扬州大学数学科学学院，江苏 扬州

收稿日期：2022年12月12日；录用日期：2023年1月5日；发布日期：2023年1月13日

摘要

本文对一类变分数阶随机微分方程初值问题构造了一个Euler-Maruyama (EM)数值方法，并分析了该EM方法的稳定性和强收敛性。最后，通过两个数值算例来验证了理论分析结果的正确性。

关键词

变分数阶积分，分数阶随机微分方程，Euler-Maruyama方法，误差估计

An Euler-Maruyama Method for Variable-Order Fractional Stochastic Differential Equations

Xiaohan Wang^*, Hanwen Yuan, Yuchen Song, Wen Sun, Zhenyang Huo

College of Mathematical Sciences, Yangzhou University, Yangzhou Jiangsu

Received: Dec. 12^th, 2022; accepted: Jan. 5^th, 2023; published: Jan. 13^th, 2023

ABSTRACT

This paper constructs an Euler-Maruyama (EM) method for a kind of variable-order fractional stochastic differential equations with an initial condition, and analyzes the stability and strong convergence of the presented EM method. Finally, two numerical examples are given to verify the correctness of the theoretical results.

Keywords:Variable-Order Fractional Integral, Fractional Stochastic Differential Equations, Euler-Maruyama Method, Error Estimate

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

近年来，带有噪声项的分数阶微分方程开始引起广大科技工作者的关注 [1] [2] [3]。但是，这类方程的解析解几乎是无法获得的。因此，数值求解这类方程就显得尤为重要。毛文亭等在2018年对一类带乘性噪声分数阶随机微分方程给出了数值方法，并分析了该数值方法的弱稳定性和弱收敛性 [4]。Doan等人在2019年提出了一个Euler-Maruyama (EM)方法，用以解决分数阶指标 $\alpha \in \left(0.5,1\right)$ 时带有乘性白噪声分数阶随机微分方程的初值问题 [5]。Huang等人在2022年对多项分数阶随机微分方程构造了一个EM格式，并给出了该格式的快速计算方法 [6]。

变分数阶随机微分方程是分数阶随机微分方程的一个全新研究方向 [7] [8]。在对长时间的粘弹性行为建模时，可变的阶数可以更准确地描述初始时间点附近的弹性行为。Yang等人首次将EM方法应用于计算带有乘性白噪声的变分数阶随机微分方程，并证明了该方法的强收敛性 [9]。本文将在 [9] 的基础上，为以下变分数阶随机微分方程构造一个EM方法，并进行相应的数值分析

$u^{\prime }\left(t\right)=c{I}_{0,t}^{\alpha \left(t\right)}u\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right)+g\left(t,u\left(t\right)\right)\frac{\text{d}{W}_t}{\text{d}t},t\in (0,T]$ (1)

初值 $u\left(0\right)=u_0$，$c\ge 0$ 为一个固定常数。 $I_{0,t}^{\alpha \left(t\right)}u\left(t\right)$ 为变分数阶积分算子 [10]，定义如下：

$I_{0,t}^{\alpha \left(t\right)}u\left(t\right)=\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \left(t\right)\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{u\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{1-\alpha \left(t\right)}}\text{d}s}\text{.}$

${\left(W_t\right)}_{t\in [0,\infty )}$ 是一个在完备概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{F}={\left\{{\mathcal{F}}_t\right\}}_{t\in [0,\infty )},\mathbb{P}\right)$ 上的标准布朗运动。

2. 假设及EM方法的构造

为了确保方程(1)的解的适定性，以及数值理论分析的需要，给出下面3个假设：

(A) 方程的漂移项和扩散项在 ${ℝ}^d$ 上满足Lipschitz条件：存在 $L>0$ 对所有 $x,y\in {ℝ}^d$，$t\in \left[0,T\right]$ 都有

$\left|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right|\vee \left|g\left(t,x\right)-g\left(t,y\right)\right|\le L\left|x-y\right|.$

(B) 线性增长条件：存在 $L>0$ 使得对 $x\in {ℝ}^d$，$t\in \left[0,T\right]$ 都有

$\left|f\left(t,x\right)\right|\vee \left|g\left(t,x\right)\right|\le L\left(1+\left|x\right|\right).$

(C) $\alpha \in C^1\left[0,T\right]$，即 $\alpha \left(t\right)$ 在区间 $\left[0,T\right]$ 上连续可微。且存在 $0<\alpha \left(t\right)<{\alpha }^{*}<1$，对于 $0\le \alpha \left(t\right)\le 1$，都有 ${\alpha }^{*}+\alpha \left(t\right)>1$。

