ABSTRACT

Through the Nevanlinna theory of meromorphic function, this paper studied the growth of infinite order of higher order differential equations, and estimated upper bound and lower bound of higher order, higher lower order for the equation solution.

Keywords:High Order Differential Equations, Meromorphic Function, Higher Order, Higher Lower Order

一类高阶复微分方程解的增长性

张杰

铜仁学院，贵州 铜仁

收稿日期：2018年6月20日；录用日期：2018年7月5日；发布日期：2018年7月12日

摘 要

本文利用亚纯函数的Nevanlinna理论研究了高阶复微分齐次方程的无穷级整函数解的增长性，估计了方程解的超级、超下级的上界和下界。

关键词 :高阶复微分方程，亚纯函数，超级，超下级

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1. 引言和主要结果

本文使用值分布理论的标准记号，对于亚纯函数 $f\left(z\right)$ ，用 $\rho \left(f\right),\mu \left(f\right)$ 分别表示亚纯函数 $f\left(z\right)$ 的级、下级。

定义1：亚纯函数 $f\left(z\right)$ 的级、下级、零点收敛指数和极点收敛指数定义如下：

$\rho \left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}T\left(r,f\right)}{\log r};\mu \left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \inf }\frac{{\log }^{+}T\left(r,f\right)}{\log r}.$

定义2：亚纯函数 $f\left(z\right)$ 的超级、超下级分别定义为：

${\rho }_2\left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log {\log }^{+}T\left(r,f\right)}{\log r};{\mu }_2\left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log {\log }^{+}T\left(r,f\right)}{\log r}.$

定义3：集合 $E\subset \left[0,+\infty \right)$ ，则E的Lebesgue线性测度为 $m\left(E\right)={\displaystyle \underset{E}{\int }\text{d}t}$ 。

集合 $F\subset \left[1,+\infty \right)$ ，则F的对数测度为 $m_l\left(F\right)={\displaystyle \underset{F}{\int }\frac{\text{d}t}{t}}$ 。

集合 $E\subset \left[0,+\infty \right)$ 的上密度和下密度定义如下：

$\overline{dens}E=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{m\left(E\cap \left[0,r\right]\right)}{r};\underset{\_}{dens}E=\underset{r\to \infty }{\lim \inf }\frac{m\left(E\cap \left[0,r\right]\right)}{r}.$

集合 $F\subset \left[1,+\infty \right)$ 的上对数密度和下对数密度定义如下：

$\overline{logdens}F=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{m_l\left(F\cap \left[1,r\right]\right)}{\log r};\underset{\_}{logdens}F=\underset{r\to \infty }{\lim \inf }\frac{m_l\left(F\cap \left[1,r\right]\right)}{\log r}.$

关于线性微分方程

$f^{\left(k\right)}+A_{k-1}\left(z\right)f^{\left(k-1\right)}+\cdots +A_s\left(z\right)f^{\left(s\right)}+\cdots +A_0\left(z\right)f=0$ (1.1)

解的增长性问题，主要有以下几个重要的结果，其中 $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数。

定理A [1] ：设 $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数，满足 $\max \left\{\rho \left(A_j\right),j=1,2,\cdots ,k-1\right\}<\rho \left(A_0\right)$ ，则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。

定理B [1] ：设 $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数，满足 $\rho \left(A_0\right)<\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne s\right\}<\rho \left(A_s\right)\le \frac{1}{2}$ ，则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。

现在的主要问题是：若主导系数为中间的系数 $A_s\left(z\right)$ 且 $\rho \left(A_S\right)>\frac{1}{2}$ ，方程(1.1)的非平凡解是否是无穷级？

在定理A，定理B之后也出现了很多结果，文献 [2] 中证明了如下结果：

定理C [2] ：设 $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数，满足 $\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\rho \left(A_0\right)<+\infty$ ，则微分方程(1.1)的每个非平凡解 $f\left(z\right)$ 满足 ${\rho }_2\left(f\right)=\rho \left(A_0\right)$ 。

定理D [2] ：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\ne 0$ 是整函数，若存在 $A_s\left(z\right)\left(0\le s\le k-1\right)$ 满足

