设为首页
加入收藏
期刊导航
网站地图
首页
期刊
数学与物理
地球与环境
信息通讯
经济与管理
生命科学
工程技术
医药卫生
人文社科
化学与材料
会议
合作
新闻
我们
招聘
千人智库
我要投稿
办刊
期刊菜单
●领域
●编委
●投稿须知
●最新文章
●检索
●投稿
文章导航
●Abstract
●Full-Text PDF
●Full-Text HTML
●Full-Text ePUB
●Linked References
●How to Cite this Article
AdvancesinAppliedMathematics
A^
ê
Æ
?
Ð
,2023,12(3),907-918
PublishedOnlineMarch2023inHans.https://www.hanspub.org/journal/aam
https://doi.org/10.12677/aam.2023.123093
Ø
¹
‰
½
•
²
¡
ã
DP-
/Ú
ëëë
¨¨¨
]]]
ú
ô
“
‰
Œ
Æ
§
ê
Æ
†
O
Ž
Å
‰
ÆÆ
§
ú
ô
7
u
Â
v
F
Ï
µ
2023
c
2
11
F
¶
¹
^
F
Ï
µ
2023
c
3
6
F
¶
u
Ù
F
Ï
µ
2023
c
3
14
F
Á
‡
DP-
/Ú
V
g
•
Ð
^u
y
²
Ø
¹
•
•
4
8
á
²
¡
ã
´
3-
L
Œ
/
,
¿
…
ù
‡
(
Ø
)û
Ü
©
Erd
¨
os
J
Ñ
f
z
L
/Ú
‡
Steinberg
ß
Ž
Ü
©
‰
Y
,
ƒ
,
DP
-
/Ú
Š
•
L
/Ú
í
2
,
3
/Ú
ï
Ä
¥
É
5
õ
'
5
.
é
u
L
/Ú
ï
Ä
±
Y
A
›
c
,
²
¡
ã
3-
Œ
À
Ú
4-
Œ
À
¯
K
Ñ
á
u
NP
-
(
J
¯
K
,
Ä
u
d
,
C
c
·
‚
m
©
ï
Ä
3
÷
v
®
•
,
.
²
¡
ã
´
3-
Œ
À
½
4-
Œ
À
Ä
:
þ
,
&?
Ù
´
Ä
•
DP
-3-
Œ
/
½
DP
-4-
Œ
/
.
3ù
Ÿ
©
Ù
p
§
·
‚
y
²
¤
k
Ø
¹
•
•
4
§
5
§
7
§
10
²
¡
ã
´
DP-3-
Œ
/
,
ÿ
Ð
DP-3-
Œ
/
ã
‰
Œ
.
'
…
c
S-k-
/Ú
§
DP-
/Ú
§
²
¡
ã
§
=
£
DP-ColoringofPlanarGraphwithout
GivenShortCycle
ZhongyongLian
CollegeofMathematicsandComputerScience,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang
Received:Feb.11
th
,2023;accepted:Mar.6
th
,2023;published:Mar.14
th
,2023
©
Ù
Ú
^
:
ë
¨
]
.
Ø
¹
‰
½
•
²
¡
ã
DP-
/Ú
[J].
A^
ê
Æ
?
Ð
,2023,12(3):907-918.
DOI:10.12677/aam.2023.123093
ë
¨
]
Abstract
TheconceptofDP-coloringwasinitiallyusedtoprovethataplanargraphwithout
cycleoflengthfrom4to8is3-list-coloring,andthisconclusionsolvesthepartial
problemsoftheSteinbergconjectureoftheweakenedlistcoloringversionproposed
byErd
¨
o
s.As ageneralization oflistcoloring,
DP
-coloring has received moreandmore
attention in the study of coloring.The research on list coloring has lasted for decades,
andthe3-choosableand4-choosableproblemsofplanargraphsbelongto
NP
-difficult
problems.Basedonthis,inrecentyears,wehavebeguntostudywhetherplanar
graphs satisfyingsomeconfigurationsare
DP
-3-colorable or
DP
-4-colorable; moreover,
whethertheyare
DP
-3-colorableor
DP
-4-colorable.Inthisthesis,weprovethatall
planargraphswithoutcyclesoflength
4
,
5
,
7
,
10
areDP-3-colorable,whichextends
therangeofgraphsthatsatisfyDP-3-colorable.
Keywords
S-k-Coloring,DP-Coloring,PlanarGraph,Charge-Transfer
Copyright
c
2023byauthor(s)andHansPublishersInc.
This work is licensed undertheCreative Commons Attribution InternationalLicense(CCBY4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1.
0
©
¤
•
Ä
ã
´
k
•
¿
…
{
ü
.
X
J
˜
‡
ã
Œ
±
i
\
î
A
p
²
¡
¥
,
@
o
¡
§
•
˜
‡
²
¡
ã
.
²
¡
ã
n/Ú
¯
K
´
ã
/Ú
n
Ø
¥
˜
‡
-
‡
‘
K
.
²
;
Gr
¨
otzsch
½
n
[1]
•
Ñ
:
Ã
n
/
²
¡
ã
´
3
Ú
Œ
/
.
Í
¶
Steinberg
ß
Ž
•
µ
Ø
¹
k
•
•
4
½
5
²
¡
ã
´
3
Ú
Œ
/
.
T
ß
Ž
˜
†
á
Ú
X
²
¡
ã
n/Ú
¯
K
2
•
ï
Ä
.
-
<
¿
´
,Steinberg
ß
Ž
[2]
C
c
y
²
Ø
¤
á
.
ã
DP
-
/Ú
½
Â
(
•
¡
•
é
A
/Ú
)
´
d
Dvo
ˇ
r
´
ak
Ú
Postle
J
Ñ
[3],
¦
‚
^
§
5
y
²z
‡
Ø
¹
•
Ý
l
4
8
²
¡
ã
´
3-
L
-
Œ
/
(
=
3-
Œ
À
).
8
c
§
ã
DP
-
/Ú
Š
•
˜
‡
Õ
á
/Ú
‘
K
É
5
õ
ï
Ä
'
5
.
ã
DP
-
k
-
Œ
/
5
r
u
ã
L
k
-
Œ
/
5
,
Ï
d
é
g
,
/
•
Ä
˜
²
;
L
3-
/Ú
½
n
£
•
DOI:10.12677/aam.2023.123093908
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
?
˜
Ú
§
n/Ú
½
n
¤
U
Ä
\
r
•
DP
-3-
Œ
/
.
Erd
¨
os
'
u
Steinberg
ß
Ž
f
z
¯
K
DP
/Ú
‡
Q
ã
X
e
:
¯
K
1.1
¦
•
ê
k
(
k
≥
5
),
¦
·
K
/
¤
k
Ø
¹
•
Ý
•
4
k
²
¡
ã
Ñ
´
DP
-
3
-
Œ
/
0
¤
á
?
©
z
[4]
Ú
[5]
(
J
Ñ
L
²
þ
ã
k
•
3
¿
…
k
≤
9.
´
Ä
k
≤
8,
=
/
¤
k
Ø
¹
•
Ý
•
4
k
²
¡
ã
Ñ
´
DP
-3-
Œ
/
0
´
Ä
¤
á
§
E
Î
´
˜
‡
m
˜
5
¯
K
.
/Ú
¯
K
þ
®
²
é
²
¡
ã
\
þ
˜
3
á
þ
•
›
DP
-3-
/Ú
Ü
©
¤
J
.
~
X
,
Ø
¹
ƒ
n
/
•
Ø
¹
•
•
{
4
,
5
,
6
,
7
}
[6]
²
¡
ã
´
DP
-3-
Œ
/
;
Ø
¹
ƒ
n
/
•
Ø
¹
•
•
{
5
,
6
,
9
}
Œ
²
¡
ã
´
DP
-3-
Œ
/
;
Ø
¹
•
•
{
3
,
5
,
6
}
[5]
½
ö
{
3
,
6
,
7
,
8
}
[5]
½
ö
{
4
,
5
,
6
,
9
}
[5]
½
ö
{
4
,
5
,
7
,
9
}
[5]
½
ö
{
4
,
6
,
8
,
9
}
[4]
½
ö
{
4
,
7
,
8
,
9
}
[4]
•
²
¡
ã
´
DP
-3-
Œ
/
.
