一类对应特殊图的链环的Jones多项式 The Jones Polynomials of a Kind of Links Corresponding to Special Graphs

doi:10.12677/AAM.2022.1110790

Advances in Applied Mathematics
Vol. 11 No. 10 ( 2022 ), Article ID: 57237 , 11 pages
10.12677/AAM.2022.1110790

一类对应特殊图的链环的Jones多项式

祁禄

●How to Cite this Article

辽宁师范大学，辽宁大连

收稿日期：2022年9月26日；录用日期：2022年10月19日；发布日期：2022年10月27日

摘要

Tutte多项式在空间图理论中占据中心地位，本文给出一类特殊图，研究了这类图的Tutte多项式，并且借助Jones多项式与Tutte多项式间的关系计算了这类特殊图对应的链环的Jones多项式，这不仅为链环的Jones多项式的计算提供了新路径，还在纽结理论与空间图理论之间架起一座桥梁。

关键词

Tutte多项式，Jones多项式，拧数

The Jones Polynomials of a Kind of Links Corresponding to Special Graphs

Lu Qi

Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Sep. 26^th, 2022; accepted: Oct. 19^th, 2022; published: Oct. 27^th, 2022

ABSTRACT

Tutte polynomial plays a central role in spatial graph theory, in this paper, given a special type of graphs, we study the Tutte polynomial of the graph and calculate the Jones polynomial of the link corresponding to this special graph with the help of the relationship between the Jones polynomial and the Tutte polynomial, which not only provides a new path for the calculation of the Jones polynomial of links, but also builds a bridge between the knot theory and spatial graph theory.

Keywords:Tutte Polynomial, Jones Polynomial, Writhe Number

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1. 引言

纽结理论是拓扑学的重要分支，随着数学学科不断地发展，纽结理论推广为空间图理论 [1]，很多专家学者开始着手研究空间图理论，探索如何应用空间图的知识去很好地处理纽结理论中的问题。Jones多项式是重要的纽结多项式，很多学者一直探索计算Jones多项式的多种途径。其中，利用拆阶关系计算链环的Jones多项式是较为常见的一种方法，但是对于交叉点较多的链环来说，计算具有复杂性，因此，学者们开始探寻如何利用其他方法来简化Jones多项式的计算。Ryan A利用尖括号多项式拆阶关系和拧数的规律解决了排叉链环的Jones多项式的计算问题 [2]，金贤安建立了关于拧数的定向状态模型 [3]，陶志雄利用二项式的知识研究了特殊环面结的Jones多项式 [4]，Kwun Y C等学者研究了各边均为正号的 $(3, n)$ 图对应的链环的Jones多项式 [5]，在此基础上，本文研究了各边均为正号的 $(A, n)$ 图对应的链环，并计算出其Jones多项式，为实现此类链环的Jones多项式的计算，第一部分介绍纽结理论和空间图理论的相关基础知识和基本概念，第二部分计算了 $(4, n)$ 图的Tutte多项式，第三部分找到拧数的计算规律，这样就可以通过Jones多项式与Tutte多项式的关系得到这族链环的Jones多项式。最后，对 $(4, n)$ 图的非重边的对边增加边，得到 $(A, n)$ 图，这样就得到了 $(A, n)$ 图对应的链环的Jones多项式。

本文的创新之处在于利用Tutte多项式的减边缩边性质以及链环的拧数规律对一类链环的Jones多项式进行计算，利用空间图的知识处理纽结理论中的问题。

2. 预备知识

2.1. 链环

若干个互不相交的圆周 $S_{i}^{1}$ 嵌入到球面 $S^{3}$ 或三维欧氏空间 $R^{3}$ 所得到的三维图形称作链环，其中 $1 \leq i \leq n$ 。 [1]