$b=\max \left\{\rho \left(A_j\right),\rho \left(F\right),j\ne s\right\}<\rho \left(A_s\right)<\frac{1}{2},$

则微分方程

$f^{\left(k\right)}+A_{k-1}\left(z\right)f^{\left(k-1\right)}+\cdots +A_s\left(z\right)f^{\left(s\right)}+\cdots +A_0\left(z\right)f=F$ (1.2)

的每个超越解 $f\left(z\right)$ 满足 ${\rho }_2\left(f\right)=\rho \left(A_s\right)$ 。

在文献 [3] 中已证明了下列结论：

定理E [3] ：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数，满足

$\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\mu \left(A_0\right)<\rho \left(A_0\right)<+\infty$

则方程(1.1)的每个非平凡解满足 $\mu \left(A_0\right)={\mu }_2\left(f\right)\le {\rho }_2\left(f\right)\le \rho \left(A_0\right)$ 。

定理F [3] ：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数，若存在 $s\in \left\{1,2,\cdots ,k-1\right\}$ 使得 $\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0,s\right\}<\mu \left(A_0\right)<\frac{1}{2}$ ， $A_S\left(z\right)$ 的亏值有限，则方程(1.1)的每个非平凡解满足：

$\mu \left(A_0\right)\le {\rho }_2\left(f\right)\le \max \left\{\rho \left(A_0\right),\rho \left(A_s\right)\right\}.$

在文献 [4] 已证。

定理G [4] ：设 $A\left(z\right),B\left(z\right)$ 是两个整函数， $0<\mu \left(B\right)<\frac{1}{2}$ ，若存在实常数 $\mu <\mu \left(B\right)$ 和下对数密度为1

的集合 $E_{\mu }\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使得对任意的 $r\in E_{\mu }$ ，有

$\underset{\left|z\right|=r}{\min }\left|A\left(z\right)\right|\le \exp \left(r^{\mu }\right),$

则方程

$f^{″}+A\left(z\right)f^{\prime }+B\left(z\right)f=0$ (1.3)

的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ 满足 ${\rho }_2\left(f\right)\ge \mu \left(B\right)$ 。

文献 [5] 已证下列结论：

定理H [5] ：设 $A\left(z\right),B\left(z\right)$ 是级有限的整函数，满足 $\mu \left(A\right)<\mu \left(B\right)<\rho \left(B\right)<\rho \left(A\right)<\frac{1}{2}$ ，则方程(1.3)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ ，满足 ${\mu }_2\left(f\right)\le \rho \left(B\right)\le {\rho }_2\left(f\right)=\rho \left(A\right)$ 。

定理I [5] ：设 $A\left(z\right),B\left(z\right)$ 是级有限的整函数，满足 $\rho \left(B\right)<\mu \left(A\right)<\frac{1}{2}<\rho \left(A\right)$ ，则方程(1.3)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ ，满足 ${\mu }_2\left(f\right)\le \mu \left(A\right)<\frac{1}{2}\le {\rho }_2\left(f\right)\le \rho \left(A\right)$ 。

本文是将定理G, H, I的结论推广到方程(1.1)中去，得到以下几个结果：

定理1：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数， $0<\mu \left(A_0\right)<\frac{1}{2}$ ，若存在实常数 $\mu <\mu \left(A_0\right)$ 和下对数密度

为1的集合 $E_{\mu }\subset \left[1,+\infty \right)$ ，即 $\underset{\_}{logdens}{E}_{\mu }=1$ 使得对任意的 $r\in E_{\mu }$ ，有

$\underset{\left|z\right|=r}{\min }\left|A_j\left(z\right)\right|\le \exp \left(r^{\mu }\right),\left(j=1,2,\cdots ,k-1\right)$

则方程(1.1)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ ，满足 ${\rho }_2\left(f\right)\ge \mu \left(A_0\right)$ 。

定理2：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数，满足

$\max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\mu \left(A_0\right)\le \rho \left(A_0\right)<\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\frac{1}{2},$

则方程(1.1)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ ，满足

${\mu }_2\left(f\right)<\rho \left(A_0\right)\le {\rho }_2\left(f\right)=\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}.$

定理3：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是级有限的整函数，满足

$\rho \left(A_0\right)<\max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\frac{1}{2}\le \max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\},$

