ABSTRACT

Superabundant semigroups are generalizations of completely regular semigroups. Compared with completely regular semigroups, there are many topics on superabundant semigroups which are worth to probing. In this paper some characterizations of superabundant semigroups are obtained.

Keywords:Abundant Semigroup, Superabundant Semigroup, Completely -Simple Semigroup

超富足半群的若干特征

侯永林¹，郭文娟²，郭小江¹

¹江西师范大学，数学与信息科学学院，江西 南昌

²江西师范大学，教育学院，江西 南昌

Email: 837851973@qq.com, 584753648@qq.com, xjguo@jxnu.edu.cn

收稿日期：2015年2月28日；录用日期：2015年3月8日；发布日期：2015年3月12日

摘 要

超富足半群是完全正则半群的推广，对照完全正则半群，超富足半群有许多问题值得探索。本文给出超富足半群的若干特征。

关键词 :富足半群，超富足半群，完全-单半群

1. 引言

半群称为富足半群(abundant semigroup) [1] [2] ，如果的每一个-类和每一个-类都含有幂等元。进一步，富足半群称为超富足半群(superabundant semigroup)，如果它的每个-类都含有幂等元。正则半群是富足半群，而超富足半群是完全正则半群(completely regular semigroup)的推广。如[2] ，我们称消去幺半群(cancellative monoid)上的Rees矩阵半群的半群为完全-单半群(completely -simple semigroup) 关于这类半群，可参见[3] 。J.B. Fountain [2] 指出：富足半群为超富足半群的充分必要条件是它同构于一些完全-单半群的半格。

完全正则半群表示为一些子群的无交并。可以说，完全正则半群是一类离“群”较近的半群。又由于完全正则半群是群上Rees矩阵半群的半格，所以具有许多“矩阵”特性。这些特性足以让完全正则半群成为半群理论中的重要研究课题。事实上，许多著名半群论学者开展了完全正则半群的研究工作，也具有非常丰富的研究成果(详见[4] )。对照完全正则半群，我们对超富足半群的了解就太少了。本文希望能做一些“弥补”，将给出超富足半群的一些特征。

2. 若干准备

本文将用教科书[5] ，[6] 和文[2] 的术语和符号。首先回忆一些将不断引用的已知结论。

引理2.1 [2] ：令为半群，且，，则当且仅当对于任意的，

且.

众所周知，为右同余，而为左同余。一般的，，。但当，为正则元时，当且仅当。如[2] ，定义，。另外，当记，，之一时，我们将记为含的的-类。并且，用记的所有幂等元集。

半群的左理想称为左-理想(left -ideal)，如果。对偶的，定义右-理想(right - ideal)。半群的理想如果既是左-理想，又是右-理想，则称为-理想(-ideal)。对于，我们将用记含的最小-理想。定义

当且仅当.

我们称仅有一个-类的半群为-单半群。事实上，半群为-单的充分必要条件是它仅有一个-理想。令。易知，是的-理想。称Rees商半群为由确定的的-主因子(principal -factor)。

下面的引理可由([7] , Lemma 3.5)直接得到。

引理2.2：富足半群的所有主-因子都是富足半群。

令为非空集合，为消去幺半群，且是元为的单位(unit)的-矩阵。在集合上，定义运算：

.

关于运算，构成富足半群，称之为消去幺半群上的关于夹心矩阵的Rees矩阵半群，记为。如[2] ，我们称同构于消去幺半群上的Rees矩阵半群为完全-单半群。等价地，半群是完全-单半群当且仅当它是-单的超富足半群。

引理2.3：任一完全-单半群的所有正则元构成完全单子半群。

证明：仅需证，消去幺半群上的关于夹心矩阵的Rees矩阵半群的正则元集构成完全单子半群。令。若为正则元，则存在使得

即。比较分量，得，进而为的正则元，于是为的单位。反之，容易验证，当为单位，则为正则元。故的正则元集为。不难看出，的正则元集构成子半群，且为，其中为的所有单位组成的子群，从而的正则元集构成完全单子半群。

引理2.4 ([2] , proposition 6.9)设半群为半群的半格，则下面三款中任意两款可以推出第三款:

(1)为富足半群；

(2) 对于任意，为富足半群；

(3) 对于任一，，总有。

下面已知结论将会用到。

引理2.5：令为超富足半群，则

(1) ([2] ,Corollary 6.2, Proposition 6.5]；

(2) ([2] , Corollary 6.1 and 6.4]。

富足半群称为幂等元连接的(idempotent-connected)，如果对于任意的和任意(存在)，，存在双射使得，对所有，其中为由集合生成的的子半群。事实上，是半群同构。这一观察很重要，以后将会多次用到。以下总成为关于的连接同构。若需要强调时，则记此连接同构为。文献[8] 给出了这类半群的许多特征。

3. 主要结果

本文将给出超富足半群的一些特征。

命题3.1：超富足半群所有正则元构成完全正则子半群。

证明：设为超富足半群，且为分为完全-单半群的半格分解。若为命题3.1，据引理2.3，仅需证：的幂等元乘积为正则元。为此，令为幂等元，则存在使得分别为的幂等元。但为富足半群，于是有幂等元使得，结合，我们有，进而，再据引理2.3，为的正则元，从而为的正则元。

令为所有非负整数组成的集合。记

.