3
©
¥
,
·
‚
ï
Ä
˜
a
Ø
¹
o
«
•
Ý
²
¡
ã
DP
-3-
/Ú
¯
K
.
þ
ã
(
J
y
²
˜
Ø
¹
{
4
,i,j,
9
}
•
²
¡
ã
´
DP
-3-
Œ
/
,
Ù
¥
4
<i<j<
9.
©
•
Ä
X
e
a
q
¯
K
:
¯
K
1.2
é
u
=
ê
é
(
i,j
)
,
Ù
¥
4
<i<j<
10
,
Ø
¹
k
•
á
u
{
4
,i,j,
10
}
²
¡
ã
Ñ
´
DP
-
3
-
Œ
/
?
8
c
•
Ž
,
'
u
ù
‡
¯
K
„
v
k
®
•
(
J
.
e
¡
½
n
´
©
Ì
‡
(
J
,
§
y
¢
¯
K
1
.
2
˜
‡
œ
¹
.
½
n
1.3
¤
k
Ø
¹
•
•
4
,
5
,
7
½
10
²
¡
ã
Ñ
´
DP-3-
Œ
/
.
2.
S
-
/Ú
Ä
V
g
½
Â
2.1
b
G
´
˜
‡
ã
,
S
´
˜
ê
ü
¤
8
Ü
.
e
D
´
G
˜
‡
•
•
§
N
σ
:
E
(
D
)
→
S
©
‰
D
z
^
k
•
>
e
˜
‡
S
p
ü
σ
e
,
K
k
S
é
(
D,σ
)
¡
Š
G
˜
‡
S
-
I
P
,
σ
¡
Š
G
˜
‡
Î
Ò
˜
,
σ
e
¡
Š
e
Î
Ò
.
(
D,σ
)
•
¡
•
˜
‡
S
-
I
P
ã
.
N
f
:
V
(
G
)
→
[
k
]=
{
1
,
2
...k
}
.
e
é
u
D
z
^
k
•
>
e
=(
x,y
)
,
k
σ
e
(
f
(
x
))
6
=
f
(
y
)
,
K
¡
f
•
(
D,σ
)
˜
‡
k
-
/Ú
.
X
J
ã
G
z
˜
‡
S
-
I
P
ã
Ñ
´
k
-
Œ
/
,
@
o
¡
G
´
S
-
k
-
Œ
/
.
ã
G
S
-
Ú
ê´
•
÷
v
G
´
S
-
k
-
Œ
/
k
•
Š
.
Jin
!
Wong
Ú
Zhu[7]
J
Ñ
ã
S
-
k
-
/Ú
V
g
.
§
´
N
õ
-
‡
/Ú
V
g
í
2
,
•
)
k
-
/Ú
!
Î
Ò
k
-
/Ú
!
Î
Ò
Z
k
-
/Ú
!
DP
-
k
-
/Ú
!
+/Ú
Ú
O
Ã
ã
/Ú
.
A
O
/
§
X
J
S
Š
•
¤
k
ê
ü
8
Ü
§
@
o
S
-
k
-
/Ú
d
u
ã
DP
-
k
-
/Ú
.
-
S
k
L
«
8
Ü
[
k
]=1
,
2
,...,k
þ
¤
k
ü
8
Ü
,
-
S
3
=
{
id,
(12)
,
(13)
,
(23)
,
(123)
,
(132)
}
§
Ù
¥
id
•
ð
ü
.
é
u
˜
‡
ã
S
-
k
-
/Ú
,
du
ô
Ú
8
´
[
k
],
¤
±
8
Ü
S
Œ
±
•
›
3
[
k
]
þ
Ü
©
ü
.
Ï
d
§
DP
-
k
-
/Ú
ƒ
u
S
k
-
k
-
/Ú
.
Ï
d
,
½
n
1
.
3
Œ
±
-
#
L
ã
X
e
.
½
n
2.1
¤
k
Ø
¹
•
•
4
,
5
,
7
Ú
10
²
¡
ã
´
S
3
-
3
-
Œ
/
.
DOI:10.12677/aam.2023.123093909
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
‰
½
˜
‡
S
k
-
I
P
ã
(
D,σ
).
^
˜
‡
Î
Ò
s
∈
S
k
=
†
˜
‡
:
u
½
Â
,
˜
‡
I
Ò
σ
0
X
e
:
σ
0
e
=
s
◦
σ
e
,
e
e
= (
u,v
);
σ
e
◦
s
−
1
,
e
e
= (
v,u
);
σ
e
,
Ä
K
.
X
J
˜
‡
S
k
-
I
P
ã
Œ
±
l
,
˜
‡
S
k
-
I
P
ãÏ
L
˜
X
=
†
§
K
¡
ù
ü
‡
I
P
ã
´
d
=
†
.
w
,
,
ü
‡
=
†
d
S
k
-
I
P
ã
ä
k
ƒ
Ó
S
k
-
Ú
ê
.
X
J
˜
^
>
Î
Ò
•
id
,
K
¡
§
•
>
,
Ä
K
¡
•
K
>
.
X
J
˜
‡
¤
k
>
Ñ
´
,
@
o
¡
§
•
.
X
J
˜
‡
Œ
±
d
=
†
•
,
@
o
¡
ù
‡
•
;
Ä
K
¡
•
K
.
2.1.
Î
Ò
9
Ù
½
Â
·
‚
P
G
•
Ø
¹
•
•
4
,
5
,
7
,
10
ë
Ï
²
¡
ã
£
‰
½
²
¡
i
\
¤
8
Ü
.
½
Â
2.2
-
C
•
ã
G
∈
G
¥
˜
‡
.
X
J
C
S
Ü
˜
‡
º:
v
k
n
‡
:
v
1
,v
2
,v
3
3
C
þ
,
@
o
G
[
{
vv
1
,vv
2
,vv
3
}
]
¡
•
C
˜
‡
9
.
.
X
J
˜
‡
14
−
-
v
k
9
.
,
@
o
¡
§
•
˜
‡
Ð
¶
Ä
K
¡
§
•
˜
‡
€
.
˜
‡
C
§
9
.
¤
y
©
¤
z
‡
¡
•
¿
.
c
i
•
˜
‡
¿
•
Ý
.
·
‚
?
˜
Ú
¡
ƒ
•
(
c
1
,c
2
,c
3
)-
9
.
.
X
ã
1:
Figure1.
(
c
1
,c
2
,c
3
)-claw
ã
1.
(
c
1
,c
2
,c
3
)-
9
.
Š
â
€
½
Â
,
·
‚
Œ
±
é
N
´
/
Ñ
±
e
Ú
n
.
Ú
n
2.2
X
J
C
´
G
¥
ã
˜
‡
€
,
@
o
|
C
|
= 13
§
¿
…
C
k
˜
‡
(3
,
8
,
8)
-
9
.
.
!
Ù
{
Ü
©
´
½
n
2
.
1
y
²
¤
I
Ù
¦
Î
Ò
.
3
˜
‡
²
¡
ã
G
þ
,
X
J
˜
‡
º:
u
Ã
.
½
¡
>
.
þ
,
K
·
‚
¡
§
•
Ü
;
Ä
K
§
´
S
Ü
.
é
u
˜
‡
C
,
-
int
(
C
)
Ú
ext
(
C
)
©
OL
«
C
S
Ü
Ú
Ü
º:
8
Ü
.
X
J
˜
‡
¡
¤
k
:Ñ
´
S
Ü
(
Ü
),
@
o
ù
‡
·
‚
¡
ù
‡
¡
´
S
Ü
(
Ü
).
˜
‡
C
X
J
÷
v
int
(
C
)
Ú
ext
(
C
)
Ñ
š
˜
,
K
·
‚
¡
ù
‡
•
©
l
.
DOI:10.12677/aam.2023.123093910
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
X
J
ü
‡
¡
k
Ó
>
,
K
·
‚
¡
§
‚
´
ƒ
.