下面，为了构造方程(1)的EM方法，我们先将方程(1)转化为其等价的积分形式。对(1)式两边同时做从0到t的积分，可以得到

$u\left(t\right)=u\left(0\right)+c{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)\right)}}{\displaystyle {\int }_0^s\frac{u\left(y\right)}{{\left(s-y\right)}^{1-\alpha \left(s\right)}}\text{d}y\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}{W}_s.$ (2)

对于上式右侧的二重积分，调换积分次序，可得

${\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)\right)}}{\displaystyle {\int }_0^s\frac{u\left(y\right)}{{\left(s-y\right)}^{1-\alpha \left(s\right)}}\text{d}y\text{d}s}={\displaystyle {\int }_0^{t}u\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y\text{d}s}.$

并令 $k\left(t,s\right)=c{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}$，则(2)式可以写成

$u\left(t\right)=u\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)u\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}{W}_s.$ (3)

在区间 $\left[0,T\right]$ 上定义均匀网格的步长 $\tau =T/N$，这里N为正整数。在网格节点 $t_n=n\tau$ 处，使用矩形方法来离散(3)式等号右侧的积分项。

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{t_n}u\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_s^{t_n}\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y\text{d}s}=\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle {\int }_{t_j}^{t_n}\frac{{\left(y-t_j\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}+{\rm O}\left(\tau \right)\\ =\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_i}^{t_{i+1}}\frac{{\left(y-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)\right)}\text{d}y}}+{\rm O}\left(\tau \right)\\ =\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}-{\left(t_i-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}}{\alpha \left(t_i\right)\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)\right)}}+{\rm O}\left(\tau \right)\\ =\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}-{\left(t_i-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}}{\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)+1\right)}}+{\rm O}\left(\tau \right).\end{array}$ (4)

接下来对第三项和第四项进行离散，可得

${\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_j}^{t_{j+1}}f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}}\approx \tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,u\left(t_j\right)\right).$ (5)

和

${\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_j}^{t_{j+1}}g}}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}{W}_s\approx {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,u\left(t_j\right)\right)\Delta W_j.$ (6)

其中， $\Delta W_j=W\left(t_{j+1}\right)-W\left(t_j\right)~N\left(0,\tau \right)$。

把(4)~(6)式代入(3)式中就可以得出方程(2)的EM方法。设 $1\le n\le N$ 时，存在 $v_n$ 使得

$v_n=u_0+\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{v}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}{b}_{n,j}}+\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,v_j\right)+{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,v_j\right)\Delta W_j.$ (7)

其中， $b_{n,j}=c\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}-{\left(t_i-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}}{\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)+1\right)}$。这里 $v_n$ 即为 $u\left(t_n\right)$ 的EM方法数值解。

3. EM方法的数值理论分析

下面，先给出EM方法(7)的稳定性。

定理1 对于 $1\le n\le N$，EM方法(7)的解 $v_n$ 满足如下矩估计

$\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\le M_1.$ (8)

其中

$\begin{array}{l}{M}_1=Q_1\left[1+E_{1-{\alpha }^{*}}\left(Q_2\Gamma \left(1-{\alpha }^{*}\right)\right)\right],Q_1=4\mathbb{E}\left[u_0^2\right]+8L^{2}T\left(T+1\right),\\ Q_2=8L^{2}T\left(T+1\right)+4T^{3-{\alpha }^{*}}A{Q}_3.\end{array}$ (9)

证明. 由Jensen不等式和Cauchy不等式可以推出

$\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\le 4\mathbb{E}\left[u_0^2\right]+4{\tau }^2\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{B}_{n,j}{v}_j}\right)}^2\right]+4{\tau }^2\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,v_j\right)\right)}^2\right]+4\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,v_j\right)\text{Δ}{W}_j\right)}^2\right],$ (10)

其中， $B_{n,j}={\displaystyle {\sum }_{i=j}^{n-1}{b}_{n,j}}$。使用Cauchy不等式和线性增长条件，有

${\tau }^2\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,v_j\right)\right)}^2\right]\le 2L^{2}T\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[1+v_j^2\right]\le 2L^2{T}^2+2L^{2}T\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right].$ (11)

根据Itô等距定理和线性增长条件可以推出

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,v_j\right)\text{Δ}{W}_j\right)}^2\right]=\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[g{\left(t_j,v_j\right)}^2\right]\le 2L^2\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[1+v_j^2\right]\le 2L^{2}T+2L^2\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right].$ (12)