在集合上，定义运算

.

通常验证，都是半群。事实上，它们都是双循环半群(bicyclic semigroup)的全子半群，于是均为富足半群。由([9] , Example 2.6)，知都不是超富足半群。这说明，命题3.1的逆不成立。

定理3.2：令为富足半群，则为超富足半群当且仅当关于的乘法，的每一个-类都构成完全-单半群。

证明：据([2] , Theorem 6.8]，仅需证充分性。为此，设为半群关于的分类，则每一均为完全-单半群。类似于命题3.1的证明，的所有正则元构成的子半群。

首先。证明：对于任意，是的-理想。

令且，据是左同余，则有。而为右同余，于是。若，则，显然，存在使得。前面已经证明：的所有正则元构成子半群，于是均为的正则元。注意到，为完全-单半群，再由引理3.1，知在中，，于是存在使得，但为理想，从而为的右-理想。类似的，为的左-理想。因此为的-理想。

其次，证明：是的半格同余。

事实上，当且仅当存在使得。据此，不难知道：，，即，。下面证明，。由为富足半群，知有使得，显然，。据上面的证明，知，进而。另一方面， -理想的交还是-理想，以及，有。反之，若，则存在使得，于是

进而，于是。考虑到，分别为右同余和左同余，我们有，进而。因此，以致于。从而。现在对于，若，总有

于是，从而是右同余。类似地，是左同余。故为上的半格同余。

至此，我们证明了：是半群的半格。因为和所有的都是富足半群，再根据引理2.4，。但为完全-单半群，从而为超富足半群。

对于半群，，由于，易知。不难知道，为完全-单半群附加零元当且仅当为完全-单子半群。基于定理3.2，下面的定理是显然的。

定理3.3：令为富足半群，则为超富足半群当且仅当的每个主-因子都是完全-单子半群附加零元。

设为半群的幂等元。定义

当且仅当.

众所周知，是集合上的偏序。非零幂等元称为本原的(primitive)，如果对于任意幂等元，若，则或(当有零元0)。半群称为本原的 [6] ，如果它的所有非零幂等元都是本原的。

富足半群的子半群称为-子半群(-subsemigroup)，如果对于任意，存在使得。显然，任意-子半群都是富足半群。

引理3.4：令为幂等元连接富足半群，且。若且为的关于的连接同构，则集合构成的-子半群，且同构于。

证明：注意到，和分别为子半群和的恒等元。但为到上的同构，于是。显然，，这样。继续这一过程，我们有：对于任意正整数，且。因为，所以，换言之，。另外，可归纳地证明：

对于正整数，若，则。

令，且。若，则

即。因为为的关于的连接同构，所以，进而，故，再据，从而。重复这一过程，。另一方面，.故。

若有，则，进而

即。重复这一过程，，这样，即。而

从而。

考虑到，为连接同构。对于，

后面两个等式都是由事实得到。这意味着，为的子半群。而我们已证：

故为-子半群。

定义

显然，有定义。对于任意，进而为满射。

令，若，即，则

进而，从而为单射。

据前面的证明，当，即，则由

可得

同理，当，即，则

因此为半群同态。故为半群同构。

对偶的，我们有

引理3.5：令为幂等元连接富足半群，且。若且为的关于的连接同构，则集合构成的-子半群，且同构于。

定理3.6：令为幂等元连接富足半群。若的所有正则元构成子半群，则为超富足半群当且仅当

(1)的每个-类构成子半群；

(2)；

(3)不含同构于或的-子半群。

证明：为证必要性，仅需证：当为超富足半群时，条件(3)满足。现设为半群分解成完全-单半群的半格分解。反设，含有同构于的子半群。令，则可以比较，但每个都是完全-单半群，于是属于不同的。无妨设且，那么。由于，必有使得，从而应该属于同一个-类。但每一个事实上为一个-类，所以，矛盾。故条件(3)成立。

反过来，设条件(1)，(2)，(3)成立，那么的每一个-类构成的-子半群，且满足

· -单的；

· 所有正则元构成子半群；

· 为幂等元连接的。

据引理3.4，3.5和条件(3)，知的每个-类中的幂等元不可比较，从而的每个-类中的幂等元都是本原的，再据([2] , Corollary 5.2)，的每个-类是完全-单半群。利用定理2.3，可得为超富足半群。

对偶地，可得

定理3.7：令为幂等元连接富足半群。若的所有正则元构成子半群，则为超富足半群当且仅当

(1)的每个-类构成子半群；

(2)；

(3)不含同构于或的-子半群。

基金项目

国家自然科学基金(11361027)，江西省自然科学基金和江西省教育厅科研基金资助项目。

文章引用

侯永林,郭文娟,郭小江, (2015) 超富足半群的若干特征
Characterizations of Superabundant Semigroups. 理论数学,02,66-72. doi: 10.12677/PM.2015.52010

参考文献 (References)