Pure Mathematics
Vol.06 No.04(2016), Article ID:18152,19 pages
10.12677/PM.2016.64050

The Compatibility of Two Free Boundary Problem of Euler Equation

Xiaoqing Wu

College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu Sichuan

Received: Jul. 9th, 2016; accepted: Jul. 26th, 2016; published: Jul. 29th, 2016

Copyright © 2016 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

ABSTRACT

In this paper, we model the free boundary problem of the Perpetual American Option as boundary value problem with multiple (or single) singular points in the semi infinite domain, and introduce the generalized characteristic function method to be able to obtain the exact solution of the mathematical model of multiple singular point. In the single singular point case, our solution function takes the maximum value at the singular point. We deduce the consistency condition of the left and right free boundary problem. Under the compatibility condition, the three points, the left and right free boundary points and singular point are the same, so that they all are the optimal implementation point of the Perpetual American Option. In the case of multiple singular points, the conditional judgment of the left and right free boundary points to be the optimal or nearly optimal implementation point is obtained.

Keywords:Permanent American Option, Optimal Exercise Boundary, Free Boundary Problem, Singular Point, Generalized Characteristic Function Method

尤拉方程的两个自由边界问题的相容性

吴小庆

西南石油大学理学院,四川 成都

收稿日期:2016年7月9日;录用日期:2016年7月26日;发布日期:2016年7月29日

摘 要

本文将永久美式期权的自由边界问题归结为在半无界区域具有多个(或单个)奇异点的边值问题来研究,引入广义特征函数法获得了多个奇异点的数学模型的精确解。只有一个奇异点的情形,所得到的解函数在奇异点处取最大值;并得到了左、右自由边界问题同时有一致解的相容性条件。证明了在相容性条件下,左、右自由边界点与奇异点三点合一,从而左、右自由边界点与奇异点都是永久美式期权最佳实施边界点。具有多个奇异点的情形,获得了判断左、右自由边界点成为最佳或较佳实施边界点的条件。

关键词 :永久美式期权,最佳实施边界,自由边界问题,奇异点,广义特征函数法

1. 引言

美式期权是一张具有提前实施条款的合约,由于可以提前实施,持有者能否抓住有利时机,适时地实施这张合约,以获取最大或较大利益,这是一个对持有者必须考虑的问题。在研究永久美式期权 [1] - [3] 确定最佳实施边界的问题是齐次尤拉方程的自由边界问题 [1] 。永久美式期权的期权价格函数与时间无关,它是原生资产价格的函数,记为。期权价格函数在半无界区域满足齐次尤拉方程,寻求最佳实施边界的问题是把半无界区域分成两部分,持有者在实施这张合约,其目的是获取最大的收益,使得期权价格函数达到最大值。寻求最佳实施边界会产生两个自由边界问题 [1] :

自由边界问题A:求使得

且满足

自由边界问题B:求使得

且满足

我们把自由边界问题A与自由边界问题B分别称为左、右自由边界问题。由左自由边界问题或右自由边界问题去确定最佳实施边界点。如果同时考虑左、右两个自由边界问题,所得到的自由边界点是否一致?两个自由边界问题的自由边界点相同的条件是什么?左自由边界点与右自由边界点如果不相同,这两个自由边界点中哪个是最佳实施边界点?本文将上述问题归结为在半无界区域具有多个(或单个)奇异点的边值问题来研究。该边值问题的解称为弱解,它在半无界区域连续,但解的导数在奇异点处发生间断。该边值问题需同时求满足问题的解和它的奇异点。本文引入广义特征函数法获得了多个奇异点的数学模型的精确解,应用该结果对左、右自由边界问题进行了深入的研究。在只有一个奇异点的情形,所得到的解在奇异点处取最大值;得到了左、右自由边界问题同时有一致解的相容条件;证明了在相容条件下,左、右自由边界点与奇异点三点合一,从而左、右自由边界点与奇异点都是永久美式期权最佳实施边界点。具有多个奇异点的情形,左自由边界问题的自由边界是最小的奇异点,右自由边界问题的自由边界是最大的奇异点,获得了判断左、右自由边界点成为最佳或较佳实施边界点的条件。