下面来计算(10)式第二项的估计值，使用微分中值定理，可以得到

$\begin{array}{c}{B}_{n,j}={\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}{b}_{n,j}}=c{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{{\alpha }_i}-{\left(t_i-t_j\right)}^{{\alpha }_i}}{\Gamma \left({\alpha }_i+1\right)}}\\ \le c{Q}_3{\left(t_n-t_j\right)}^{1-{\alpha }^{*}}=c{Q}_3{\left(n-j\right)}^{1-{\alpha }^{*}}{\left(\frac{T}{N}\right)}^{1-{\alpha }^{*}},\end{array}$ (13)

其中， $Q_3=\max \left\{1,T^{2{\alpha }^{*}-1}\right\}/\left(1-{\alpha }^{*}\right)$。注意到

$\left|k\left(t,s\right)\right|=\left|c{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}\right|=\left|c{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)+{\alpha }^{*}-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right){\left(y-s\right)}^{{\alpha }^{*}}}\text{d}y}\right|\le c{Q}_3{\left(t-s\right)}^{1-{\alpha }^{*}},$ (14)

再结合(4)式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{B}_{n,j}}\le c{\displaystyle {\int }_0^{t_n}\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)\right)}}{\displaystyle {\int }_0^s{\left(s-y\right)}^{\alpha \left(s\right)-1}\text{d}y\text{d}s}=c{\displaystyle {\int }_0^{t_n}\frac{s^{\alpha \left(s\right)}}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)+1\right)}\text{d}s}\le A,$ (15)

其中， $A=c\cdot \max \left\{T,\frac{T^{1+{\alpha }^{\text{*}}}}{1+{\alpha }^{\text{*}}}\right\}$。因此，可知第二项可以放缩为

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{B}_{n,j}{v}_j}\right)}^2\right]\le {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left|B_{n,j}\right|\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left|B_{n,j}\right|}\\ \le \frac{T^{1-{\alpha }^{*}}A{Q}_3}{N^{1-{\alpha }^{*}}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right]{\left(n-j\right)}^{1-{\alpha }^{*}}\\ \le T^{1-{\alpha }^{*}}A{Q}_3{N}^{{\alpha }^{*}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{{\left(n-j\right)}^{{\alpha }^{*}}}}.\end{array}$ (16)

把(11)，(12)和(16)式代入(10)式中，可以得出

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\le 4\mathbb{E}\left[u_0^2\right]+8L^{2}T\left(T+1\right)+8L^2\left(T+1\right)\tau {\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right]+4T^{3-{\alpha }^{*}}A{Q}_3{N}^{{\alpha }^{*}-2}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{{\left(n-j\right)}^{{\alpha }^{*}}}}\\ \le Q_1+\frac{Q_2}{N^{1-{\alpha }^{*}}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{{\left(n-j\right)}^{{\alpha }^{*}}}},\end{array}$

其中 $Q_1$ 和 $Q_2$ 已在(9)式中给出。根据Gronwall不等式，定理得证。

为了分析EM方法(7)的强收敛性，我们这里先把(7)改写成与之等价的连续形式，即有，令步长公式 $\hat{s}=\hat{s}\left(s\right)$ 在每一个小区间 $s\in [t_n,t_{n+1})$ 上满足 $\hat{s}=t_n$

$v\left(t\right)=u_0+{\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\text{.}$ (17)

显然，从(17)可知

引理1 设 ${\left\{v_n\right\}}_{n=0}^N$ 是EM方法(7)的解， $v\left(t\right)$ 是(17)式给出的时间连续随机过程。那么，当 $0\le n\le N$ 时有 $v\left(t_n\right)=v_n$。

引理2 当 $0\le n\le N-1$ 时，对任意 $t\in [t_n,t_{n+1})$，连续随机过程 $v\left(t\right)$ 具有如下的广义连续性

$\mathbb{E}\left[{\left(v\left(t\right)-v\left(t_n\right)\right)}^2\right]\le M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau ,$ (18)

其中

$M_2=6c^2{M}_1{Q}_3^2\left(1+\frac{1}{{\left(2-{\alpha }^{*}\right)}^2}\right){\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)},M_3=12L^2\left(1+M_1\right).$ (19)

证明.