则方程(1.1)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ ，满足

${\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\frac{1}{2}\le {\rho }_2\left(f\right)\le \max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}.$

2. 相关引理

引理1 [1] ：设 $f\left(z\right)$ 是超越亚纯函数， $\alpha >1$ 是常数，对任意给定的 $\epsilon >0$ ，存在对数测度有限的集合 $E_1\subset \left[1,+\infty \right)$ 和常数 $B>0$ ，B依赖于 $\alpha$ 和 $\left(m,n\right)\left(m,n\in N且m<n\right)$ ，使得对任意的z，满足 $\left|z\right|=r\notin \left[0,1\right]\cup E_1$ ，有

$\left|\frac{f^{\left(n\right)}\left(z\right)}{f^{\left(m\right)}\left(z\right)}\right|\le B{\left(\frac{T\left(\alpha r,f\right)}{r}\left({\log }^{\alpha }r\right)\log T\left(\alpha r,f\right)\right)}^{n-m}$

引理2 [1] ：f是级为有穷的超越亚纯函数，对给定的实常数 $\epsilon >0$ 及两个整数 $k,j$ ，且 $k>j\ge 0$ ，则下列结论成立：

1) 存在对数测度有穷的集合 $E\subset \left(1,+\infty \right)$ ，使得对所有的z满足 $\left|z\right|\notin E\cup \left[0,1\right]$ ，有：

$\left|\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}\right|\le {\left|z\right|}^{\left(k-j\right)\left(\rho \left(f\right)-1+\epsilon \right)}$

2) 存在线性测度有限的集合 $F\subset \left[0,+\infty \right)$ ，使得对所有的z满足 $\left|z\right|\notin F$ ，有：

$\left|\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}\right|\le {\left|z\right|}^{\left(k-j\right)\left(\rho \left(f\right)+\epsilon \right)}.$

引理3 [6] ：设 $f\left(z\right)$ 是整函数， $\mu \left(f\right)<\infty$ 是常数，对任意给定的 $\epsilon >0$ ，存在对数测度无穷的集合 $E\subset \left(0,+\infty \right)$ ，使得对任意的 $r\in E$ ，有

$M\left(r,f\right)<\exp \left\{r^{\mu +\epsilon }\right\},m\left(r,f\right)<r^{\mu +\epsilon }.$

引理4 [7] ：设 $f\left(z\right)$ 是超越整函数， $0<{\eta }_1<\frac{1}{4}$ 和点列 $\left\{z_r\right\}$ ，使得 $\left|z_r\right|=r$ 和 $\left|f\left(z_r\right)\right|>M\left(r,f\right){\upsilon }_f{\left(r\right)}^{-\frac{1}{4}+{\eta }_1}$ ，则存在对数测度有限的集合 $E_0\subset \left(0,+\infty \right)$ ，使得对任意的 $r\notin E_0$ ，有

$\frac{f^{\left(j\right)}\left(z_r\right)}{f\left(z_r\right)}={\left(\frac{{\upsilon }_f\left(f\right)}{z_r}\right)}^j\left(1+o\left(1\right)\right),j\in N$

其中 ${\upsilon }_f\left(r\right)$ 是 $f\left(z\right)$ 的中心指标。

引理5 [2] ：设 $f\left(z\right)$ 是级为无穷的整函数，满足 ${\rho }_2\left(f\right)=\rho ,{\mu }_2\left(f\right)=\mu$ ，则

${\rho }_2\left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \sup }\frac{\log \log {\upsilon }_f\left(r\right)}{\log r}=\rho 和{\mu }_2\left(f\right)=\underset{r\to \infty }{\lim \inf }\frac{\log \log {\upsilon }_f\left(r\right)}{\log r}=\mu$

引理6：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是级有限的整函数，则方程(1.1)的解 $f\left(z\right)$ 满足：

${\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\mu \left(A_j\right),\rho \left(A_0\right),j\ne 0\right\}和{\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\rho \left(A_j\right),\mu \left(A_0\right),j\ne 0\right\}$

证明：由方程(1.1)得

$\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}=-A_{K-1}\left(z\right)\frac{f^{\left(k-1\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}-A_{K-2}\left(z\right)\frac{f^{\left(k-2\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}-\cdots -A_1\left(z\right)\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}-A_0\left(z\right)$ 于是，有