´
»
P
½
C
•
Ý
,
·
‚
^
|
P
|
½
|
C
|
L
«
,
§
‚
©
O
•
P
†
C
>
ê
.
·
‚
^
d
(
f
)
L
«
˜
‡
²
¡
ã
¡
f
Œ
.
k
•
˜
‡
ê
.
k
-
º:
(
©
O
/
,
k
+
-
º:
Ú
k
−
-
º:
)
L
«
´
˜
‡
÷
v
d
(
v
) =
k
º:
(
©
O
/
k
,
d
(
v
)
≥
k
Ú
d
(
v
)
≤
k
).
ƒ
a
q
V
g
A^u
´
»
,
Ú
¡
,
Ù
¥
d
(
v
)
©
O
|
P
|
,
|
C
|
Ú
d
(
f
)
“
.
X
J
v
†
P
˜
‡
"
àº:
ƒ
,
K
·
‚
¡
´
»
P
Ú
˜
‡
º:
v
∈
V
(
P
)
ƒ
.
k
-
G
´
˜
^
•
¹
k
‡
2
Ý:
´
»
,
¿
…
§
†
2
Ý:
Ø
ƒ
.
d
1
,d
2
,d
3
´
n
‡
ê
,
§
‚
÷
v
3
≤
d
1
≤
d
2
≤
d
3
.
˜
‡
(
d
1
,d
2
,d
3
)-
¡
´
˜
‡
•
¹
º:
v
1
,v
2
,v
3
3-
¡
,
Ù
¥
é
u
z
˜
‡
i
∈{
1
,
2
,
3
}
,
v
i
´
˜
‡
S
Ü
,
Ý
•
d
i
:
.
p
=
u
1
u
2
u
3
u
4
•
²
¡
ã
˜
^
´
.
X
J
p
¤
k
:Ñ
´
Ý
•
3
S
:
§
¿
…
÷
v
±
e
^
‡
Ù
¥
˜
^
,
@
o
¡
p
´
˜
^
Ð
´
:
1.
´
»
p
Ø
á
u
,
‡
¡
>
.
§
…
>
u
1
u
2
Ú
u
3
u
4
þ
'
é
˜
‡
n
/
[
u
2
u
1
v
]
Ú
[
u
3
u
4
w
].
2
.
´
»
p
á
u
,
‡
¡
>
.
§
…
>
u
1
u
2
'
é
˜
‡
n
/
.
˜
‡
A
-
:
´
˜
‡
3-
S
:
,
¿
…
§
á
u
˜
‡
S
Ü
3-
¡
;
˜
‡
B
-
:
´
˜
‡
4-
S
:
,
¿
…
§
Ú
ü
‡
3-
¡
ƒ
'
;
˜
‡
C
-
:
´
˜
‡
S
:
,
¿
…
§
Q
Ø
´
A
-
:
,
•
Ø
´
B
-
:
;
˜
‡
D
-
:
´
˜
‡
:
,
X
J
§
Ú
˜
‡
n
/
T
ƒ
'
,
·
‚
ò
ù
‡
:
P
•
D
1
-
:
,
A
O
/
,
X
J
n
/
T
k
˜
^
>
3
™
.
½
¡
>
.
þ
¿
…
§
k
˜
‡
3-
S
:
,
@
o
·
‚
¡
n
/
T
•
A
Ï
n
/
.
3.
½
n
2.1
y
²
½
n
3.1
-
(
D,σ
)
´
˜
‡
ã
G
∈
G
S
3
-
I
P
ã
.
X
J
G
Ã
.
½
¡
f
0
>
.
´
‡
Ð
,
@
o
(
D
[
V
(
f
0
)]
,
σ
)
?
¿
3
-
/Ú
Œ
±
ò
ÿ
(
D,σ
)
§
=
Œ
±
*
Ð
(
D,σ
)
˜
‡
3
-
/Ú
.
l
½
n
3
.
1
Œ
±
í
Ñ
½
n
2
.
1.
b
•
3
š
S
3
-3-
Œ
/
ã
G
∈
G
"
G
k
š
3-
Œ
/
S
3
-
I
Ò
ã
(
D,σ
).
·
‚
•
Œ
•
–
•
5
²
¡
ã
´
DP
-3-
Œ
/
,
Ï
d
D
k
3-
C
.
?
C
˜
‡
3-
/Ú
φ
.
d
Ú
n
2
.
2,
·
‚
•
C
´
Ð
.
@
o
,
d
½
n
3
.
1,
·
‚
Œ
±
ò
φ
ò
ÿ
(
ext
(
C
)
,σ
)
Ú
(
int
(
C
)
,σ
).
·
‚
ò
^
‡
y
{
5
y
²
½
n
3
.
1.
-
G
´
½
n
3
.
1
˜
‡
4
‡
~
,
§
÷
v
σ
(
G
)=
|
V
(
G
)
|
+
|
E
(
G
)
|
•
Š
.
·
‚
Œ
±
b
f
0
>
.
U
´
˜
‡
Ð
,
φ
0
´
(
D
[
V
(
f
0
)
,σ
])
˜
‡
3-
/Ú
,
´
T
/
Ú
Ø
U
ò
ÿ
‡
(
D,σ
).
3.1.
(
5
Ÿ
Ú
n
3.2
G
Ø
¹
©
l
Ð
.
y
²
:
X
J
C
´
G
©
l
Ð
,
@
o
d
(
D,σ
)
4
5
,
·
‚
Œ
±
ò
φ
0
ò
ÿ
(
D
−
int
(
C
)
,σ
),
,
ò
C
/Ú
ò
ÿ
(
int
(
C
)
,σ
).
ù
φ
0
Ò
ò
ÿ
‡
(
D,σ
)
þ
,
ù
†
·
‚
b
g
ñ
.
Ú
n
3.3
G
´
ë
Ï
.
y
²
:
Ä
K
,
·
‚
Œ
±
b
D
k
˜
‡
¬
B
Ú
˜
‡•
:
v
∈
V
(
B
).
Ï
L
(
D,σ
)
4
5
,
·
‚
Œ
±
ò
φ
0
ò
ÿ
(
D
−
V
(
B
−
v
)
,σ
).
-
f
•
B
•
¹
:
v
˜
‡
¡
,
¿
…
d
(
f
)
•
Š
.
X
J
d
(
f
)
≤
12,
@
o
d
Ú
n
2
.
2,
·
‚
Œ
±
í
ä
Ñ
f
>
.
´
˜
‡
Ð
.
Ï
d
,
d
(
D,σ
)
4
5
§
v
/Ú
Œ
ò
ÿ
DOI:10.12677/aam.2023.123093911
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
(
f,σ
),
¿
?
˜
Ú
ò
ÿ
(
B,σ
).
d
,
X
J
d
(
f
)
≥
13,
@
o
v
3
f
>
.
þ
ü
‡
:
ƒ
m
\
˜
^
f
S
Ü
k
•
>
e
,
˜
‡
3-
¡
T
.
w
,
§
B
+
e
∈
G
.
a
q
,
d
(
D,σ
)
4
5
,
·
‚
Œ
±
ò
ÿ
v
/Ú
(
T,σ
)
¿
…
?
˜
Ú
ò
ÿ
(
B
+
e,σ
)
þ
.
3
þ
ã
ü
«
œ
¹
e
,(
D,σ
)
•
ª
/Ú
Ñ
´
d
φ
0
ò
ÿ
,
ù
†
·
‚
½
n
b
g
ñ
.
Ú
n
3.4
G
S
:Ý
–
•
3
.
y
²
:
X
J
G
¥
•
3
˜
‡
Ý
•
p
•
2
S
:
v
,
@
o
·
‚
Œ
±
Ï
L
(
D,σ
)
4
5
ò
φ
0
ò
ÿ
(
D
−
v,σ
),
¿
…
é
w
,
Œ
±
?
˜
Ú
ò
ÿ
(
D,σ
).
5
3.5
X
J
(
D,σ
0
)
´
˜
‡
S
3
-
I
P
ã
,
¿
…
§
=
†
d
u
(
D,σ
)
,
@
o
(
D,σ
0
)
•
´
½
n
3
.
1
˜
‡
4
‡
~
.
