Advances in Applied Mathematics
Vol.
08
No.
07
(
2019
), Article ID:
31372
,
4
pages
10.12677/AAM.2019.87143
D-Optimal Design for Duality Quadratic Polynomial Regression Models in Circle Region
Qinghai Kong
School of Science, Northeastern University, Shenyang Liaoning
Received: July 1st, 2019; accepted: July 16th, 2019; published: July 23rd, 2019
ABSTRACT
For duality quadratic polynomial regression models in circle region, D-op designs were given and proved according to the criterion “Symmetry + Uniform” with four vertexes of special square and central angle in Circle, and the least squares estimates were given, It is a very useful attempt to apply optimal design theory to polynomial regression models.
Keywords:Regression Model, D-Optimal Design, Measure, Saturation Design, The Least Squares Estimates
圆域上的二元二次多项式回归模型的 D-最优设计
孔庆海
东北大学理学院,辽宁 沈阳
收稿日期:2019年7月1日;录用日期:2019年7月16日;发布日期:2019年7月23日
摘 要
对圆域上的二元二次多项式回归模型在遵循设计点“对称 + 均匀”的前提下,给出并证明其特定的内接正方形的顶点和圆心组成的饱和设计是D-最优设计,并给出了相应设计的最小二乘估计,是把最优设计理论应用到多元多项式回归模型的又一有益的尝试。
关键词 :回归模型,D-最优设计,测度,饱和设计,最小二乘估计
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
在试验设计中,令R表示设计利益区域,X是区域R内任一点,回归模型一般形为
其中 是由模型决定的函数向量,y是响应观测值,而 是模型中的待估参数, 是误差,通常假设 , , 是已知的。
如果用 表示测度设计 的信息矩阵,所谓的D-最优准则就是使得 的行列式达到最大,而且测度设计 是D-最优设计的充分必要条件 [1] [2] 是方差函数 (模型中待估参数的个数)。
2. 二元二次多项式回归模型的最优设计
多元多项式回归模型可以用来处理一大类非线性问题,在应用数理统计学中占有重要地位。这里讨论的二元二次多项式回归模型
(1)
这里因子空间是圆域 ,在模型中含有五个待估参数,我们尝试用圆域上的五个设计点去进行饱和设计,同时使得这些设计点的结构既要对称 [3] ,同时分布又很均匀 [4] ,即所谓的“对称 + 均匀”原则。
对模型(1)的饱和设计 的基本思想是:先取圆周的任意内接正方形的四个顶点和圆心组成的五点设计,不妨取圆心为坐标原点,两个互相垂直的直径分别为x轴,y轴,设五个设计点分别是 , , , , 。
而且采用测度设计,记每个顶点的测度为 ,圆心的测度为 ,即测度矩阵 ,其中 。
可将模型(1)的函数向量改写为
设饱和设计 的结构矩阵为X,
,
相应设计 的信息矩阵为 ,利用 ,则
要寻求模型的D-最优设计,即使得行列式 取最大值的设计,而
令 ,则有效驻点是 , ,
这两组驻点能使得 取最大值的,只有在驻点 , 时达到,此时 ,此时 ,说明测度设计是均匀的,设计点呈对称结构,它们是 , , , , 。
下面证明上述五点设计对模型(1)是D-最优设计,由前文知,只要能验证
。
此时
,
在区域 的极大值情况为
① 在 的内部 ,由 ,则
, , ,
② 在 的边界 ,有 ,当且仅当在 的时候取最大值。
由①②知道方差函数,即正定二次型d的最大值是5 (等于模型中的待估参数的个数),而且当且仅当在上述设计点处才取得最大值,这就证明了所采用的饱和均匀的等测度设计是D最优设计。
3. 模型参数的最小二乘估计
由于模型(1)的待估参数向量为 ,模型(1)可以记为
由最小二乘估计公式 [5]
(2)
这里列向量 ,其中 表示第i次试验的响应观测值。把上述的 的结果代入式(2),则得到 的最小二乘估计为
。
文章引用
孔庆海. 圆域上的二元二次多项式回归模型的D-最优设计
D-Optimal Design for Duality Quadratic Polynomial Regression Models in Circle Region[J]. 应用数学进展, 2019, 08(07): 1239-1242. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.87143
参考文献
- 1. Silvey, S.D. (1980) Optimal Design. Chapman and Hall, London, 11-13, 52-53.
- 2. 关颖男. 最优回归设计[J]. 数理统计与应用概率, 1987, 2(4): 477-492.
- 3. 朱伟勇, 段晓东. D-最优设计的对称性及其对称构造法[J]. 应用数学学报, 1991, 14(3): 360-367.
- 4. Wang, Y. and Fang, K. (1996) Uniform Design of Experiments with Mixtures. Science in China, Ser. A, No. 3, 42-53.
- 5. 茆诗松, 丁元, 周纪芗, 吕乃刚. 回归分析及其试验设计[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 1981: 297-302.