2. 主要结果

2.1. 两个奇异点的数学模型

记号

问题1 (两个奇异点的数学模型)求使其满足

(1)

其中:是区域内的非负连续函数。

定义1若函数在区域内连续有界,但内的某点一阶左、右导数,则称为函数的奇异点。

定义2在区域内具有多个(或单个)奇异点的数学模型的解称为弱解;弱解是区域内的连续有界正解。

问题1的求解需同时求解(弱解)和其奇异点

问题1的求解:

齐次尤拉方程有形如的特解,将其代入尤拉方程,得到特征方程

(2)

它有两个根,记为

(3)

其中

易知

(4)

故方程的通解为

(5)

其中为任意常数。由边界条件推岀,由边界条件得到,从而

(6)

由(6)和边界条件,得到

(7)

完全类似的,得到

(8)

(9)

再求

由边界条件

这是关于的非齐次线性方程组,由克莱姆法则即得

于是有

(10)

由条件和正解条件,必须要求

(11)

定理1 (问题1连续有界正解的存在定理)当时,问题1的解存在唯一,且可表出

(12)

(13)

(14)

定理2 (问题1连续有界正解性质定理)问题1连续有界正解;有

证明:由问题1的解在区间中的表达式:,有,又在区间单调增加,故

由问题1的解在区间的表达式:,有,又在区间单调减少,故

定义3若函数;在区域内点处取最大值,则称点为函数的最佳实施边界,简称最佳实施点。

定理3 (问题1连续有界正解最佳实施点排除定理)若,问题1连续有界正解,则

1) 当时,奇异点不是最佳实施点;

2) 当时,奇异点不是最佳实施点;

3) 当时,奇异点不是最佳实施点;当,奇异点不是最佳实施点。

证明:由易知,当时,不是在区域的最大值,从而点不是最佳实施点。

时,不是在区域的最大值,点不是最佳实施点。当,时,,有点不是最佳实施点;当时,点不是最佳实施点。

即一般情况下两个奇异点不一定是最佳实施点。

推论1若,则问题1的连续有界正解

(15)

1) 当且仅当,有

(16)

2) 当且仅当,有

(17)

3) 当且仅当,有

(18)

证明由(12),(13)易得。

问题2.1求使得

(19)

问题2.2求使得

(20)

问题2.3求使得

(21)

推论2当时,问题2.1,问题2.2与问题2.3三个自由边界问题都有解,问题2.1的解

(22)

问题2.2的解

(23)

问题2.3的解

(24)

且有

定义4称问题2.1为左自由边界问题,它的自由边界称为左自由边界点;称问题2.2为右自由边界问题,其自由边界称为右自由边界点。

推论3若,左、右自由边界问题都有解。左自由边界问题的解

且满足

(25)

1) 当

(26)

2) 当

(27)

右自由边界问题的解,且满足

(28)

1) 当

(29)

2) 当

(30)

定义5 左自由边界点,右自由边界点,若有,则称右自由边界点比左自由边界点优,称右自由边界点为较佳实施边界点:若有,则称左自由边界点比右自由边界点优,称左自由边界点为较佳实施边界点。

推论4若,则左、右自由边界问题都有解,

1) 当且仅当,有

(31)

2) 当且仅当,有

(32)

3) 当且仅当,有

(33)

推论5若,则左、右自由边界问题都有解。此时

,且

1) 当且仅当,有

2) 当且仅当,有;若,则,有;若,则,有

3)当且仅当,有

证明:由推论4,即有1),3)成立。由推论4有当且仅当,有

易证,让,则有,从而。易证当,则有,从而

故2)成立。

推论6设左、右自由边界问题都有解,且左、右自由边界点,若左、右自由边界问题的两个解可以连续开拓到的同一个连续有界函数 (即存在连续有界函数,满足),则必有。反之,若左、右自由边界问题都有解,且,则必存在连续有界函数是左、右自由边界问题的解的连续开拓。

证明:若存在连续有界函数,满足;则在区间单调增加,故在区间单调减少,故。若,则,推出;同时,又推出。于是应有两式同时成立,矛盾。从而必有。反之,若左、右自由边界问题都有解,且,显然存在连续有界函数是这两个解的连续开拓。