Ú
n
3.6
(
D,σ
)
Ø
¹
K
(3
,
3
,
3)
-
¡
.
y
²
:
b
T
Ú
n
Ø
¤
á
,
v
1
v
2
v
3
´
˜
‡
3
G
¥
K
(3
,
3
,
3)-
¡
,
¿
…
é
u
i
∈
[3],
u
i
∈
N
(
v
i
)
¿
…
u
i
6
=
v
i
.
d
5
3.5
§
·
‚
Œ
±
b
u
1
v
1
v
2
u
2
Ú
v
1
v
3
u
3
>
þ
•
.
d
K
¿
,
v
2
v
3
•
K
>
.
du
(
D,σ
)
4
5
,(
D
−{
v
1
,v
2
,v
3
}
,σ
)
k
˜
‡
3-
/Ú
φ
,
@
o
·
‚
Œ
±
Ï
L
±
e
•
ª
ò
/Ú
φ
0
ò
ÿ
G
.
e
∃
i
∈{
2
,
3
}
,
φ
0
(
u
1
)
6
=
φ
0
(
u
i
),
Ø
”
˜
„
5
,
i
= 2,
@
o
·
‚
^
ô
Ú
φ
0
(
u
1
)
/
v
2
,
X
·
‚
2
U
ì
v
3
→
v
1
^
S
ò
•
e
:
/
Ð
,
K
‡
ã
G
Ò
/
Ð
.
¤
±
,
φ
0
(
u
1
)
,φ
0
(
u
2
)
,φ
0
(
u
3
)
7
/
Ó
˜
ô
Ú
,
Ø
”
•
ô
Ú
1.
Ï
•
v
2
v
3
•
K
>
,
¤
±
Ù
ü
à:
ô
Ú
Ó
ž
/
¤
2
½
ö
Ó
ž
/
¤
3,
7
k
˜
«
œ
¹
†
T
>
Î
Ò
Ø
À
â
.
•
,
v
1
„
k
˜
‡
Œ
^
ô
Ú
.
Ú
n
3.7
é
u
?
¿
‰
½
÷
v
3
≤
k
≤
14
ê
k
Ú
÷
v
t
≥b
k
−
1
2
c
ê
t
,
ã
G
?
¿
k
-
¡
(
f
0
Ø
)
>
.
Ñ
Ø
•
¹
t
-
G
.
y
²
:
‡
y
{
.
b
G
k
˜
‡
¡
f
,
§
>
.
C
•
¹
˜
‡
t
-
G
L
.
-
D
0
=
D
−
V
(
L
)
¿
…
U
0
=
U
∪
C
−
V
(
L
).
·
‚
Ä
k
ò
φ
0
ò
ÿ
U
∪
C
.
·
‚
5
¿
U
0
´
D
0
p
Ã
.
½
¡
>
.
,
¿
…
|
D
0
|
=
|
D
|−|
V
(
L
)
|
+(
|
C
|−
2
−|
V
(
L
)
|
)
≤|
D
|
+
k
−
2
−
2
b
k
−
1
2
c≤|
D
|
.
Ï
d
,
U
0
/Ú
Œ
±
ò
ÿ
(
D
0
,σ
).
ù
†
·
‚
b
φ
0
Ø
U
ò
ÿ
(
D,σ
)
g
ñ
.
Ú
n
3.8
(
D,σ
)
Ø
•
¹
ü
‡
ƒ
(3
,
3
,
4)
-
¡
.
y
²
:
Ä
K
,
·
‚
[
uvw
]
Ú
[
wxy
]
´
ƒ
u
:
w
?
ü
‡
(3
,
3
,
4)-
¡
.
du
G
Ø
¹
k
4
,
¤
±
ù
ü
‡
3-
¡
Ø
ƒ
,
Ï
d
,
w
7
½
´
Ý
•
4
:
.
u
0
,v
0
,x
0
,y
0
©
O
´
u,v,x,y
•
e
@
‡
:
(
=
Ø
3ù
ü
‡
3-
¡
þ
:
).
Ï
L
5
3
.
5,
·
‚
Œ
±
À
J
(
D,σ
)
§
¦
u
0
uwvv
0
Ú
x
0
xwyy
0
þ
>
Ñ
•
.
·
‚
Ø
”
b
u
0
,x
0
Ø
•
¹
3
Ó
˜
‡
¡
þ
.
Ï
L
l
(
D,σ
)
¥
í
Ø
:
u,v,w,x,y
¿
…
ò
:
u
0
†
:
x
0
?
1
˜
‡
Ê
:
ö
Š
,
·
‚
˜
‡
#
ã
(
D
0
,σ
0
).
P
D
0
.
ã
•
G
0
.
·
‚
ò
y
²
/Ú
φ
0
Œ
±
ò
ÿ
(
D
0
,σ
0
)
þ
,
=
÷
v
½
n
8
B
^
‡
.
Ä
k
§
I
‡
y
þ
ã
ã
ö
Š
Ø
¬
)
#
k
-
(
k
≤
10)
§
G
0
∈
G
.
X
J
)
˜
‡
#
k
-
,
@
o
ù
‡
k
-
é
A
´
ã
G
p
˜
^
u
0
Ú
x
0
ƒ
m
k
-
´
»
,
§
†
´
»
u
0
uwxx
0
|
Ü
/
¤
˜
‡
(
k
+4)-
,
·
‚
P
ù
‡
•
C
.
Š
â
ã
²
¡
5
,
:
v
Ú
:
y
Ù
¥
˜
‡
u
C
S
,
,
˜
‡
u
C
.
Ï
d
,
C
´
˜
‡
©
l
Ð
,
ù
†
Ú
n
3
.
2
ƒ
g
ñ
.
DOI:10.12677/aam.2023.123093912
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
Ù
g
§
I
‡
y
/Ú
φ
0
3
D
0
¥
E
~
.
é
u
þ
ã
ã
ö
Š
,
•
I
ü
Ø
ü
«
œ
¹
µ
1
¤
:
u
0
Ú
x
0
þ
´
G
:
;2
¤
u
0
Ú
x
0
Ù
¥
˜
‡
•
:
§
…
,
˜
‡
•
S
:
k
˜
‡
:
•
:
.
é
u
œ
¹
1
§
U
u
0
,x
0
y
©
¤
ü
^
´
»
P
1
Ú
P
2
.
du
|
V
(
f
0
)
|≤
14
§
@
o
P
1
½
ö
P
2
¥
˜
^
´
†
´
»
u
0
uwxx
0
ƒ
(
Ü
´
˜
‡
11
−
-
.
w
,
§
T
´
Ð
…
©
l
:
v
Ú
:
y
,
ù
†
Ú
n
3
.
2
ƒ
g
ñ
.
é
u
œ
¹
2
§
Ø
”
b
u
0
´
G
˜
‡
S
:
.
P
u
00
´
u
0
˜
‡
3
U
þ
:
.
5
¿
u
00
,x
0
∈
V
(
U
),
Ï
L
a
q
u
œ
¹
1
?
Ø
Œ
g
ñ
"
·
‚
„
I
‡
y
´
U
´
G
0
˜
‡
Ð
.
b
†
ƒ
ƒ
‡
/
,
U
´
G
0
˜
‡
€
,
•
Ò
´
`
,
U
•
¹
˜
‡
9
.
,
P
•
H
.
Ï
•
G
0
∈
G
,
d
Ú
n
2.2
§
H
•
U
(3
,
8
,
8)-
9
.
P
t
•
Ê
Ü
u
0
Ú
x
0
:
"
Ï
•
u
0
Ú
x
0
Ø
Ó
ž
•
:
,
t
3
H
þ
,
@
o
†
t
'
é
H
ü
‡
¿
þ
•
#
)
"
w
,
,
ù
ü
‡
¿
–
k
˜
‡
•
•
8,
=
þ
ã
ã
ö
Š
#
)
˜
‡
8-
,
g
ñ
"
d
(
D,σ
)
4
5
,
φ
0
Œ
ò
ÿ
(
D
0
,σ
0
)
¿
…
X
e
ö
Š
é
•
{
:
/Ú
,
•
?