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left(v\left(t\right)-v\left(t_n\right)\right)}^2\right]\le 3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^{t_n}k}\left(t_n,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^{t_n}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s-{\displaystyle {\int }_0^{t_n}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]\\ \le 6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left(k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s}\right)}^2\right]+6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]+3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]\text{.}\end{array}$ (20)

由定理1和线性增长条件可知

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\le \tau {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\mathbb{E}}\left[f{\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)}^2\right]\text{d}s\le 2L^2\tau {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left(1+\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\right)\text{d}s}\le 2L^2\left(1+M_1\right){\tau }^2.$ (21)

通过Itô等距和线性增长条件可知

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]=\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}g}{\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)}^2\text{d}s\right]\le 2L^2\left(1+M_1\right)\tau \text{.}$ (22)

下面重点考虑(20)式的前两项，对第二项使用Cauchy不等式

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s\right)}^2\right]\le {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)\right|\mathbb{E}{\left[v\left(\hat{s}\right)\right]}^2\text{d}s}{\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le M_1{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\right)}^2\\ \le \frac{c^2{Q}_3^2{M}_1{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{\ast }\right)}}{{\left(2-{\alpha }^{\ast }\right)}^2}\text{.}\end{array}$ (23)

对于第一项有

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left(k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s}\right)}^2\right]\le {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right|\mathbb{E}{\left[v\left(\hat{s}\right)\right]}^2\text{d}s}{\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le M_1{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left(k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right)\text{d}s}\right)}^2\\ \le M_1{\left(c{\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left|{\displaystyle {\int }_{t_n}^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\text{Γ}\left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}\right|\text{d}s}\right)}^2\\ \le c^2{M}_1{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}{Q}_2}\left[{\left(t-s\right)}^{1-{\alpha }^{\text{*}}}-{\left(t_n-s\right)}^{1-{\alpha }^{\text{*}}}\right]\text{d}s\right)}^2\\ \le c^2{M}_1{Q}_3^2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{\text{*}}\right)}\text{.}\end{array}$ (24)

把(21)~(24)式代入(20)式，则引理2得证。

下面，给出EM方法(7)的强收敛性结论。

定理2 设 $u\left(t\right)$ 是方程(1)的精确解， $v\left(t\right)$ 是(17)的解，则下式成立

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right|}^2\right]\le M_4{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_5\tau .$ (25)

其中， $M_4$ 和 $M_5$ 定义如下

$\begin{array}{l}{M}_4=Q_5{E}_{1-{\alpha }^{*}}\left(Q_6\Gamma \left(1-{\alpha }^{*}\right)T^{1-{\alpha }^{*}}\right)M_2,\\ M_5=Q_5{E}_{1-{\alpha }^{*}}\left(Q_6\Gamma \left(1-{\alpha }^{*}\right)T^{1-{\alpha }^{*}}\right)M_3,\end{array}$ (26)

$\begin{array}{l}{Q}_5=6T{L}^2\left(T+1\right)+\frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}}{{\left(2-{\alpha }^{*}\right)}^2},\\ Q_6=6T^{{\alpha }^{*}}{L}^2\left(T+1\right)+\frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{3-{\alpha }^{*}}}{2-{\alpha }^{*}}.\end{array}$

那么，以下关于EM方法(7)的误差估计也成立

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t_n\right)-v_n\right|}^2\right]\le M_4{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_5\tau .$ (27)

证明. 对任意 $t\in \left[0,T\right)$，设 $t\in \left[t_n,t_{n+1}\right)$，$0\le n\le N-1$。用(2)式减(17)式，可得

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right|}^2\right]\le 3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)\left(u\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)-g\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=1}^3{I}_k}.\end{array}$ (28)

对 $I_2$ 使用Cauchy不等式，根据线性增长条件和引理2，可以得出

$\begin{array}{c}{I}_2\le 3T{L}^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\text{d}s\\ \le 6T{L}^2{\displaystyle {\int }_0^t\left(\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]+\mathbb{E}\left[{\left|v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\right)\text{d}s}\\ \le 6T{L}^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]\text{d}s+6T^2{L}^2\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right).\end{array}$ (29)

对 $I_3$ 使用Itô等距引理，根据线性增长条件和引理2，可以得出

$\begin{array}{c}{I}_3\le 3L^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\text{d}s\\ \le 6L^2{\displaystyle {\int }_0^t\left(\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]+\mathbb{E}\left[{\left|v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\right)\text{d}s}\\ \le 6L^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]\text{d}s+6T{L}^2\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right).\end{array}$ (30)

下面用类似的方法处理 $I_1$，可得

$\begin{array}{c}{I}_1\le 6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)\left(u\left(s\right)-v\left(s\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]+6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)\left(v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ =I_{1,1}+I_{1,2}.\end{array}$ (31)

