列 $\rho$ 趋于 $\infty$ ，使得对每个 $\rho$ 都有

$T\left(\rho ,f\right)-N_{1)}\left(\rho ,a\right)>{\delta }^{\prime }\begin{array}{c}T\left(\rho ,f\right)\end{array},\left({\delta }^{\prime }>\delta \right)$ 。

对于每个 $\rho$ 都存在相应的k，使得 $r_k\le \rho <r_{k+1}$ ，则

$\begin{array}{c}T\left(r_k,f\right)-N_{1)}\left(r_k,a\right)\ge \frac{2-\delta }{2}T\left(r_{k+1},f\right)-N_{1)}\left(\rho ,a\right)\ge \frac{2-\delta }{2}T\left(\rho ,f\right)-N_{1)}\left(\rho ,a\right)\\ =\frac{1}{2}\left\{2\left[T\left(\rho ,f\right)-N_{1)}\left(\rho ,a\right)\right]-\delta T\left(\rho ,f\right)\right\}\ge \frac{{\delta }^{\prime }}{2}T\left(r_k,f\right)\ge \frac{\delta }{2}T\left(r_k,f\right)\end{array}$

于是存在一列值 $r_k$ 使得上式成立。证毕。

引理4 [4] ：设 $f\left(z\right)$ 为复平面上的亚纯函数， $a_{\nu }\left(\nu =1,2,\cdots ,q\right)$ 为q个判别的有穷复数，记 $d=\underset{1\le \mu <\nu \le q}{\min }\left|a_{\mu }-a_{\nu }\right|$ 。如果 $f\left(0\right)\ne 0,a_{\nu },\infty$ ； $f^{\prime }\left(0\right)\ne 0$ ，则有

${\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\left\{T\left(r,f\right)-N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)\right\}}\le 4T\left(r,f\right)+S\left(r,f\right)$ 。

其中

$S\left(r,f\right)=2m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)+2m\left(r,{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\frac{f^{\prime }}{f-a_{\nu }}}\right)+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\log \left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}+2\log \frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}+\left(q+2\right)\log 2$

证：根据Nevanlinna第二基本定理 [8]

${\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}m\left(r,a_{\nu }\right)}\le 2T\left(r,f\right)-N_1\left(r\right)+S_1\left(r,f\right)$ 。

其中

$N_1\left(r\right)=2N\left(r,f\right)-N\left(r,f^{\prime }\right)+N\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right),$

$S_1\left(r,f\right)=m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)+m\left(r,{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\frac{f^{\prime }}{f-a_{\nu }}}\right)+\log \frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}+q{\log }^{+}\frac{3q}{d}+\log 2$ 。 (1)

可得到

${\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}T\left(r,\frac{1}{f-a_{\nu }}\right)}\le 2T\left(r,f\right)+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\bar{N}\left(r,a_{\nu }\right)}+S_1\left(r,f\right)$ 。

设 $N_{(2}\left(r,a\right)=N\left(r,a\right)-N_{1)}\left(r,a\right)$ ，以及 ${\bar{N}}_{(2}\left(r,a\right)=\bar{N}\left(r,a\right)-N_{1)}\left(r,a\right)$ ，可以得到 ${\bar{N}}_{(2}\left(r,a\right)\le \frac{1}{2}{N}_{(2}\left(r,a\right)$ 。则有

$\bar{N}\left(r,a_{\nu }\right)=N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,a_{\nu }\right)\le N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)+\frac{1}{2}{N}_{(2}\left(r,a_v\right)\le \frac{1}{2}{N}_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)+\frac{1}{2}T\left(r,\frac{1}{f-a_{\nu }}\right),\left(\nu =1,2,\cdots ,q\right)$ 。

从而可得

${\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\left\{T\left(r,\frac{1}{f-a_{\nu }}\right)-N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)\right\}}\le 4T\left(r,f\right)+2S_1\left(r,f\right),$ (2)