˜
Ú
/
ò
ÿ
(
D,σ
)
þ
:
ò
:
w
/þ
Ú
:
u
0
Ó
ô
Ú
,
@
o
·
‚
Œ
±
ò
:
v
Ú
u
•
g
/
Ð
,
:
y
Ú
x
•
Œ
•
g
/
Ð
.
·
‚
Ñ
(
Ø
φ
0
Œ
±
ò
ÿ
‡
(
D,σ
),
ù
†
·
‚
b
g
ñ
.
Ú
n
3.9
G
Ø
•
¹Ð
´
.
y
²
:
‡
y
.
b
G
k
˜
^
Ð
´
p
=
u
1
u
2
u
3
u
4
.
œ
¹
1:
>
u
1
u
2
Ú
u
3
u
4
©
O
•
¹
u
n
/
[
u
2
u
1
v
]
†
[
u
3
u
4
w
]
¥
.
-
u
0
Ú
u
5
©
O
•
u
1
Ú
u
4
u
(
:
.
Ï
L
=
†
,
·
‚
Œ
±
À
J
†
:
u
1
,u
2
,u
3
½
u
4
ƒ
'
é
>
þ
•
>
.
X
,
·
‚
í
p
þ
¤
k
:
¿
…
3
u
0
Ú
u
5
ƒ
m
V
\
˜
^
>
.
ù
l
(
D,σ
)
˜
‡
#
S
3
-
I
Ò
²
¡
ã
§
P
Š
(
D
0
,σ
0
).
·
‚
ò
y
²
/Ú
φ
0
Œ
±
ò
ÿ
(
D
0
,σ
0
)
þ
,
=
÷
v
½
n
8
B
^
‡
.
Ä
k
§
y
þ
ã
ã
ö
Š
Ø
¬
)
#
k
-
(
k
≤
10),
D
0
∈
G
.
Ä
K
,
ò
T
k
-
þ
>
u
0
u
5
^
´
»
u
0
u
1
..u
5
O
†
Œ
±
˜
‡
(
k
+4)-
§
P
Š
C
.
ù
p
‡
5
¿
´
:
v,w
Ø
Œ
U
´
C
þ
:
.
Ä
K
{
,
Ø
”
b
v
∈
V
(
C
),
@
o
C
ü
‡
u
vu
1
Ú
vu
2
ò
C
y
©
¤
˜
‡
3-
Ú
˜
‡
11
+
-
±
9
˜
‡
8
+
-
,
ù
†
¯¢
|
C
|≤
14
g
ñ
.
Ï
d
§
é
u
:
v
Ú
w
§
˜
‡
u
C
S
Ü
,
,
˜
‡
u
C
Ü
.
C
´
˜
‡
©
l
Ð
,
g
ñ
.
Ù
g
§
y
/Ú
φ
0
3
D
0
¥
E
~
.
é
u
þ
ã
ã
ö
Š
,
•
I
y
:
u
0
Ú
u
5
Ø
þ
´
G
:
.
Ä
K
§
u
0
Ú
u
5
ò
U
y
©
¤
ü
^
´
»
P
1
Ú
P
2
.
o
•
3
Ù
¥
˜
^
´
»
Ú
#
>
u
0
u
5
|
¤
˜
‡
8
−
-
§
T
´
#
)
§
g
ñ
.
•
§
y
U
3
D
0
¥
•
´
Ð
.
‡
y
,
-
H
´
D
0
¥
U
˜
‡
9
.
.
du
D
v
k
9
.
,
N
´
í
Ñ
u
0
,u
5
Ú
9
.
k
'
.
Ï
d
·
‚
Ø
”
b
u
0
´
˜
‡
S
:
¿
…
u
0
k
n
‡
3
U
þ
:
,
Ù
¥
•
)
u
5
.
P
u
0
,u
00
•
,
ü
‡
:
.
du
|
V
(
U
)
|≤
14,
@
o
u
0
,u
00
,u
5
ò
V
(
U
)
©
¤
n
^
´
»
,
Ù
¥–
k
˜
^
±
u
5
•
à:
´
»
Ù
•
Ý
–
õ
•
8.
þ
ã
ã
ö
Š
ò
)
˜
‡
#
9
−
-
,
g
ñ
.
du
G
4
5
,
/Ú
φ
0
Œ
±
ò
ÿ
(
G
0
,σ
0
),
¿
Ï
L
X
e
/Ú
?
˜
Ú
ò
ÿ
(
G,σ
):
P
φ
•
G
0
/Ú
.
X
J
φ
(
u
0
)
6
=
φ
(
v
)
¿
…
φ
(
u
5
)
6
=
φ
(
w
),
@
o
·
‚
ò
u
0
ô
Ú/
‰
u
2
§
u
5
ô
Ú/
‰
u
3
.
@
o
e
5
u
1
Ú
u
4
•
w
,
Œ
±
/
Ð
.
X
J
φ
(
u
0
)=
φ
(
v
),
@
o
w
,
Œ
±
U
u
4
,u
3
,u
2
,u
1
^
S
ò
/Ú
ò
DOI:10.12677/aam.2023.123093913
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
ÿ
G
þ
.
X
J
φ
(
u
5
) =
φ
(
w
),
@
o
w
,
Œ
±
U
u
1
,u
2
,u
3
,u
4
^
S
ò
/Ú
ò
ÿ
G
þ
.
œ
¹
2:
´
»
p
3
˜
‡
¡
>
.
þ
,
¿
…
>
u
1
u
2
'
é
˜
‡
n
/
[
u
2
u
1
v
].
-
u
0
Ú
w
©
OL
«
u
1
Ú
u
3
u
(
Ø
.
Ï
L
=
†
,
·
‚
Œ
±
À
J
ã
G
,
¦
ã
G
>
u
3
w
±
9
†
:
u
1
,u
2
ƒ
'
é
>
Ñ
•
.
X
·
‚
l
G
¥
í
Ø
´
»
p
¤
k
º:
¿
…
ò
:
u
0
Ú
:
w
?
1
Ê
:
.
ù
l
(
D,σ
)
˜
‡
#
S
3
-
I
Ò
²
¡
ã
,
P
Š
(
D
0
,σ
0
).
Ä
k
,
y
þ
ã
ã
ö
Š
Ø
¬
)
#
•
k
-
(
k
≤
10),
D
0
∈
G
.
Ä
K
,
k
-
é
A
ã
D
¥
´
˜
^
k
-
´
»
,
¿
…
§
†
´
»
u
0
u
1
u
2
u
3
w
˜
å
|
¤
˜
‡
(
k
+4)-
,
·
‚
-
ù
‡
•
C
,
Ú
œ
¹
1
y
L
§
˜
,
C
´
˜
‡
Ð
©
l
,
ù
´
g
ñ
.
Ó
Ú
œ
¹
1
ƒ
q
/
,
·
‚
Œ
±
í
Ñ
u
0
Ú
w
Ø
U
Ó
ž
Ñ
•
ã
G
:
,
¿
…
·
‚
ö
Š
Ø
¬
—
ü
‡
:
ƒ
.
ù
`
²
/Ú
φ
0
3
D
0
¥
E
~
.
X
,
y
U
3
D
0
¥
•
´
Ð
.
‡
y
,
-
H
´
D
0
¥
U
˜
‡
9
.
.
du
D
v
k
9
.
,
N
´
í
Ñ
u
0
,w
Ú
9
.
k
'
.
@
o
d
9
.
½
Â
,
Ù
¥
˜
‡
:
,
Ø
”
-
T
:
•
u
0
,
u
0
k
ü
‡
:
{
u
0
,u
00
}
3
V
(
U
)
þ
,
:
w
K
k
˜
‡
:
w
0
,
w
0
∈
V
(
U
).
du
|
V
(
U
)
|≤
14,
@
o
u
0
,u
00
,w
0
ò
V
(
U
)
©
¤
n
^
´
»
,
Ù
¥
l
u
0
–
k
˜
^
±
w
0
•
à:
´
»
Ù
•
Ý
–
õ
•
8.
þ
ã
ã
ö
Š
ò
)
˜
‡
#
9
−
-
,
g
ñ
.