$\left|\frac{f^{\left(k\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|\le \left|A_{K-1}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(k-1\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|+\cdots +\left|A_1\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|+\left|A_0\left(z\right)\right|$ (2.1)

由引理3，存在对数测度有限的集合 $E_0\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使得对任意的z满足 $\left|z\right|=r\notin E_0$ 和 $\left|f\left(z\right)\right|=M\left(r,f\right)$ ，有

$\left|\frac{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|={\left(\frac{{\upsilon }_f\left(f\right)}{r}\right)}^j\left(1+o\left(1\right)\right),j=1,2,\cdots ,k$ (2.2)

令 $\max \left\{\mu \left(A_j\right),\rho \left(A_0\right),j\ne 0\right\}=a$ ，应用引理2，对任意给定的 $\epsilon >0$ ，存在对数测度无穷的集合 $E_1\subset \left(0,+\infty \right)$ ，使得对任意的z满足 $\left|z\right|=r\in E_1$ 时，有

$\left|A_j\left(z\right)\right|<\exp \left\{r^{a+\epsilon }\right\},\left(j=0,1,2,\cdots ,k-1\right)$ (2.3)

将(2.2) (2.3)代入(2.1)，则对任意的z满足 $\left|z\right|=r\in E_1\backslash E_0$ 和 $\left|f\left(z\right)\right|=M\left(r,f\right)$ ，有

${\left(\frac{{\upsilon }_f\left(f\right)}{r}\right)}^k\left(1+o\left(1\right)\right)\le k\cdot \exp \left\{r^{a+\epsilon }\right\}{\left(\frac{{\upsilon }_f\left(f\right)}{r}\right)}^{k-1}\left(1+o\left(1\right)\right)$ (2.4)

由(2.4)式及引理4，有

${\mu }_2\left(f\right)\le a=\max \left\{\mu \left(A_j\right),\rho \left(A_0\right),j\ne 0\right\}$

类似地可证明

${\mu }_2\left(f\right)\le a=\max \left\{\rho \left(A_j\right),\mu \left(A_0\right),j\ne 0\right\}$

引理7 [5] ：设 $f\left(z\right)$ 是整函数且 $\rho \left(f\right)=\rho <\frac{1}{2}$ ，记

$A\left(r\right)=\underset{\left|z\right|=r}{\min }\log \left|f\left(z\right)\right|,B\left(r\right)=\underset{\left|z\right|=r}{\max }\log \left|f\left(z\right)\right|$

若 $\rho <\alpha <1$ ，则

$\underset{\_}{logdens}\left(\left\{r:A\left(r\right)>\cos \left(\text{π}\alpha \right)B\left(r\right)\right\}\right)>1-\frac{\rho }{\alpha }$

引理8 [4] ：设 $f\left(z\right)$ 是整函数且 $0<\mu \left(f\right)<\frac{1}{2}$ ，记

$m\left(r\right)=\underset{\left|z\right|=r}{\inf }\log \left|f\left(z\right)\right|,M\left(r\right)=\underset{\left|z\right|=r}{\sup }\log \left|f\left(z\right)\right|$

则对任意 $\alpha \in \left(\mu \left(f\right),1\right)$ ，有

$\overline{logdens}\left(\left\{r\in \left[1,+\infty \right):n\left(r\right)>cos\left(\text{π}\alpha \right)M\left(r\right)\right\}\right)>1-\frac{\mu \left(f\right)}{\alpha }$

引理9 [5] ：设 $f\left(z\right)$ 是整函数且 $\mu \left(f\right)=\mu <\frac{1}{2},\mu <\rho =\rho \left(f\right)$ ，若 $\mu \le \rho <\min \left(\rho ,\frac{1}{2}\right),\delta <\alpha <\frac{1}{2}$ ，则 $\overline{logdens}\left(\left\{r:A\left(r\right)>\cos \left(\text{π}\alpha \right)B\left(r\right)>r^{\delta }\right\}\right)>C\left(\rho ,\delta ,\alpha \right)$ ， $C\left(\rho ,\delta ,\alpha \right)$ 是依赖于 $\rho ,\delta ,\alpha$ 的正常数。