且

$T\left(r,\frac{1}{f-a_{\nu }}\right)=T\left(r,f-a_{\nu }\right)+\log \frac{1}{\left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}\ge T\left(r,f\right)-{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|-\log 2+\log \frac{1}{\left|f\left(0\right)-a_v\right|},$ (3)

将(1)和(3)带入(2)，即可得到引理4的结论。证毕。

引理5：设 $f\left(z\right)$ 是复平面上满足 $\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}<+\infty$ 的亚纯函数， $a_{\nu }\left(\nu =1,2,\cdots ,q;q>4\right)$ 为q个互相判别的有穷复数， $d=\underset{1\le \mu <\nu \le q}{\min }\left|a_{\mu }-a_{\nu }\right|$ 。如果 $f\left(0\right)\ne 0,a_{\nu },\infty$ ； $f^{\prime }\left(0\right)\ne 0$ ,则存在充分大的正数 $r_0$ ，且 $r_0>\max \left\{\text{e},\left|f\left(0\right)\right|,\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|},\frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}\right\}$ ，使得当 $r\ge r_0$ 时，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\left\{T\left(r,f\right)-N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)\right\}}\le 4T\left(r,f\right)+2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\log T\left(r,f\right)+\left[\left(8M+71\right)q+48\right]\log r\\ +8\left(M+2\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}\end{array}$ 。

证：由引理4可得，我们只要对其中的 $S\left(r,f\right)$ 进行适当的估计即可。

由于

$\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}<+\infty ,$

不妨设

$\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}=M$ ， $M>0$ 为常数。

当r充分大时， $\frac{\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}<M+1$ ，故 $\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)<\left(M+1\right)\log T\left(r,f\right)$ 。取 $r_0$ 适当大使得 $r_0>\max \left\{\text{e},\left|f\left(0\right)\right|,\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|},\frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}\right\}$ ，且 $T\left(r,f\right)\ge 1$ 。当 $r_0<r<R=r+\frac{1}{T\left(r,f\right)}$ 时，根据引理1可得

$\begin{array}{c}m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)\le 4{\log }^{+}T\left(R,f\right)+4{\log }^{+}R+3{\log }^{+}\frac{1}{R-r}+2{\log }^{+}\frac{1}{r}+4{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}+10\\ \le 4\left(M+1\right){\log }^{+}T\left(r,f\right)+4{\log }^{+}\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)}\right)+3{\log }^{+}T\left(r,f\right)+2{\log }^{+}\frac{1}{r}+4{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}+10\\ \le 4\left(M+1\right){\log }^{+}T\left(r,f\right)+18{\log }^{+}r+3{\log }^{+}T\left(r,f\right)+4{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}\\ =4\left(M+7\right)\log T\left(r,f\right)+18\log r+4{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}\end{array}$

对于项 $m\left(r,{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\frac{f^{\prime }}{f-a_{\nu }}}\right)$ ，有

$\begin{array}{c}m\left(r,{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\frac{f^{\prime }}{f-a_{\nu }}}\right)\le {\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f-a_v}\right)}+\log q\\ \le \left(4M+7\right)q\log T\left(r,f\right)+\left(4M+7\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+\left(4M+7\right)q\log 2\\ +18q\log r+4{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}}+\log q\\ \le \left(4M+7\right)q\log T\left(r,f\right)+4{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}}\\ +\left(4M+7\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+\left(4M+25\right)q\log r+\log q\end{array}$

由 $r>r_0$ ，且 $r_0>\max \left\{\text{e},\left|f\left(0\right)\right|,\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|},\frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}\right\}$ ，可以看出

$8{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}\le 8{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}\le 8\log r,\left(r\ge r_0\right),$

$\log \frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}\le \log r,$

$\begin{array}{l}\log \left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|+8{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)-a_v\right|}\\ \le {\log }^{+}\left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|+8\left(\log 8-1\right)\le {\log }^{+}\left|f\left(0\right)\right|+{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|+17\\ <18\log r+{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|,\left(r\ge r_0\right)\end{array}$ 。

