Advances in Applied Mathematics
Vol.07 No.01(2018), Article ID:23518,8
pages
10.12677/AAM.2018.71006
Solving the Fractional Bagley-Torvik Equations with Uncertainty
Xueling Liu, Shanli Liao, Yuanbo Wu, Xianci Zhong
School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning Guangxi
Received: Dec. 19th, 2017; accepted: Jan. 17th, 2018; published: Jan. 24th, 2018
ABSTRACT
This paper investigates the problem of the fractional Bagley-Torvik equation with uncertainty boundary-value conditions. Under the Caputo’s H-differentiability, the fuzzy Laplace transform is introduced. The uncertainty boundary-value conditions are assumed to be fuzzy numbers. The series solution of fractional Bagley-Torvik equation is given. Numerical results are shown to illustrate the obtained solution.
Keywords:Fractional Bagley-Torvik Equation, Uncertainty, Fuzzy Laplace Transform, Fuzzy Number, Caputo’s H-Differentiability
不确定分数阶Bagley-Torvik方程的解
刘雪铃,廖珊莉,吴远波,钟献词
广西大学数学与信息科学学院,广西 南宁
收稿日期:2017年12月19日;录用日期:2018年1月17日;发布日期:2018年1月24日
摘 要
本文研究分数阶Bagley-Torvik方程不确定边值条件下的解。基于Caputo分数阶导数定义和广义的Hukuhara可微性,引进模糊Laplace变换,不确定边界条件为模糊数,给出了问题的级数解。数值结果分析了解的性态。
关键词 :分数阶Bagley-Torvik方程,不确定性,模糊Laplace变换,模糊数,Caputo分数阶微积分
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
模糊微分方程的理论近年来引起了人们广泛的关注,这一理论为模拟实际物理、力学、工程中的不确定性问题提供了新的方法,吸引了众多学者研究和探索 [1] [2] [3] [4] 。如模糊Laplace变换 [5] [6] ,改进Euler方法 [7] ,模糊Fourier变换 [8] [9] 。此外,许多学者也给了丰富的理论基础,如文献 [10] 中给出了模糊数和三角模糊数下的方程的基本定理,文献 [11] 中介绍了模糊情形下的Laplace变换,为解决模糊分数阶微分方程奠定了坚实的基础。文献 [8] 中介绍了一些关于某些类型微分之间关系的新结果,文献 [12] 中给出了在模糊的Laplace变换下方程解的存在性定理。
其次,分数阶微积分是整数阶微积分理论的一般化,其理论与应用研究也吸引了众多学者的兴趣,比如著名的分数阶Bagley-Torvik方程 [13] 。近年来,分数阶微分方程的不确定性边值问题成为了新的研究热点 [4] [5] [7] [9] 。在本文中,我们考虑Caputo分数阶定义下Bagley-Torvik方程的模糊边值问题:
(1)
这里 是常数, 是未知的, , 是模糊数,分数阶导数定义如下:
其中 是 函数。将采用模糊Laplace变换方法给出问题的级数解,并通过数值实例分析解的性态。
2. 预备知识
下面介绍一些模糊数学和分数阶模糊微积分的一些概念。
定义1: [14] [15] 记 满足以下性质:
1) 是正规的模糊集,既存在 使得 ;
2) 是凸函数集,即
;
3) 是上半连续函数;
4) 是紧集;
此外,如果 且 ,则 的 阶截集被定义为:
很容易发现 的 截集是闭集和有界的,为此我们用区间 来表示, 即 的左端点, 是 右端点。
定义2: [15] [16] [17] 对 ,则 均为 上的函数且满足:
单调非降左连续;
单调非增连续;
;
在 处连续;
记 ,
,
则 和 在 上连续。
基于Zadeh扩张原理的和、差及乘运算将分别记为 , , 。则有:
定义3: [2] 若 ,存在 ,且 ,那么可以称 在 是广义的强可微,且对 和 ,满足:
(2)
或
(3)
或
(4)
或
(5)
定理1: [18] 若 是定义在 上的模糊函数,对 都是在 是可积的。如果 是正函数, , ,那么称 在 上是模糊可积的,此外:
(6)
注释:如果 , 和 都可微,则有:
,
,
分别称为情况(i)和情况(ii)。
定理2:(模糊卷积定理)假设函数 和 是定义在 上的分段连续函数,并且带有模糊边值,则
(7)
注意到函数的经典模糊Laplace变换表示为:
(8)
; (9)
; (10)
定理3: [19] 如果 , , ,则对任意 ,Caputo分数阶导数有:
当 是第(i)种的情况时有:
;
当 是第(ii)种的情况时有:
;
这里有:
,
,
定理4: [20] 如果 和 在 上连续并且带有模糊的初值, 是在 上的分段连续函数并带有模糊的初值,则有:
当 和 都是第(i)种情况:
, (11)
当 是第(i)种情况, 是第(ii)种情况:
, (12)
当 和 都是第(ii)种情况:
, (13)
当 是第(ii)种情况, 是第(i)种情况:
(14)
3. 问题的求解
这里我们假设 , , 均为常数, 均为模糊数。
由Laplace变换作用(1)式等价为
(15)
根据(15)式可以得到
根据模糊的Laplace变换的卷积定理,上式可以得到
(16)
(17)
根据(1)式中的边值条件和方程(16),(17)我们可以得到未知的 表示为:
这里有
从而得到了Bagley-Torvik方程模糊边值问题的级数解。
4. 数值实例
例1:考虑以下Bagley-Torvik方程的两点模糊边值问题:
根据公式(16),(17)我们可以得到以下数值解。选择部分参数值进行计算,如当 ,并 均为第(i)种情况,我们得到表1。当 ,并且 为第(i)种情况, 为第(ii)种情况我们得到表2。
通过表1和表2的数值结果进行分析,可以发现表1中的数值结果稳定,符合实际情形。而当 为第(i)种情况, 为第(ii)种情况时,所得表2中的数值结果不收敛,故此种情况不成立。同样的,当 和 都是第(ii)种情况时,所得结果和表1中的数值结果的区间左右端点刚好互换;当 为第(ii)种情况,
Table 1. Numerical solution of the fuzzy boundary value problem of Bagley-Torvik equation
表1. Bagley-Torvik模糊边值问题的数值解
Table 2. Numerical solution of the fuzzy boundary value problem of Bagley-Torvik equation
表2. Bagley-Torvik模糊边值问题的数值解
为第(i)种情况时,所得结果和表2的数值结果的区间左右端点刚好互换。故其他另外两种情况也得出结果不符合逻辑。因此,只有第一种情形是问题的解。
5. 结论
本文采用模糊Laplace变换求解了分数阶Bagley-Torvik方程模糊边值条件下的解。结果表明,相同的问题可能给出不同的结果,而这些结果需要根据实际情形从理论上进行研究和分析。
基金项目
广西自然科学基金(2016GXNSFAA380261),广西研究生教育创新计划项目(No. YCSW2017048)。
文章引用
刘雪铃,廖珊莉,吴远波,钟献词. 不确定分数阶Bagley-Torvik方程的解
Solving the Fractional Bagley-Torvik Equations with Uncertainty[J]. 应用数学进展, 2018, 07(01): 39-46. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.71006
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