引理10 [2] ：设 $f\left(z\right)$ 是超越整函数，则存在对数测度有限的集合 $E\subset \left(0,+\infty \right)$ ，使得对任意的z满足 $\left|z\right|=r\notin E$ 且 $\left|f\left(z\right)\right|=M\left(r,f\right)$ ，有

$\left|\frac{f\left(z\right)}{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}\right|\le 2r^j,\left(j\in N\right)$

引理11 [5] ：设 $f\left(z\right)$ 是整函数，且 $\rho \left(f\right)=\rho <+\infty$ ，则存在对数测度无穷的集合 $E\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使得对任意的z，有

$\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{\log T\left(r,f\right)}{\log r}=\rho .$

引理12 [8] ：设 $A_j\left(z\right),\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是整函数且 $\rho \left(A_j\right)\le \rho <+\infty$ ，若 $f\left(z\right)$ 是方程(1.1)的解，则 ${\rho }_2\left(f\right)\le \rho$ 。

3. 定理的证明

3.1. 定理1证明

设 $\mu ,\beta$ 是两个常数，满足 $0<\mu <\beta <\mu \left(A_0\right)$ ， $f\left(z\right)$ 是方程(1.1)的非平凡解，根据假设集合 $E_{\mu }\subset \left[1,+\infty \right)$ 且 $\underset{\_}{logdens}{E}_{\mu }=1$ 使得对任意的 $r\in E_{\mu }$ ，有

$\underset{\left|z\right|=r}{\min }\left|A_j\left(z\right)\right|\le \exp \left(r^{\mu }\right),\left(j=1,2,\cdots ,k-1\right)$

令 $E_1=\left\{\left|z\right|:\left|z\right|=r\in E_{\mu },\left|A_j\left(z\right)\right|=\underset{\left|z\right|=r}{\min }\left|A_j\left(z\right)\right|\le \exp \left(r^{\mu }\right),\left(j\ne 0\right)\right\}$ ，则 $\underset{\_}{logdens}\left(\left\{\left|z\right|:\left|z\right|\in E_1\right\}\right)=1$ ，对任意的z有

$\left|A_j\left(z\right)\right|\le \exp \left({\left|z\right|}^{\mu }\right)\left(j\ne 0\right).$ (3.1)

在 $A_0\left(z\right)$ 中应用引理8，对任意给定的 $\alpha \in \left(\mu \left(A_0\right),1\right)$ ，存在集合 $E_2\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使

$\overline{logdens}\left(E_2\right)\ge 1-\frac{\mu \left(A_0\right)}{\alpha }$ ，对任意的z满足 $\left|z\right|=r\in E_2\backslash \left[0,r_0\right]$ ， $r_0$ 是常数且 $r_0>1$ ，有

$\left|A_0\left(z\right)\right|\ge \exp \left(r^{\beta }\right).$ (3.2)

应用引理1，存在对数测度有限的集合 $E_3\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使得对任意的z，满足 $\left|z\right|=r\notin E_3\cup \left[0,1\right]$ ，有

$\left|\frac{f^{\left(j\right)}\left(z\right)}{f\left(z\right)}\right|\le BT{\left(2r,f\right)}^{2j},j=1,2,\cdots ,k-1,$ (3.3)

其中，B为常数且 $B>0$ 。

令 $E_4=\left\{\left|z\right|:z\in E_1\right\}\cap \left\{E_2\backslash \left(\left[0,r_0\right]\cup E_3\right)\right\}$ ，显然 $\overline{logdens}\left(E_4\right)>0$ ，故在 $E_4$ 中存在序列 $\left\{r_j\right\}$ ，当 $j\to \infty$ 时 $r_j\to \infty$ ，当 $\left|z\right|=r=r_j$ 时，(3.1) (3.2) (3.3)都成立，故

$\exp \left(r_j^{\beta }\right)\le \left(1+\exp \left(r_j^{\mu }\right)\right)B\cdot T{\left(2r_j,f\right)}^{2\left(k-1\right)}$

$\exp \left(\left(1-o\left(1\right)\right)r_j^{\beta }\right)\le B\cdot T{\left(2r_j,f\right)}^{2\left(k-1\right)}$ (3.4)