注释2.1当 $i = 1$ 时，链环只有一个分支，称为纽结。

注释2.2当链环的每个分支都给定方向时，得到有向链环。

2.2. 图

有序三元组 $(V (G), E (G), φ (G))$ 称为图，记为G， $V (G)$ 为图G的顶点集， $E (G)$ 为图G的边集，并且 $E (G) \cap V (G) = \emptyset$ ， $φ (G)$ 将G的每条边对应G的顶点对(顶点可以是同一个)。若边e与两个顶点 $u, v$ 满足 $φ (e) = u v$ ，则称顶点 $u, v$ 是用边e连接的，且e的两个端点是顶点 $u, v$ 。 [1]

注释2.3若在图G中删除边e后，图G的分支数增加，则称边e为图G的割边。

注释2.4若边e的两个端点是相同的顶点，则e为环边。

注释2.5若连接两顶点的边不止一条，则这些边为多重边。

2.3. 两类特殊的图

1) $C_{n}$ 表示长为n的循环图。

2) $θ_{n}$ 表示由两个顶点，n条连接这两个顶点的边组成的图1。

Figure 1. Figure $C_{n}$ and Figure $θ_{n}$

图1. 图 $C_{n}$ 与图 $θ_{n}$

2.4. 对偶图

设图G的对偶图为 $G^{*}$ ，则满足 $G^{*}$ 的每一个顶点对应G的每个面，若G的对应面在边界上有k条边，则在对应面的 $G^{*}$ 的两个顶点就有k条边(如图2)。

Figure 2. The move between G and $G^{*}$

图2. G到 $G^{*}$ 的变换过程

2.5. 交错链环投影图与符号图

1) 在链环投影图中，若对链环的每个分支沿着投影图的每条线，交叉点均为一上一下交错出现，那么称此链环为交错链环。 [1]

2) 每条边均被标记为正号或者负号的图称为符号图，边的标号规则如图3。

Figure 3. The rule of sign

图3. 边的标号规则

注释2.6任意交错链环投影图都能找到其符号图(如图4)，反过来，任一符号图都能找到其对应的链环图(如图5)。

Figure 4. Figure-eight knot and signed graph

图4. 八字结与其对应的符号图

Figure 5. Signed graph of $C_{3}$ and link diagram

图5. $C_{3}$ 符号图及其对应的链环图

2.6. 拧数

一个有向链环投影图L的所有交叉点的+1与−1之和称为链环L的拧数，记为 $W (L)$ [1]。

规定从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角为逆时针时，记为+1；

从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角为顺时针时，记为−1。

2.7. Jones多项式

定向链环L的Jones多项式是一个变量为 $t^{\frac{1}{2}}$ 的一变元洛朗多项式，满足如下拆阶关系式 [1]：(图6)。

$t^{- 1} V_{L_{+}} (t) - t V_{L_{-}} (t) = (t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}}) V_{L_{0}} ( t )$

Figure 6. $L_{+}$ , $L_{-}$ and $L_{0}$

图6. $L_{+}$ ， $L_{-}$ 和 $L_{0}$

2.8. Tutte多项式

Tutte多项式是二变量多项式，且满足：

性质1当图G的边集是空集时， $T_{G} (x, y) = 1$ ；

性质2当e是环边时， $T_{G} (x, y) = y T (G - e; x, y)$ ；

性质3当e是割边时， $T_{G} (x, y) = x T (G / e; x, y)$ ；

性质4当e不是环边也不是割边时， $T_{G} (x, y) = T (G / e; x, y) + T (G - e; x, y)$ 。(图7)

Figure 7. G, $G - e$ and G/e

图7. G， $G - e$ 和G/e

2.9. 引理1

令图G是各边均标为正号的连通平面图，G对应的定向交错链环投影图记为L，则链环L的Jones多项式为：

$V_{L} (t) = {(- 1)}^{w r (L)} t^{\frac{b (L) - a (L) + 3 w r (L)}{4}} T_{G} (- t, - t^{- 1})$