推论7若左、右自由边界问题都有解,且左、右自由边界点,连续有界函数是它们的一个连续开拓,则

1) 当时,左自由边界点比右自由边界点优。

2) 当时,右自由边界点比左自由边界点优。

证明:由定理3即得。

即分别考虑左、右自由边界问题,若左、右两个自由边界点,自由边界不一定是最佳实施点。

定理4 (自由边界点与最佳实施点关系定理)设左、右自由边界问题都有解,且左、右自由边界点,左、右自由边界问题解的连续开拓为,则

1) 若,左自由边界点和右自由边界点皆不是该连续开拓的最佳实施点;当,或时,左自由边界点是该连续开拓的较佳实施点;当,或时,右自由边界点是该连续开拓的较佳实施点。

2) 若,当,或时,左自由边界点是该连续开拓的最佳实施点;当,或时,右自由边界点是该连续开拓的最佳实施点。

下面我们考虑左、右两个自由边界点的条件。当,问题1即演变成单个奇异点的数学模型。

2.2. 单个奇异点的数学模型

问题3 (单个奇异点的数学模型)求使其满足

(34)

定理5 (问题3连续有界正解的存在定理)当时,问题3的解存在唯一,且可表出

, (35)

定义6函数点一阶左,右导数之差,称点的跳跃度。

我们已在 [4] 中得到三者中任一个确定其它两个;问题3连续有界正解也可由表示,即有

定理6 (问题3连续有界正解的不同表示定理)当,问题3连续有界正解存在,且有精确解的表达式

(36)

(37)

定理7 (问题3连续有界正解性质定理)问题3连续有界正解

且解在奇异点处取正的最大值;奇异点就是永久美式期权最佳实施边界点。

证明:由(37)式解在区间中的表达式:,有在区间单调增加,故

由(37)式解在区间的表达式:,有在区间单调减少,故

推论8当时,左、右两自由边界问题都有解,且,左自由边界问题的解

(38)

右自由边界问题的解

(39)

定理8 (三点合一定理)当时,左、右两自由边界点都等于奇异点,此时左、右自由边界点都是永久美式期权最佳实施边界点。

推论9若,则

1) 当时,有

(40)

2) 当时,有

(41)

证明:参见 [4] 。

奇异点和弱解的最大值构成二维点,由的取值唯一确定。由推论9即知二维点所属集合

1) 当时,

2) 当时,

推论10问题3 (单个奇异点的数学模型)与 [4] 中问题2 (单个奇异点的基本解数学模型)是等价的。

证明:参见 [4] 中在广义函数空间关于基本解的推导即得。

从而研究问题3 (单个奇异点的数学模型)与 [4] 中问题2所得结果完全一致。

2.3. 求解多个奇异点的数学模型的特征函数法

问题4 (多个奇异点的数学模型)

(42)

其中:为狄拉克d-函数,为奇异点,

等价于标准形式

(43)

其中:为狄拉克d-函数,为奇异点,

微分算子

问题4的求解:

先考虑特征值问题

(44)

这是关于尤拉方程在半无界区间的奇异施图姆-刘维尔问题。

尤拉方程的特解形式为,代入方程即有

特征根

即有

于是得到特征值

(45)

特征函数

(46)

特征函数系是半无界区域上带权函数的完备正交系。由于

即知特征函数系是半无界区域上带权函数的正交系。正交关系

(47)

定义在的连续函数可以展为特征函数的积分形式

(48)

由正交关系

(49)

由(48),(49)这一对关系可以引入广义特征函数法 [5] 求解问题4。由(48)将问题4的解表为

(50)

由(49)则有

(51)

(52)

(53)

(54)

将(53),(54)两式代入(43)中方程则有

于是

(55)

(56)

将上式代入(50)式即有

(57)

再将(45),(46),(53)式代入(57)式

由傅立叶积分变换公式

即知 (59)

定理9若,则问题4的精确解为

(60)

若该解还满足内边界条件

(61)

则应有相容条件

(62)

(63)

则有

(64)

(65)

