ABSTRACT

We study the maximum likelihood estimator of the drift estimation in a non-stationary Ornstein-Uhlenbeck process. Upper bounds of moderate deviations for this estimator are obtained.

Keywords:Drift Estimation, Moderate Deviations, Non-Stationary Ornstein-Uhleneck Process

非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程中参数估计量的中偏差上界

邵 金

南京航空航天大学理学院数学系，江苏 南京

收稿日期：2018年10月15日；录用日期：2018年10月27日；发布日期：2018年11月8日

摘 要

对于非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程，我们研究它的漂移项参数的极大似然估计量，得到了该估计量的中偏差上界。

关键词 :漂移项参数，中偏差，非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程

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1. 引言

考虑如下的非平稳Ornstein-Uhlenbeck (O-U)过程：

$\text{d}{X}_t=\theta X_t\text{d}t+\text{d}{W}_t,X_0=x_0,t\ge 0$ (1)

其中W为标准布朗运动，参数 $\theta \in ℝ$ 未知。 $P_{\theta }$ 表示(1)的解的概率分布，(1)的似然率过程可具体表示如下 [1] ：

${\frac{\text{d}{P}_{{\theta }_1}}{\text{d}{P}_{{\theta }_0}}|}_{{\mathcal{F}}_{{}_T}}=\exp \left\{\left({\theta }_1-{\theta }_0\right){\displaystyle {\int }_0^T{X}_s\text{d}{X}_s}-\frac{{\theta }_1^2-{\theta }_0^2}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}$ (2)

其中， ${\mathcal{F}}_T=\sigma \left(W_s,s\le T\right)$ ， ${\theta }_0,{\theta }_1\in ℝ$ 。基于 $\left\{X_t,t\ge 0\right\}$ 的观测值， $\theta$ 在 $P_{\theta }$ 之下的极大似然估计量(MLE)为：

${\hat{\theta }}_T=\frac{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s\text{d}{X}_s}}{{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}}.$

已知 ${\hat{\theta }}_T$ 是强相合的，但根据 $\theta$ 的值可知，分布行为和相应的速度是不同的。

1) 若 $\theta <0$ ，(1)中过程X是遍历的，且

$\sqrt{T}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\Rightarrow N\left(0,-2\theta \right),$

其中 $\Rightarrow$ 表示依分布收敛。Florens-Landais和Pham [2] 利用Gärtner-Ellis定理得到了大偏差。Bercu和Rouault [3] 提出了精细大偏差，而Guillin和Liptser [4] 得到了中偏差。Gao和Jiang [5] 研究了一些偏差不等式以及中偏差。

2) 若 $\theta >0$ ，(1)中过程X是非常返的，且

$\frac{{\text{e}}^{\theta T}}{\sqrt{2\theta }}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\Rightarrow \frac{\nu }{\eta },$

其中， $\nu$ 和 $\eta$ 为两个独立的高斯随机变量 [6] 。

对于非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程，如 $\theta >0$ 的情况，Bercu，Coutin和Savy [7] 已经研究了 ${\hat{\theta }}_T$ 的精细大偏差。本文受非平稳高斯自回归过程的中偏差启发，考虑估计量 ${\hat{\theta }}_T$ 的中偏差上界。

2. 引理及证明

接下来介绍两个关键引理。

令 $b_T,T\ge 0$ 为一个非负函数且满足 $b_T=o\left(T\right)$ 。

引理1：若 $\theta >0$ ，对任意的 $\alpha >0$ 和 $x\in ℝ$ ，我们有

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{b_T}\log E_{P_{\theta }}\exp \left\{-\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}\right\}=\{\begin{array}{l}-x,x\ge 0;\\ 0,x<0.\end{array}$

证明：由Girsanov’s公式，对 $\mu >0$ ，Florens-Landais和Pham [2] 得到

$\begin{array}{l}\log E_{P_{\theta }}\exp \left\{-\mu {\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\\ =-\frac{T}{2}\left(\theta +\sqrt{{\theta }^2+2\mu }\right)-\frac{1}{2}\log \left(\frac{1}{2}-\frac{\theta }{2\sqrt{{\theta }^2+2\mu }}+\frac{\theta +\sqrt{{\theta }^2+2\mu }}{2\sqrt{{\theta }^2+2\mu }}{\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\mu }}\right)\\ -\frac{x_0^2\mu }{\theta -\sqrt{{\theta }^2+2\mu }\coth \left(T\sqrt{{\theta }^2+2\mu }\right)}\end{array}$

当 $\theta >0$ 时，有

$\begin{array}{l}\log E_{P_{\theta }}\exp \left\{-\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }{\displaystyle {\int }_0^T{X}_t^2\text{d}t}\right\}\\ =-\frac{1}{2}\log \left(\frac{1}{2}-\frac{\theta }{2\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}+\frac{\theta +\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}{2\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}{\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha e^{2b_{T}x-2T\theta }}}\right)\\ -\frac{x_0^2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}{\theta -\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}\coth \left(T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}\right)}-\frac{T}{2}\left(\theta +\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}\right)\\ :=L_1\left(T\right)+L_2\left(T\right)+L_3(\; T\; )\end{array}$

由泰勒公式，我们有

$\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}=\theta +\frac{\alpha }{\theta }{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }+o\left({\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right),$

由此可推得

$\underset{T\to \infty }{\lim }{L}_2\left(T\right)=-\theta x_0^2,L_3\left(T\right)=-\theta T+{\rm O}\left(T{\text{e}}^{2b_{T}x-2\theta T}\right).$ (3)

对 $L_1\left(T\right)$ ，由简单计算得到

$\frac{\theta }{2\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}=\frac{1}{2\sqrt{1+\frac{2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}{{\theta }^2}}}=\frac{1}{2}-\frac{\alpha }{2{\theta }^2}{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }+o\left({\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right)$