其中 $a (L)$ 为G的顶点数， $b (L)$ 为 $G^{*}$ 的顶点数， $w r (L)$ 为L的拧数。

说明：本文中的图均为符号图，且每个边的符号均为正号。

3. 一类链环图的Jones多项式

3.1. G(4, n)的Tutte多项式

定义3.1 $(4, n)$ 图：在循环图 $C_{4}$ 的基础上，选择任一条边为其增加n条边后得到的图(如图8)。

Figure 8. $(4, n)$ graph

图8. $(4, n)$ 图

定理3.1 $(4, n)$ 图的Tutte多项式为：

$T_{(4, n)} (x, y) = x^{3} + (x^{2} + x + y) \sum_{i = 0}^{n} y^{i}$

证明：当 $n = 1$ 时，由Tutte多项式的减边与缩边的性质，得到：

$T_{(4, 1)} = T$ () $= T$ () $+ T$ ()

$= T$ () $+ T$ () $+ y T$ ()

$= x^{3} + (1 + y) T$ ()

其中， $T$ () $= T$ () $+ T$ ()

$= x T$ () $+ T$ () $+ T$ ()

$= x^{2} T$ () $+ x T$ () $+ y$

$= x^{2} + x + y$

则 $T$ () $= x^{3} + (x^{2} + x + y) (1 + y)$ ，

即 $n = 1$ 时成立；

假设 $n = k$ 成立，即 $T_{(4, k)} = x^{3} + (x^{2} + x + y) \sum_{i = 0}^{k} y^{i}$ ，下证 $n = k + 1$ 成立：

$T_{4, k + 1} = T$ () $= T$ () $+ T$ ()

$\begin{array}{l} = x^{3} + (x^{2} + x + y) \sum_{i = 0}^{k} y^{i} + y^{k + 1} (x^{2} + x + y) \\ = x^{3} + (x^{2} + x + y) \sum_{i = 0}^{k + 1} y^{i} \end{array}$

定理3.1得证。

推论3.1 $T_{(4, n)} (- t, - t^{- 1}) = \frac{- t^{4} - t^{2} - 1 + {(- 1)}^{n + 2} t^{- n + 2} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n - 1}}{1 + t}$

证明：由定理3.1知，

$\begin{matrix} T_{(4, n)} (- t, - t^{- 1}) = - t^{3} + [{(- t)}^{2} + (- t) + (- t^{- 1})] \sum_{i = 0}^{n} {(- t^{- 1})}^{i} \\ = - t^{3} + (t^{2} - t - t^{- 1}) \frac{{(- t^{- 1})}^{n + 1} - 1}{- t^{- 1} - 1} \\ = - t^{3} + (- t^{2} + t + t^{- 1}) \frac{{(- 1)}^{n + 1} t^{- n} - t}{1 + t} \\ = \frac{- t^{4} - t^{2} - 1 + {(- 1)}^{n + 2} t^{- n + 2} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n - 1}}{1 + t} \end{matrix}$

3.2. 链环L的拧数规律

$(4, n)$ 图对应的交错链环L分为两类，当n为奇数时，L为一分支链环，即纽结；当n为偶数时，L为两分支链环。

情况1. 当n为奇数时，分析G，L， $a (L)$ ， $b (L)$ 与 $w r (L)$ ，具体如表1所示。

发现：当n为奇数时， $a (L) = 4$ ， $b (L) = n + 2$ ，L的所有交叉点处的值均为−1，总共有 $n + 4$ 个交叉点，故 $w r (L) = - n - 4$ 。

情况2. 当n为偶数时，且两分支链环同向时，分析G，L， $a (L)$ ， $b (L)$ 与 $w r (L)$ ，具体如表2所示。

发现：当n为偶数时， $a (L) = 4$ ， $b (L) = n + 2$ ，L的所有交叉点处的值均为+1，总共有 $n + 4$ 个交叉点，故 $w r (L) = n + 4$ ；

Table 1. (4, n) graph and link L (n is odd)

表1. n为奇数情况下的(4, n)图及链环L

Table 2. (4, n) graph and link L (n is even)