附注1定理9中条件即知,(60)式表示的不一定是正解,若在条件下,则一定是正解。

问题5 (多个奇异点的数学模型)求使得

记号

定理10当,且,满足条件

则问题5存在连续有界正解,且可表为

(73)

证明由问题4的解,记为

(74)

满足问题5中(66),(69)两式,由(71),(72),(73)三式即有,且

(75)

1)

,有

(76)

(77)

(78)

(79)

由(71),(72),(73)三式即有

(80)

从而 (81)

2)

(82)

(83)

(84)

由(82)有

(85)

由(71),(72),(73)三式即有

(86)

即有

(87)

由(81),(87)两式即满足条件(67)和(68),为问题5的解。

左自由边界问题5.1求使得

(88)

定理11当,且,满足条件

(89)

则左自由边界问题5.1存在连续有界正解,且可表为

(90)

且满足

(91)

推论11当自由边界问题2.1中,则存在连续有界正解,且可表为

(92)

右自由边界问题5.2求使得

(93)

定理12当,且,满足条件

(94)

则右自由边界问题5.2存在连续有界正解,且可表为

(95)

且满足

(96)

推论12当自由边界问题2.2中,则存在连续有界正解,且可表为

(97)

附注2问题5连续有界正解。问题5连续有界正解是左自由边界问题题5.1与右自由边界问题5.2的解的连续开拓,若,则有左、右两个自由边界点,自由边界不一定是最佳实施点。

附注3由定理11与推论11的结论可知,左自由边界问题5.1与左自由边界问题2.1有差异很大的解。由定理12与推论12的结论可知,右自由边界问题5.2与右自由边界问题2.2也有差异很大的解。

3. 结论

I简单期权价格曲线的情形,即期权价格曲线在区域内有且仅有一个奇异点的情形。问题3的研究得到期权价格函数依赖于的取值,不同的的取值得到不同的期权价格曲线,实际上我们得了简单期权价格曲线族。简单期权价格曲线的情形,由定理8 (三点合一定理),左、右自由边界点与奇异点三点合一,左、右自由边界点与弱间断点都是永久美式期权最佳实施边界点。奇异点的判定:期权价格函数在该点左、右导数由正变负,即。对期权价格曲线族而言,奇异点的取值可以很小,也可以很大,它分布在半无穷区间上。具体的期权价格曲线奇异点的确定依赖于该期权价格曲线的运行趋势,依赖于期权价格曲线在点的跳跃度。对于简单期权价格曲线而言,确定跳跃度的取值是计祘永久美式期权最佳实施边界点的一条途径。

II复杂期权价格曲线的情形,即期权价格函数曲线在区域内具有多个奇异点的情形,左自由边界问题的自由边界为最小的奇异点,右自由边界问题的自由边界为最大的奇异点。当时,左自由边界点比右自由边界点优,较佳实施边界点为;当时,右自由边界点比左自由边界点优,较佳实施边界点为。即在不同情况下,由定理4 (自由边界点与最佳实施点关系定理)即知,考虑左、右两自由边界问题,一般不能断定自由边界是否是永久美式期权最佳实施边界点。在复杂多变的情况下,一般不能用左、右两自由边界问题所得到的自由边界点的计祘结果去断定其为永久美式期权最佳实施边界点。单独考虑左或右自由边界问题所得到的自由边界点的计祘结果皆有可能与真实情况的最佳实施边界点相差很远。

文章引用

吴小庆. 尤拉方程的两个自由边界问题的相容性
The Compatibility of Two Free Boundary Problem of Euler Equation[J]. 理论数学, 2016, 06(04): 342-360. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.64050

参考文献 (References)

  1. 1. 姜礼尚, 著 期权定价的数学模型和方法[M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2008.

  2. 2. 姜礼尚, 徐承龙, 任学敏, 李少华, 著. 金融数学丛书: 金融衍生产品定价的数学模型与案例分析[M]. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2013.

  3. 3. 姜礼尚. 金融衍生产品定价的数学模型与案例分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.

  4. 4. 吴小庆. 尤拉方程在半无界区域的边值问题的基本解[J]. 理论数学, 2016, 6(3): 243-254.

  5. 5. 吴小庆, 编著. 数学物理方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2008.

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