Ï
d
·
‚
Œ
±
b
w
∈
V
(
U
)
u
0
/
∈
V
(
U
),
@
o
:
u
0
Œ
U
Ò
k
˜
‡
:
u
0
,
¿
…
u
0
k
ü
‡
:
{
u
x
,u
y
}
3
V
(
U
)
þ
.
Ó
þ
,
·
‚
Œ
±
é
˜
‡
#
9
−
,
g
ñ
.
du
G
4
5
,
/Ú
φ
0
Œ
±
ò
ÿ
(
G
0
,σ
0
),
¿
Ï
L
X
e
/Ú
?
˜
Ú
ò
ÿ
(
G,σ
):
P
φ
•
G
0
/Ú
.
·
‚
•
u
3
Ø
Œ
±
/
ô
Ú
φ
(
u
0
),
e
φ
(
v
)
6
=
φ
(
u
0
),
@
o
·
‚
Œ
±
ò
u
0
ô
Ú/
u
2
,
e
5
u
1
•
Œ
±
/
Ð
.
e
φ
(
v
) =
φ
(
u
0
),
@
o
·
‚
Œ
±
U
^
S
ò
u
3
,u
2
,u
1
^
S
ò
/Ú
ò
ÿ
G
þ
.
4.
ã
G
=
£
·
‚
ò
(3
,
3
,
3)-
¡
L
«
•
€
n
/
;3-
¡
T
Ð
•
¹
ü
‡
3-
S
:
,
·
‚
ò
§
P
Š
g
n
/
;3-
¡
•
k
˜
‡
3-
S
:
,
·
‚
ò
§
P
Š
Ê
Ï
n
/
.
Ù
¦
3-
¡
P
Š
Ð
n
/
"
e
¡
,
·
‚
-
V,E
Ú
F
©
O
•
G
º:
,
>
Ú
¡
8
Ü
.
é
u
z
‡
x
∈
V
∪
F
,
x
Ð
©
Š
ch
(
x
)
½
Â
X
e
:
ch
(
x
) =
2
d
(
x
)
−
6
,
e
x
∈
V
;
d
(
x
)
−
6
,
e
x
∈
F
\{
f
0
}
;
d
(
x
)+6
,
e
x
=
f
0
.
(1)
|
^
ª
P
v
∈
V
(
G
)
d
(
v
) = 2
|
E
(
G
)
|
=
P
f
∈
F
(
G
)
d
(
f
)
±
9
î
.
ú
ª
|
V
(
G
)
|−|
E
(
G
)
|
+
|
F
(
G
)
|
= 2,
·
‚
Œ
±
X
x
∈
V
(
G
)
∪
F
(
G
)
ch
(
x
) = 0
.
X
,
·
‚
ò
é
¤
k
x
∈
V
(
G
)
∪
F
(
G
)
ƒ
½
·
=
£
5
K
?
1
=
£
5
˜
‡
•
ª
Š
ch
∗
(
x
)
¿
…
·
‚
k
ch
∗
(
x
)
>
0.
du
3
=
£
L
§
¥
o
Š
´
Ø
¬
U
C
,
ù
‡
=
(
J
DOI:10.12677/aam.2023.123093914
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
†
·
‚
o
Ð
©
Š
´
g
ñ
.
Š
â
±
e
5
K3
V
∪
F
ƒ
ƒ
m
?
1
=
:
R
1
.f
0
=
Ñ
10
7
‡
z
‡
f
0
þ
:
v
.
R
2
.
é
u
6
+
-
¡
f
,
Ù
¥
f
6
=
f
0
,
f
=
Ñ
d
(
f
)
−
6
d
(
f
)
‡
z
‡
¡
þ
:
.
R
3
.
-
L
•
14
−
-
¡
f
>
.
þ
˜
‡
G
,
Ù
¥
f
6
=
f
0
.
X
J
:
u
´
˜
‡
L
:
,
@
o
u
=
Ñ
42
−
3
d
(
f
)
14
d
(
f
)
‡
z
‡
L
:
þ
.
R
4
.
-
u
•
€
n
/
þ
˜
‡
º:
,
v
•
u
3
n
/
˜
‡
:
,
v
=
Ñ
1
2
‡
u
.
R
5
.
(1)
B
-
:
=
Ñ
35
22
‡
z
‡
ƒ
'
g
n
/
þ
,
Ä
K
=
Ñ
29
22
‡
z
‡
Ù
¦
a
n
/
þ
.
(2)
D
-,
C
-
:
=
Ñ
2
‡
z
‡
ƒ
'
g
n
/
þ
.
½
ö
=
Ñ
35
22
‡
z
‡
Ê
Ï
n
/
þ
,
Ä
K
=
Ñ
1
‡
z
‡
Ù
¦
a
n
/
þ
(
þ
ã
n
/
Ø
•
)
A
Ï
n
/
).
(3)
D
1
-
:
=
Ñ
57
44
‡
z
˜
‡
A
Ï
n
/
þ
,
Ù
¥
T
A
Ï
n
/
k
˜
‡
€
n
/
n
Ý
S
:
,
Ä
K
=
Ñ
19
14
‡
z
‡
A
Ï
n
/
þ
.
3
=
£
ƒ
,
·
‚
o
´
r
S
3-
:
¤
k
Š
=
†
ƒ
ƒ
'
é
n
/
þ
.
é
u
z
‡
x
∈
V
∪
F
,
·
‚
P
ch
∗
(
x
)
•
Ù
²
L
=
•
ª
Š
.
5
Ÿ
4.1
é
¤
k
S
Ü
3
-
¡
f
,
ch
∗
(
f
)
≥
0
.
y
²
:
Ä
k
,
·
‚
b
[
uvw
]
´
˜
‡
€
n
/
.
X
J
[
uvw
]
†
Ù
¦
3-
¡
Ø
,
@
o
[
uvw
]
Œ
U
Ú
†
8-
¡
ƒ
,
Ä
K
, [
uvw
]
•
U
Ú
11
+
-
¡
ƒ
.
d
R
4
Ú
R
2,
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
x
)+3
·
1
2
+3
·
2
·
1
4
= 0.
X
J
[
uvw
]
´
˜
‡
g
n
/
¿
…
d
(
w
)
≥
4,
@
o
Ï
L
Ú
n
3
.
9,
·
‚
•
{
u,v
}
Ø
†
€
n
/
ƒ
.
·
‚
•
Ä
w
Œ
U
´
˜
‡
B
-
:
œ
¹
,
@
o
du
ã
G
Ø
¹
k
10-
¡
,
¤
±
[
uvw
]
†
–
ü
‡
11
+
-
¡
ƒ
'
.
Ï
L
R
2
Ú
R
5(1),
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
) + 2
·
(
5
11
+
1
4
) +
35
22
=
−
3 +
31
22
+
35
22
=0.
X
J
w
´
˜
‡
C
-
:
½
ö
D
-
:
,
@
o
d
R
5(2),
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)+2
·
2
·
1
4
+2 = 0.
X
J
[
uvw
]
´
˜
‡
Ê
Ï
n
/
,
@
o
•
Ò
´
`
,
·
‚
Œ
±
b
d
(
u
)
≥
4,
d
(
w
)
≥
4.
·
‚
•
v
Œ
U
†
€
n
/
ƒ
,
X
J
u
½
ö
w
´
B
-
:
,
@
o
v
Ú
11
+
-
¡
´
ƒ
'
.
X
J
u,w
Ñ
´
B
-
:
,
@
o
d
R
2
,R
4
Ú
R
5(1),
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)
−
1
2
+ 2
5
11
+ 2
29
22
=
−
3
−
1
2
+
39
11
=
1
22
.
X
J
u
´
C
-
:
,
w
´
˜
‡
B
-
:
,
¿
…
v
˜
‡
€
n
/
,
·
‚
Œ
±
í
ä
Ñ
v
†
ü
‡
11
+
-
¡
ƒ
'
,
@
o
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)
−
1
2
+2
5
11
+
29
22
+
35
22
=
−
3
−
1
2
+
10
11
+
64
22
>
0.