表2. n为偶数情况下的(4, n)图及链环L

同样地，可以得到：当n为偶数且两分支链环不同向时，与n为奇数时一样， $w r (L) = - n - 4$ 。

3.3. 链环L的Jones多项式

定理3.2. 当n为奇数时，图 $G (4, n)$ 对应的交错链环L的Jones多项式为：

$V_{L} (t) = \frac{1}{1 + t} (t^{- \frac{n}{2} + \frac{1}{2}} + t^{- \frac{n}{2} - \frac{3}{2}} + t^{- \frac{n}{2} - \frac{7}{2}} + t^{- \frac{3}{2} n - \frac{3}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{5}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{9}{2}})$

证明： $a (L) = 4$ ， $b (L) = n + 2$ ，且n为奇数时， $w r (L) = - n - 4$ ，由引理1，

$\begin{matrix} V_{L} (t) = {(- 1)}^{w r (L)} t^{\frac{b (L) - a (L) + 3 w r (L)}{4}} T_{G} (- t, - t^{- 1}) \\ = {(- 1)}^{- n - 4} t^{\frac{n + 2 - 4 + 3 (- n - 4)}{4}} \frac{- t^{4} - t^{2} - 1 + {(- 1)}^{n + 2} t^{- n + 2} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n - 1}}{1 + t} \\ = - t^{- \frac{n}{2} - \frac{7}{2}} \frac{- t^{4} - t^{2} - 1 + {(- 1)}^{n + 2} t^{- n + 2} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n - 1}}{1 + t} \\ = \frac{1}{1 + t} (t^{- \frac{n}{2} + \frac{1}{2}} + t^{- \frac{n}{2} - \frac{3}{2}} + t^{- \frac{n}{2} - \frac{7}{2}} + t^{- \frac{3}{2} n - \frac{3}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{5}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{9}{2}}) \end{matrix}$

定理3.2得证。

定理3.3当n为偶数时，图 $G (4, n)$ 对应的交错链环L的Jones多项式为：

$V_{L} (t) = {\begin{cases} \frac{1}{1 + t} (- t^{n + \frac{13}{2}} - t^{n + \frac{9}{2}} - t^{n + \frac{5}{2}} + t^{\frac{9}{2}} - t^{\frac{7}{2}} - t^{\frac{3}{2}}), L 两分支同向 \\ \frac{1}{1 + t} (t^{- \frac{3}{2} n - \frac{3}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{5}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{9}{2}} - t^{- \frac{n}{2} + \frac{1}{2}} - t^{- \frac{n}{2} - \frac{3}{2}} - t^{- \frac{n}{2} - \frac{7}{2}}), L 两分支不同向 \end{cases}$

证明：当链环的两个分支同向(同为逆时针或顺时针)时， $w r (L) = n + 4$ ， $a (L) = 4$ ， $b (L) = n + 2$ ，则 $T_{G} (- t, - t^{- 1})$ 前的系数为 $t^{n + \frac{5}{2}}$ ，故

$\begin{matrix} V_{L} (t) = t^{n + \frac{5}{2}} T_{G} (- t, - t^{- 1}) \\ = t^{n + \frac{5}{2}} \frac{- t^{4} - t^{2} - 1 + {(- 1)}^{n + 2} t^{- n + 2} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n - 1}}{1 + t} \\ = \frac{1}{1 + t} (- t^{n + \frac{13}{2}} - t^{n + \frac{9}{2}} - t^{n + \frac{5}{2}} + t^{\frac{9}{2}} - t^{\frac{7}{2}} - t^{\frac{3}{2}}) \end{matrix}$

同理，当链环的两个分支同向(一分支为逆时针另外一分支为顺时针)时， $a (L) = 4$ ， $b (L) = n + 2$ ，此时， $w r (L) = - n - 4$ ， $T_{G} (- t, - t^{- 1})$ 前的系数为 $t^{- \frac{n}{2} - \frac{7}{2}}$ ，则链环的Jones多项式为：