则当 $r\ge r_0$ 时， $S\left(r,f\right)$ 就有如下的估计：

$\begin{array}{c}S\left(r,f\right)=2m\left(r,\frac{f^{\prime }}{f}\right)+2m\left(r,{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\frac{f^{\prime }}{f-a_{\nu }}}\right)+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\log \left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}\\ +2\log \frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}+\left(q+2\right)\log 2\\ \le 2\left[\left(4M+7\right)\log T\left(r,f\right)+18\log r+4{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)\right|}\right]\\ +2[\left(4M+7\right)q\log T\left(r,f\right)+4{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}{\log }^{+}\frac{1}{\left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}}\\ +\left(4M+7\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+\left(4M+25\right)q\log r+\log q]+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\log \left|f\left(0\right)-a_{\nu }\right|}\end{array}$

$\begin{array}{l}+2\log \frac{1}{\left|f^{\prime }\left(0\right)\right|}+{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}+\left(q+2\right)\log 2\\ \le 2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\log T\left(r,f\right)+36\log r+2q\left(4M+25\right)\log r+10\log r\\ +18q\log r+8\left(M+2\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2\log q+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}+\left(q+2\right)\log r\\ =2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\log T\left(r,f\right)+\left[\left(8M+71\right)q+48\right]\log r\\ +8\left(M+2\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}\end{array}$

证毕。

引理6：设 $f\left(z\right)$ 是复平面上满足 $\underset{r\to \infty }{\bar{\lim }}\frac{\log T\left(r+\frac{1}{T\left(r,f\right)},f\right)}{\log T\left(r,f\right)}<+\infty$ 的超越亚纯函数。若 $0<\delta <1$ ，则存在一个充分大的正数 ${r^{\prime }}_0$ ，使得对于每个 $r>{r^{\prime }}_0$ ，集合

$\left\{a:\left|a\right|<r,T\left(r,f\right)-N_{1)}\left(r,a\right)>\frac{\delta }{2}T\left(r,f\right)\right\}$

含于至多 $\left[\frac{10}{\delta }\right]$ 个半径为 ${\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}T\left(r,f\right)}$ 的小圆内。

证：由于 $f\left(z\right)$ 是复平面上的超越亚纯函数，所以

$\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{\log r}{T\left(r,f\right)}=0,$

显然

$\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{\log T\left(r,f\right)}{T\left(r,f\right)}=0$ 。

我们取 ${r^{\prime }}_0>r_0$ ，且 $r>{r^{\prime }}_0$ ，有

$2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\frac{\log T\left(r,f\right)}{T\left(r,f\right)}+\left[\left(16M+87\right)q+48\right]\frac{\log r}{T\left(r,f\right)}+2q\frac{{\log }^{+}3q}{T\left(r,f\right)}<\frac{1}{3},$ (4)

其中 $r_0$ 由引理5确定。

如果引理6的结论不成立，则必定存在一个正数 $r>{r^{\prime }}_0$ 和 $q=\left[\frac{10}{\delta }\right]+1$ 个点 $a_{\nu }\left(\nu =1,2,\cdots ,q\right)$ 使得

$\left|a_{\nu }\right|\le r$ ， $d=\underset{1\le \mu <\nu \le q}{\min }\left|a_{\mu }-a_{\nu }\right|\ge {\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}T\left(r,f\right)},$

$T\left(r,f\right)-N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)>\frac{\delta }{2}T\left(r,f\right),\left(\nu =1,2,\cdots ,q\right)$ 。