X
J
v
Ø
†
€
n
/
ƒ
,
d
ž
v
Œ
U
•
Ú
˜
‡
11
+
-
¡
k
'
,
@
o
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)+(
1
4
+
5
11
)+
29
22
+
35
22
>
0.
Ï
d
,
·
‚
Œ
±
b
u,w
Ñ
´
C
-
:
,
X
J
v
†
€
n
/
ƒ
,
@
o
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)+2
5
11
+
35
22
+
35
22
−
1
2
>
0.
X
J
v
Ø
†
€
n
/
ƒ
,
@
o
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)+2
1
4
+
35
22
+
35
22
>
0.
X
J
[
uvw
]
´
˜
‡
Ð
n
/
,
@
o
d
R
4,
R
5(2),
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)+3
·
1 = 0.
5
Ÿ
4.2
¤
k
B
-,
C
-
:
v
,
ch
∗
(
v
)
≥
0
.
y
²
:
v
´
˜
‡
B
-
:
,
@
o
d
Ú
n
3
.
8,
v
•
õ
†
˜
‡
g
n
/
ƒ
'
,
Ï
d
d
R
2
Ú
R
5(1),
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+2
5
11
−
35
22
−
29
22
= 0.
DOI:10.12677/aam.2023.123093915
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
X
·
‚
-
v
´
˜
‡
C
-
:
.
X
J
d
(
v
)=3,
@
o
Š
â
½
Â
,
v
Ø
•
¹
3
S
Ü
n
/
¥
.
Ï
d
,
v
Œ
U
Ú
n
‡
6
+
-
¡
ƒ
'
.
Š
â
Ú
n
3
.
9,
v
•
õ
˜
‡
€
n
/
.
X
J
v
†
€
n
/
ƒ
,
d
ã
G
∈
G
,
@
o
·
‚
Œ
±
í
ä
Ñ
v
Œ
U
†
ü
‡
8
+
-
¡
±
9
˜
‡
6
+
-
¡
ƒ
'
,
Ï
d
d
R
2
Ú
R
4,
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+2
1
4
+ 0
−
1
2
=0.
X
J
v
Ø
†
€
n
/
ƒ
,
@
o
v
Œ
U
†
n
‡
6
+
-
¡
ƒ
'
,
Ï
d
,
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
) + 3
·
0=0.
X
J
v
•
¹
u
˜
‡
A
Ï
n
/
¥
,
K
Š
â
R
2,
R
5(2),
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+2
·
1
4
>
0
½
ö
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+2
·
5
11
−
1
2
>
0.
X
J
d
(
v
)
≥
4,
@
o
·
‚
-
x
•
•
¹
:
v
n
/
ê
8
,
y
•
Ú
v
ƒ
€
n
/
ê
8
.
·
‚
•
x
≤b
d
(
v
)
2
c
¿
…
y
≤
d
(
v
)
−
2
x
.
X
J
v
†
˜
‡
€
n
/
ƒ
,
@
o
v
–
Ú
ü
‡
8
+
-
¡
ƒ
'
,
Ä
K
Œ
U
Ú
ü
‡
6
+
-
¡
ƒ
'
.
Ï
d
,
·
‚
Ø
”
•
Ä
x
‡
ƒ
'
n
/
Ñ
´
g
n
/
œ
¹
,
d
ž
n
/
¤
I
‡
Š
Ò
´
•
õ
.
d
R
2
Ú
R
5(2),
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)
−
x
·
2
−
y
·
1
2
≥
3
2
·
d
(
v
)
−
6
−b
d
(
v
)
2
c
.
X
J
d
(
v
)
≥
6,
@
o
Ï
L
O
Ž
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
>
0.
·
‚
E,
I
‡
y
4
≤
d
(
v
)
≤
5
ž
Š
œ
¹
.
X
J
d
(
v
)=4,
du
v
´
C
-
:
,
@
o
Š
â
C
-
:
½
Â
,
v
•
õ
Ú
˜
‡
n
/
ƒ
'
.
x
=1,
y
=2
ž
,
@
o
v
†
n
‡
11
+
-
¡
ƒ
'
;
x
=1,
y
=1
ž
,
@
o
v
†
˜
‡
11
+
-
¡
±
9
ü
‡
8
+
-
¡
ƒ
'
;
x
=1,
y
=0
ž
,
@
o
†
ü
‡
8
+
-
¡
±
9
˜
‡
6
+
-
¡
ƒ
'
;
d
,
·
‚
„
I
‡
•
Ä
x
=0,
y
≤
4
œ
¹
.
Xþ
ã
¤
k
œ
¹
,
·
‚
k
ch
∗
(
x
)
≥{
4
11
,
5
11
,
1
2
,
0
}
.
d
(
v
) = 5,
Ú
Ý
•
o
:
ä
a
q
,
§
é
N
´
y
²
ch
∗
(
v
)
≥
0,
·
‚
Ñ
ù
Ü
©
y
²
.
5
Ÿ
4.3
-
v
•
>
.
f
0
þ
˜
‡
:
.
@
o
ch
∗
(
v
)
≥
0
.
y
²
:
X
J
d
(
v
) = 2,
@
o
d
R
1
,R
2
Ú
R
3,
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+
10
7
+
d
(
f
)
−
6
d
(
f
)
+2
·
42
−
3
d
(
f
)
14
d
(
f
)
= 0.
·
‚
b
d
(
v
)=3
¿
…
†
:
v
ƒ
'
¡
f
,
Ù
¥
f
6
=
f
0
.
X
J
d
(
f
)=6,
@
o
d
Ú
n
3
.
6,
·
‚
•
f
•
õ
•
k
˜
‡
Ý:
,
K
d
R
2
Ú
R
3,
v
=
42
−
3
d
(
f
)
14
d
(
f
)
=
2
7
‡
f
Ý:
þ
.
X
J
v
´
˜
‡
D
-
:
¿
…
d
(
f
)=8,
@
o
v
=
–
9
28
−
1
4
=
1
14
‡
f
Ý:
þ
.
X
J
v
´
˜
‡
D
-
:
¿
…
d
(
f
)=11,
@
o
v
–
5
11
−
4
·
42
−
3
·
11
154
=
17
77
‡
.
œ
¹
1
:
:
v
†
˜
‡
6-
¡
ƒ
'
.
du
ã
G
v
k
7-,10-
,
Ï
d
v
Ø
•
¹
u
n
/
p
,
•
Ø
†
n
/
ƒ
,
…
,
v
•
õ
•
á
u
˜
‡
6-
.
Ï
L
þ
¡
©
Û
,
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+
10
7
−
1
14
−
2
7
=
15
14
.
œ
¹
2
:
v
´
˜
‡
D
1
-
:
.
Ï
•
v
´
n
/
˜
‡
:
,
¤
±
v
•
Œ
U
Ú
8
+
-
ƒ
'
.
d
R
1,
R
5(3)
±
9
þ
¡
©
Û
,
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+
10
7
−
1
14
−
19
14
= 0
½
ö
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)+
10
7
+
17
77
−
57
44
>
0.
X
J
d
(
v
)
≥
4,
@
o
·
‚
Œ
±
b
v
†
x
‡
n
/
ƒ
'
¿
…
y
‡
€
n
/
.
·
‚
Œ
±
í
ä
Ñ
x
≤b
d
(
v
)
2
c
¿
…
y
≤
d
(
v
)
−
2
x
.
d
R
1,
R
2
Ú
R
5,
d
(
v
)
≥
5,
x
‡
n
/
•
g
n
/
ž
,
·
‚
k
ch
∗
(
v
)
≥
2
d
(
v
)
−
6
−
x
·
2
−
y
·
1
2
+
10
7
>
0.
X
J
d
(
v
) = 4,
@
o
Š
â
=
£
5
K
,
·
‚
•
v
†
g
n
/
ƒ
'
ž
›
”
•
õ
Š
.
Ï
d
,
ch
∗
(
v
)
≥
ch
(
v
)
−
2+
10
7
−
2
·
1
14
>
0.
5
Ÿ
4.4
é
u
¤
k
†
f
0
ƒ
'
é
n
/
,
ch
∗
(
f
)
≥
0
.
y
²
:
-
[
uvw
]
•
˜
‡
A
Ï
n
/
.