$\begin{matrix} V_{L} (t) = t^{- \frac{1}{2} n - \frac{7}{2}} T_{G} (- t, - t^{- 1}) \\ = t^{- \frac{1}{2} n - \frac{7}{2}} \frac{- t^{4} - t^{2} - 1 + {(- 1)}^{n + 2} t^{- n + 2} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} t^{- n - 1}}{1 + t} \\ = \frac{1}{1 + t} (t^{- \frac{3}{2} n - \frac{3}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{5}{2}} - t^{- \frac{3}{2} n - \frac{9}{2}} - t^{- \frac{n}{2} + \frac{1}{2}} - t^{- \frac{n}{2} - \frac{3}{2}} - t^{- \frac{n}{2} - \frac{7}{2}}) \end{matrix}$

定理3.3得证。

4. 推广的一类链环的Jones多项式

4.1. G(A, n)的Tutte多项式

定义4.1 $(A, n)$ 图是在循环图 $C_{A} (A \geq 3)$ 的基础上，选取任一条边后，为这条边增加n条边后得到的图(如图9)。

Figure 9. $C_{A}$ graph and $(A, n)$ graph

图9. $C_{A}$ 图与 $(A, n)$ 图

定理4.1 $(A, n)$ 图的Tutte多项式为：

$T_{(A, n)} (x, y) = x^{A - 1} + (x^{A - 2} + x^{A - 3} + \dots + x + y) \sum_{i = 0}^{n} y^{i}$

证明：当 $A = 3$ 时， $T_{(3, n)} (x, y) = x^{2} + (x + y) \sum_{i = 0}^{n} y^{i}$ [5]；

假设 $T_{(A, k)} (x, y) = x^{k - 1} + (x^{k - 2} + x^{k - 3} + \dots + x + y) \sum_{i = 0}^{n} y^{i}$ ，下证 $A = k + 1$ 时等式成立。

由Tutte多项式的缩边减边性质，

$T_{(k + 1, n)} (x, y) = T_{(k, n)} (x, y) + x^{k - 1} T$ ()

$= T_{(k, n)} (x, y) + x^{k - 1} [T$ () $+ T$ ()]

$\begin{array}{l} = T_{(k, n)} (x, y) + x^{k - 1} (x + 1 + y + y^{2} + \dots + y^{n}) \\ = T_{(k, n)} (x, y) + x^{k} + x^{k - 1} (1 + y + y^{2} + \dots + y^{n}) \\ = x^{k} + (x^{k - 1} + x^{k - 2} + \dots + x + y) \sum_{i = 0}^{n} y^{i} \end{array}$

定理4.1得证。

推论4.1 $T_{(A, n)} (- t, - t^{- 1}) = {(- t)}^{A - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} [{(- 1)}^{n + 1} t^{- n} - t] [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}]$ 。

证明： $\begin{matrix} T_{(A, n)} (- t, - t^{- 1}) = {(- t)}^{A - 1} + [{(- t)}^{A - 2} + {(- t)}^{A - 3} + \dots + (- t) + (- t^{- 1})] \sum_{i = 0}^{n} {(- t^{- 1})}^{i} \\ = {(- t)}^{A - 1} + [\frac{{(- t)}^{A - 1} - 1}{- t - 1} - 1 - t^{- 1}] \frac{{(- t^{- 1})}^{n + 1} - 1}{- t^{- 1} - 1} \\ = {(- t)}^{A - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} [{(- 1)}^{n + 1} t^{- n} - t] [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}] \end{matrix}$

4.2. 推广的链环的Jones多项式

定理4.2 $(A, n)$ 图对应的链环L的拧数为：

当A为偶数时，若n为奇数，L为一分支链环， $w r (L) = - n - A$ ；若n为偶数，L为二分支链环，且两分支同向时， $w r (L) = n + A$ ，当且两分支不同向时， $w r (L) = - n - A$ ；