由引理5可得

$\begin{array}{c}\frac{\delta q}{2}T\left(r,f\right)<{\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}\left\{T\left(r,f\right)-N_{1)}\left(r,a_{\nu }\right)\right\}}\\ \le 4T\left(r,f\right)+2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\log T\left(r,f\right)+\left[\left(8M+71\right)q+48\right]\log r\\ +8\left(M+2\right){\displaystyle \underset{\nu =1}{\overset{q}{\sum }}{\log }^{+}\left|a_{\nu }\right|}+2q{\log }^{+}\frac{3q}{d}\\ <4T\left(r,f\right)+2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\log T\left(r,f\right)+\left[\left(8M+71\right)q+48\right]\log r\\ +8q\left(M+2\right)\log r+2q{\log }^{+}3q+2q\frac{\delta }{36}T\left(r,f\right)\end{array}$ ，

于是有

$\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{18}\right)\delta \left(\left[\frac{10}{\delta }\right]+1\right)<4+2\left(q+1\right)\left(4M+7\right)\frac{\log T\left(r,f\right)}{T\left(r,f\right)}\\ +\left[\left(16M+87\right)q+48\right]\frac{\log r}{T\left(r,f\right)}+2q\frac{{\log }^{+}3q}{T\left(r,f\right)}\end{array}$ 。

结合(4)和上式可得： $\frac{40}{9}<4+\frac{1}{3}$ ，矛盾。证毕。

3. 主要结果的证明

取正整数 $k_0$ ，使得 $k_0>\max \left\{1+\frac{\log \frac{36}{\delta }}{\log \frac{2}{2-\delta }},\frac{\log {r^{\prime }}_0}{\log \frac{2}{2-\delta }}\right\}$ ，其中 ${r^{\prime }}_0$ 由引理6确定。设 $r_k\left(k\ge k_0\right)$ 为引理3中定义的序列。按照引理3，集合 $\left\{a:{\Delta }_{1)}\left(a,f\right)>\delta \right\}$ 应含于

$\left\{a:1-\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\frac{N_{1)}\left(r_k,a\right)}{T\left(r_k,f\right)}>\frac{\delta }{2}\right\}$ ，

而后者又含于

${\displaystyle \underset{j=k_0}{\overset{\infty }{\cap }}{\displaystyle \underset{k=j}{\overset{\infty }{\cup }}\left\{a:\left|a\right|<r_k,T\left(r_k,f\right)-N_{1)}\left(r_k,a\right)>\frac{\delta }{2}T\left(r_k,f\right)\right\}}}$ 。

由引理6，对于每一个固定的 $k\left(k_0\le k<\infty \right)$ ，集合

$\left\{a:\left|a\right|<r_k,T\left(r_k,f\right)-N_{1)}\left(r_k,a\right)>\frac{\delta }{2}T\left(r_k,f\right)\right\}$

应该含于至多 $\left[\frac{10}{\delta }\right]$ 个半径为 ${\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}T\left(r_k,f\right)}$ 的小圆 $C_{kl}\left(l=1,2,\cdots ,\left[\frac{10}{\delta }\right]\right)$ 内。当 $k,l$ 变化时，将所有的小圆重新记为 $C_n\left(n=\left(k-k_0\right)\left[\frac{10}{\delta }\right]+l;k=k_0,k_0+1,\cdots ;l=1,2,\cdots ,\left[\frac{10}{\delta }\right]\right)$ 。 $C_n$ 的半径为

${\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}T\left(r,f\right)}={\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}{\left(\frac{2}{2-\delta }\right)}^k}={\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}{\left(\frac{2}{2-\delta }\right)}^{\frac{n-l}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}+k_0}}\le {\text{e}}^{-\frac{\delta }{36}{\left(\frac{2}{2-\delta }\right)}^{\frac{n}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}+k_0-1}}\le {\text{e}}^{-{\left(\frac{2}{2-\delta }\right)}^{\frac{1}{\left[\frac{10}{\delta }\right]}n}}$ ，

于是定理1得证。

基金项目

国家自然科学基金(No. 11371149, No. 11701188)资助。

文章引用

马琳珂,刘 丹. 超越亚纯函数的拟亏值
Valiron Quasi-Deficient of Meromorphic Functions[J]. 理论数学, 2018, 08(05): 499-507. https://doi.org/10.12677/PM.2018.85067

参考文献