和

$\frac{\theta +\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}{2\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}{\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}={\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}+o\left({\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right).$

因此，

$L_1\left(T\right)=-\frac{1}{2}\log \left(\frac{\alpha }{2{\theta }^2}{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }+{\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}+o\left({\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right)\right).$ (4)

若 $x\ge 0$ ，则

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}{{\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}}=+\infty$

利用(3)和(4)，可推得

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{b_T}\left(L_1\left(T\right)+L_3\left(T\right)\right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{b_T}\left(-\frac{1}{2}\log \left(\frac{\alpha }{2{\theta }^2}{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }+o\left({\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right)\right)-\theta T+{\rm O}\left(T{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right)\right)=-x$ (5)

另一方面，若 $x<0$ ，则

$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}{{\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}}=0,$

可推得

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{b_T}\left(L_1\left(T\right)+L_3\left(T\right)\right)\\ =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{b_T}\left(-\frac{1}{2}\log \left({\text{e}}^{-2T\sqrt{{\theta }^2+2\alpha {\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }}}+o\left({\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right)\right)-\theta T+{\rm O}\left(T{\text{e}}^{2b_{T}x-2T\theta }\right)\right)=0\end{array}$ (6)

结合(3)，(5)和(6)，引理1得证。

引理2：对任意 $r>0$ ，有

$P_{\theta }\left(\left|{\hat{\theta }}_T-\theta \right|\ge r\right)\le 2\underset{q>1}{\inf }{\left(E_{P_{\theta }}\exp \left\{-\frac{r^2}{2}\left(q-1\right){\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\right)}^{\frac{1}{q}}.$

证明：因为对任意 $p>1$ ，有

$\exp \left\{\lambda p{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s\text{d}{W}_s}-\frac{p^2}{2}{\lambda }^2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\},T\ge 0$

是 ${\mathcal{F}}_T$ -鞅，对任意 $\lambda >0$ ，

$\begin{array}{l}P\left({\hat{\theta }}_T-\theta \ge r\right)\\ \le E_{P_{\theta }}\exp \left\{\lambda {\displaystyle {\int }_0^T{X}_s\text{d}{W}_s}-r\lambda {\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\\ =E_{P_{\theta }}\exp \left\{\lambda {\displaystyle {\int }_0^T{X}_s\text{d}{W}_s}-\frac{p}{2}{\lambda }^2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}+\frac{p}{2}{\lambda }^2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}-r\lambda {\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\\ \le {\left(E_{P_{\theta }}\exp \left\{\lambda p{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s\text{d}{W}_s}-\frac{p^2}{2}{\lambda }^2{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(E_{P_{\theta }}\exp \left\{\left(\frac{pq}{2}{\lambda }^2-qr\lambda \right){\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ ={\left(E_{P_{\theta }}\exp \left\{\left(\frac{pq}{2}{\lambda }^2-qr\lambda \right){\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\right)}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

其中， $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。结合 $\underset{\lambda >0}{\inf }\left\{\frac{pq}{2}{\lambda }^2-qr\lambda \right\}=-\frac{r^2}{2}\left(q-1\right)$ ，可得

$P_{\theta }\left({\hat{\theta }}_T-\theta \ge r\right)\le \underset{q>1}{\inf }{\left(E_{P_{\theta }}\exp \left\{-\frac{r^2}{2}\left(q-1\right){\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\right)}^{\frac{1}{q}}.$

故引理2得证。

3. 主要结论及证明

定理：若 $\theta >0$ ， $\left\{{\left|{\text{e}}^{\theta T}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\right|}^{\frac{1}{b_T}},T>0\right\}$ 以速度 $b_T$ 满足中偏差上界，且速率函数为

$I\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\log x,x\ge 1;\\ 0,0<x<1;\\ +\infty ,x\le 0.\end{array}$

如，对任意闭集 $F\subset ℝ$ ，

$\underset{T\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{b_T}\log P_{\theta }\left({\left|{\text{e}}^{\theta T}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\right|}^{\frac{1}{b_T}}\in F\right)\le -\underset{x\in F}{\inf }I\left(x\right).$

证明：对任意给定 $x>0$ ，由引理2有

$\begin{array}{l}\underset{T\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{b_T}\log P_{\theta }\left({\left|{\text{e}}^{\theta T}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\right|}^{\frac{1}{b_T}}\ge x\right)\\ =\underset{T\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{b_T}\log P_{\theta }\left(\frac{\log \left|{\text{e}}^{\theta T}\left({\hat{\theta }}_T-\theta \right)\right|}{b_T}\ge \log x\right)\\ =\underset{T\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{b_T}\log P_{\theta }\left(\left|{\hat{\theta }}_T-\theta \right|\ge {\text{e}}^{b_T\log x-\theta T}\right)\\ \le \underset{T\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{b_T}\underset{q>1}{\inf }\frac{1}{q}\log \left(2E_{P_{\theta }}\exp \left\{-\frac{q-1}{2}{\text{e}}^{2b_T\log x-2\theta T}{\displaystyle {\int }_0^T{X}_s^2\text{d}s}\right\}\right)\\ =-\underset{q>1}{\sup }\frac{\log x}{q}=\{\begin{array}{l}-\log x,x\ge 1;\\ 0,0<x<1.\end{array}\end{array}$

结合Worms [8] 中引理3，定理得证。

基金项目

南京航空航天大学2017年研究生创新基地(实验室)开放基金立项资助项目(项目编号：kfjj20170805)。

文章引用

邵 金. 非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程中参数估计量的中偏差上界
Upper Bounds of Moderate Deviations for the Estimator in the Non-Stationary Ornstein-Ulenbeck Process[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 632-636. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86084

参考文献