当A为奇数时，L为一分支链环，若n为奇数， $w r (L) = 2 + n - A$ ；若n为偶数， $w r (L) = n + A$ 。

证明：当A为偶数，而n为奇数时，给定L定向，L的每个交叉点的值均为−1，交叉点的个数为 $n + A$ 个，故此时 $w r (L) = - n - A$ ；当A为偶数，而n为偶数时，给定L定向，若L的两分支同向，则L的每个交叉点的值均为+1，故此时 $w r (L) = n + A$ ；当A为偶数，而n为偶数时，给定L定向时，若L的两分支不同向，则L的每个交叉点的值均为−1，故此时 $w r (L) = - n - A$ 。

当A为奇数时，L为纽结，若n为奇数，图 $(A, n)$ 的非重边对应的交叉点的值为−1，其余交叉点对应的值为+1，即

$w r (L) = (- 1) (A - 1) + n + A - (A - 1) = 2 + n - A$ ；

若n为偶数，给定L定向时，L的每个交叉点的值均为+1，同样地，此时 $w r (L) = n + A$ 。

定理4.3 $(A, n)$ 图对应的链环L的Jones多项式为：

情况1. 当A为偶数时，若n为奇数时，

$V_{L} (t) = t^{- \frac{1}{2} n - \frac{1}{2}} - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} (t^{- \frac{3}{2} n - A + \frac{1}{2}} - t^{- \frac{n}{2} - A + \frac{3}{2}}) [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}]$

情况2. 当A为偶数时，若n为偶数时，L的两分支同向时，

$V_{L} (t) = - t^{n + \frac{3}{2} A - \frac{1}{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} (- t^{\frac{1}{2} A + \frac{1}{2}} - t^{n + \frac{1}{2} A + \frac{3}{2}}) [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}]$

当链环两分支不同向时，

$V_{L} (t) = - t^{- \frac{1}{2} n - \frac{1}{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} (- t^{- \frac{3}{2} n - A + \frac{1}{2}} - t^{- \frac{n}{2} - A + \frac{3}{2}}) [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}]$

情况3. 当A为奇数时，若n为奇数时，

$V_{L} (t) = t^{n + 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} (t^{2 - A} - t^{n + 3 - A}) [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}]$

情况4. 当A为奇数时，若n为奇数时，

$V_{L} (t) = - t^{n + \frac{3 A}{2} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} (t^{\frac{1}{2} A + \frac{1}{2}} + t^{n + \frac{1}{2} A + \frac{3}{2}}) [{(- t)}^{A - 1} + t + 1 + t^{- 1}]$

此定理可直接利用引理1与定理4.2得证。

5. 结语

本文主要研究了一类对应于 $(4, n)$ 图的特殊链环的Jones多项式。并且，在 $(4, n)$ 图的基础上，通过增加非重边的个数，构造了 $(A, n)$ 图，研究得到 $(A, n)$ 图的Tutte多项式后，再利用寻找 $(4, n)$ 图对应的链环的拧数的规律的方法，将A分为奇数偶数两种情况进行讨论，得到四种情形下的 $(A, n)$ 图对应的链环L的Jones多项式。

文章引用

祁禄. 一类对应特殊图的链环的Jones多项式
The Jones Polynomials of a Kind of Links Corresponding to Special Graphs[J]. 应用数学进展, 2022, 11(10): 7440-7450. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1110790

参考文献

1. Bollobás, B. (1998) Modern Graph Theory. Springer, New York.

2. Landvoy, R.A. (1998) The Jones Polynomial of Pretzel Knots and Links. Topology and Its Applications, 83, 135-147. https://doi.org/10.1016/S0166-8641(97)00100-4

3. Jin, X.A. and Zhang, F.J. (2010) Oriented State Model of the Jones Polynomial and Its Connection to the Dichromatic Polynomial. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 19, 81-92. https://doi.org/10.1142/S0218216510007759

4. 陶志雄. 环面链环的多项式[J]. 浙江科技学院学报, 2013, 25(6): 405-408.

5. Kwun, Y.C., Nizami, A.R., Nazeer, W., et al. (2019) The Jones Polynomial of Graph Links via the Tutte Polynomial. Journal of Computational Analysis and Applications, 26, 1114-1126.

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