对 $I_{1,1}$ 使用Cauchy不等式，由(14)式可以推出

$\begin{array}{c}{I}_{1,1}\le 6{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s{\displaystyle {\int }_0^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{2-{\alpha }^{*}}}{2-{\alpha }^{*}}{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]{\left(t-s\right)}^{1-{\alpha }^{*}}\text{d}s\\ \le \frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{3-{\alpha }^{*}}}{2-{\alpha }^{*}}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]}{{\left(t-s\right)}^{{\alpha }^{*}}}\text{d}s}.\end{array}$ (32)

对 $I_{1,2}$ 使用Cauchy不等式，根据引理2，可以推出

$\begin{array}{c}{I}_{1,2}\le 6{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s{\displaystyle {\int }_0^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}}{{\left(2-{\alpha }^{*}\right)}^2}\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right).\end{array}$ (33)

把(29)~(33)式代入(28)式中，可得

$\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right|}^2\right]\le Q_5\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right)+Q_6{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]}{{\left(t-s\right)}^{{\alpha }^{*}}}\text{d}s}.$

其中， $Q_5$ 和 $Q_6$ 已在(17)式和(26)式中给出。

根据广义Gronwall不等式，(25)式得证。如果令(25)式中的 $t=t_n$，根据引理1可知： $v\left(t_n\right)=v_n$。此时(25)式就可以转变成(27)式。定理证毕。

注：在(27)式中，由于 $\left(2-{\alpha }^{\text{*}}\right)>0.5$，因此EM方法(7)式的强收敛阶恒为0.5。

4. 数值实验

本节将用数值算例来验证EM方法(7)的强收敛性。以下一切计算通过MATLAB (R2017b)在一台拥有Intel(R)Core(TM)i7-5500U，CPU2.40 GHz和4G RAM的笔记本电脑上完成。设 $u\left(t_n,{\omega }_j\right)$ 是方程(1)的第j条样本轨道在 $t_n$ 处的真实解， $v_n\left({\omega }_j\right)$ 是对应的EM方法(7)得到的数值解，其中 $n=0,\cdots ,N$，$j=1,\cdots ,M$。误差的计算方法如下

$e_{\tau }=\underset{0\le n\le N}{\max }{\left[\frac{1}{M}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{M}{\sum }}{\left|u\left(t_n,{\omega }_j\right)-v_n\left({\omega }_j\right)\right|}^2}\right]}^{\frac{1}{2}}\le P{N}^{-\kappa },$

其中收敛阶由 $\kappa ={\log }_2{e}_{\tau }/e_{\tau /2}$ 计算获得。在数值实验中，设时间区间 $\left[0,T\right]=\left[0,1\right]$，常数c = 1，样本轨道总数M = 1000，以网格数N = 512时的数值解近似表示精确解，变数阶 $\alpha$ 按如下函数来给出

$\alpha \left(t\right)=\alpha \left(1\right)+\left(\alpha \left(0\right)-\alpha \left(1\right)\right)\left(\left(1-t\right)-\frac{\sin \left(2\pi \left(1-t\right)\right)}{2\pi }\right).$

例1 考虑一个线性的变分数阶随机微分方程，令方程(1)中 $f\left(t,u\right)=g\left(t,u\right)=u$，初值 $u_0=0.1$。计算误差和收敛阶见表1。

表1. 例1中线性变分数阶随机微分方程EM方法的误差和收敛阶

从表1中可以看出：EM方法的强收敛阶是0.5，符合定理2的结论。

例2 考虑一个非线性线性的变分数阶随机微分方程，令方程(1)中 $f\left(t,u\right)=g\left(t,u\right)=\cos \left(u\right)$，初值 $u_0=0.1$。计算误差和收敛阶见表2。

表2. 例2中非线性变分数阶随机微分方程EM方法的误差和收敛阶

在这个算例中，尽管方程由上例的线性变为非线性，但EM方法的强收敛阶仍是0.5，再次说明定理2的理论结果是正确的。

5. 总结

在本文中，我们给出了一类变分数阶随机微分方程的EM方法，证明了该EM方法的稳定性和强收敛性，并给出了其强收敛阶为0.5。最后用两个数值算例验证了EM方法强收敛阶的正确性。

基金项目

扬州大学大学生科创基金项目(X20220218)和江苏高校品牌专业建设工程资助项目(数学与应用数学，PPZY2015B109)。

文章引用

王笑涵,袁晗雯,宋雨晨,孙 雯,霍振阳. 变分数阶随机微分方程的Euler-Maruyama方法
An Euler-Maruyama Method for Variable-Order Fractional Stochastic Differential Equations[J]. 应用数学进展, 2023, 12(01): 37-45. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.121006

参考文献