X
J
[
uvw
]
:
u
´
˜
‡
n
Ý
S
:
,
¿
…
u
Ø
†
n
/
ƒ
.
@
o
d
R
2,
R
5,
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
DOI:10.12677/aam.2023.123093916
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
ch
(
f
)+2
·
19
14
+2
·
1
4
=
−
3+
19
7
+
1
2
=
3
14
>
0.
·
‚
Œ
±
b
u
˜
‡
€
n
/
.
@
o
d
R
2,
R
4
Ú
R
5(3),
·
‚
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
) +2
·
57
44
+2
·
5
11
−
1
2
=
−
3+
57
22
+
10
11
−
1
2
= 0.
-
[
uvw
]
•
˜
‡
•
¹
k
(
ƒ
˜
‡
:
n
/
.
X
J
[
uvw
]
´
˜
‡
g
n
/
,
@
o
d
Ú
n
3
.
9
·
‚
•
[
uvw
]
S
:
Ø
Œ
U
€
n
/
,
Ä
K
·
‚
Œ
±
3
G
¥
é
˜
^
Ð
´
,
¤
±
d
R
2
,R
5(2)
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
) + 2+ 4
·
1
4
=0.
X
J
[
uvw
]
´
Ê
Ï
n
/
,
@
o
d
½
Â
·
‚
•
[
uvw
]
k
ü
‡
4
+
-
:
.
e
[
uvw
]
˜
‡
€
n
/
,
d
R
2
,R
4
,R
5
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
) +2
·
35
22
−
1
2
+2
·
5
11
>
0.
e
[
uvw
]
Ø
˜
‡
€
n
/
,
d
R
2
,R
5
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
) +2
·
35
22
+ 2
1
4
>
0.
e
[
uvw
]
´
˜
‡
Ð
n
/
,
d
R
5
·
‚
k
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)+1+1+1 = 0.
5
Ÿ
4.5
é
u
¤
k
4
+
-
¡
f
,
ch
∗
(
f
)
≥
0
.
y
²
:
é
u
f
6
=
f
0
,
Ï
•
G
Ø
¹
k
4
−
,
5
−
,
7
−
,
10
−
,
¤
±
f
–
•
6
+
-
¡
,
d
R
2,
´
•
ch
∗
(
f
)
≥
0.
f
=
f
0
ž
,
d
R
1
Œ
•
ch
∗
(
f
)
≥
ch
(
f
)
−
10
7
·
d
(
f
)
≥
0.
n
þ
¤
ã
,
·
‚
5
y
ch
∗
(
x
)
>
0.
·
‚
•
ã
G
>
.
þ
–
k
˜
‡
3
+
-
:
v
,
¿
…
d
5
Ÿ
4
.
3
y
²
L
§
¥
Œ
±
Ñ
v
7
L
´
˜
‡
D
1
-
:
¿
…
v
3
˜
‡
8-
þ
.
·
‚
-
†
v
k
'
n
/
•
[
uvw
],
Ù
¥
u
´
G
˜
‡
S
:
.(
5
¿
[
uvw
]
¥
7
k
˜
‡
S
:
,
Ä
K
ã
G
¬
k
u
•
3
,
ù
†
Ú
n
3
.
7
´
g
ñ
.)
d
u
n
/
†
˜
‡
8-
ƒ
,
¤
±
u
Ø
Œ
U
´
B
-
:
.
=
´
`
u
´
˜
‡
C
-
:
.
qd
5
Ÿ
4
.
2
y
²
L
§
¥
,
·
‚
•
d
(
u
)=4
½
ö
d
(
u
) = 5.
é
u
ù
ü
«
œ
¹
Ó
du
n
/
˜
‡
8-
,
·
‚
Œ
±
Ñ
ch
∗
(
u
)
>
0.
ù
·
‚
(
Ü
±
þ
5
Ÿ
¤
(
Ø
P
x
∈
V
∪
F
ch
∗
(
x
)
≥
0
Œ
±
Ñ
ã
G
•
ª
Šƒ
Ú
Œ
u
"
,
y
.
.
·
‚
é
L
/Ú
˜
®
k
(
Ø
?
1
²
¡
ã
DP
-
/Úþ
í
2
.H.Zhang[8]
3
2012
c
ž
y
²
Ø
¹
k
{
4
,
5
,
7
,
10
}
•
²
¡
ã
´
3-
Œ
À
,
ù
Ÿ
©
Ù
¥
|
^
4
‡
~
5
Ÿ
±
9
A
O
/
Ú
\
9
.
V
g
Š
•
8
B
^
‡
í
ä
Ñ
ã
˜
(
,
¿
…
|
^
=
£
•{
é
ã
?
1
©
Û
Ø
y
,
y
²
Ø
¹
k
{
4
,
5
,
7
,
10
}
•
²
¡
ã
´
DP-3-
Œ
/
.
d
,
é
u
L
/Ú
ã
ï
Ä
,
Y.Wang,H.Lu
Ú
M.Chen[9]
u
2010
c
y
²
Ø
¹
k
{
4
,
5
,
8
,
9
}
•
²
¡
ã
´
3-
Œ
À
,
´
Ä
ù
‡
(
J
U
í
2
DP
-3-
Œ
/
,
ù
‡
¯
K
X
8
„
v
‰
Y
,
·
‚
Œ
U
I
‡
•
Ä
˜
#
8
B
^
‡
y
.
ë
•
©
z
[1]Gr¨otzsch,H.(1959)EinDreifarbensatzf¨urdreikreisfreieNetzeaufderKugel.
WissenschaftlicheZeitschriftderMartin-Luther-Universit¨atHalle-Wittenberg,Math.-
NaturwissenschaftlicheReihe
,
8
,109-120.
[2]Cohen-Addad, V.,Hebdige,M.,Kr´al,D.,Li,Z.and Salgado,E.(2017) Steinberg’sConjecture
IsFalse.
JournalofCombinatorialTheory,SeriesB
,
122
,452-456.
https://doi.org/10.1016/j.jctb.2016.07.006
DOI:10.12677/aam.2023.123093917
A^
ê
Æ
?
Ð
ë
¨
]
[3]Dvoˇr´ak, Z.and Postle, L. (2018) Correspondence Coloringand ItsApplicationto List-Coloring
PlanarGraphswithoutCyclesofLengths4to8.
JournalofCombinatorialTheory,SeriesB
,
129
,38-54.https://doi.org/10.1016/j.jctb.2017.09.001
[4]Liu,R.,Loeb,S.,Rolek,M.,Yin,Y.andYu,G.(2019)DP-3-ColoringofPlanarGraphs
without4,9-CyclesandCyclesofTwoLengthsfrom6,7,8.
GraphsandCombinatorics
,
35
,
695-705.https://doi.org/10.1007/s00373-019-02025-2
[5]Liu,R.,Loeb,S.,Yin,Y.andYu,G.(2019)DP-3-ColoringofSomePlanarGraphs.
Discrete
Mathematics
,
342
,178-189.https://doi.org/10.1016/j.disc.2018.09.025
[6]Lv,J.(2022)PlanarGraphswithoutCyclesofLengthfrom4to7andIntersectingTriangles
AreDP-3-Colorable.
GraphsandCombinatorics
,
38
,ArticleNo.8.
https://doi.org/10.1007/s00373-021-02407-5
[7]Jin, L.,Wong, T.andZhu,X.(2021)Colouring ofS-LabelledPlanar Graphs.
EuropeanJournal
ofCombinatorics
,
92
,ArticleID:103198.https://doi.org/10.1016/j.ejc.2020.103198
[8]Zhang,H. (2012)ASufficientConditionforaToroidalGraphtoBe3-Choosable.
ArsCombi-
natoria
,
105
,193-203.
[9]Wang, Y., Lu, H.and Chen, M.(2010) PlanarGraphs withoutCycles ofLength 4, 5, 8or 9Are
3-Choosable.
DiscreteMathematics
,
310
,147-158.https://doi.org/10.1016/j.disc.2009.08.005
DOI:10.12677/aam.2023.123093918
A^
ê
Æ
?
Ð