由(3.4)当 $j\to \infty$ 时，有

$\underset{r\to \infty }{lim}\frac{\log \log T\left(r,f\right)}{\log r}\ge \beta$

由 $\beta <\mu \left(A_0\right)$ 的任意性，有

${\rho }_2\left(f\right)\ge \mu \left(A_0\right).$

3.2. 定理2证明

根据定理B和引理5，方程(1.1)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ 满足 ${\rho }_2\left(f\right)=\max \left\{\rho \left(A_j\right),j=1,2,\cdots ,k-1\right\}$ ，又由引理6方程(1.1)的任意非平凡解 $f\left(z\right)$ 满足

${\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\mu \left(A_j\right),\rho \left(A_0\right),j\ne 0\right\},{\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\rho \left(A_j\right),\mu \left(A_0\right),j\ne 0\right\}.$

由 $\max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\mu \left(A_0\right)\le \rho \left(A_0\right)<\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\frac{1}{2}$ 得

${\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\rho \left(A_0\right)<\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}={\rho }_2\left(f\right).$

结论得证。

3.3. 定理3证明

设 $f\left(z\right)$ 是方程(1.1)的非平凡解，由引理6有

${\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}.$

不妨设 $\max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}=\rho \left(A_s\right)$ ，方程(1.1)可变形为

$A_S\left(z\right)=-\frac{f^{\left(k\right)}}{f^{\left(s\right)}}-A_{k-1}\left(z\right)\frac{f^{\left(k-1\right)}}{f^{\left(s\right)}}-\cdots -A_{s+1}\left(z\right)\frac{f^{\left(s+1\right)}}{f^{\left(s\right)}}-A_{s-1}\left(z\right)\frac{f^{\left(s-1\right)}}{f^{\left(s\right)}}-\cdots -A_1\left(z\right)\frac{f^{\prime }}{f^{\left(s\right)}}-A_0\left(z\right)\frac{f}{f^{\left(s\right)}}，$

于是

$\begin{array}{c}\left|A_S\left(z\right)\right|\le \left|\frac{f^{\left(k\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|+\left|A_{k-1}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(k-1\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|+\mathrm{......}+\left|A_{s+1}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(s+1\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|\\ +\left|A_{s-1}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(s-1\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|+\cdots +\left|A_1\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\prime }}{f^{\left(s\right)}}\right|+\left|A_0\left(z\right)\right|\left|\frac{f}{f^{\left(s\right)}}\right|\\ \le \left|\frac{f^{\left(k\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|+\left|A{}_{k-1}(z)\right|\left|\frac{f^{\left(k-1\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|+\cdots +\left|A_{s+1}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(s+1\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|\\ +\left|\frac{f}{f^{\left(s\right)}}\right|\left(\left|A_{s-1}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(s-1\right)}}{f}\right|+\left|A_{s-2}\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\left(s-2\right)}}{f}\right|+\cdots +\left|A_1\left(z\right)\right|\left|\frac{f^{\prime }}{f}\right|+\left|A_0\left(z\right)\right|\right).\end{array}$ (3.5)

由引理1，存在对数测度有限的集合 $E_0\subset \left[1,+\infty \right)$ ，对任意的z满足 $\left|z\right|=r\notin E_0$ ，有

$\left|\frac{f^{\left(k\right)}}{f^{\left(s\right)}}\right|\le M\cdot T{\left(2r,f\right)}^{2k}.$ (3.6)

M为常数且 $M>0$ ，由

$\rho \left(A_0\right)<\max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\frac{1}{2}\le \max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}$ ,

对任意的 $\delta >0$ ，若 $\max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}\le \delta <\frac{1}{2}$ ，取 $\epsilon >0$ ，满足

$\rho \left(A_0\right)+\epsilon <\max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}\le \delta <\frac{1}{2}.$ (3.7)

应用引理9，存在对数测度无穷的集合 $E_1\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使得对任意的z满足 $\left|z\right|=r\in E_1$ ，有

$\left|A_S\left(z\right)\right|\ge \exp \left\{r^{\delta }\right\}.$ (3.8)

由引理11，存在对数测度有限的集合 $E_2\subset \left[1,+\infty \right)$ ，使得对任意的z满足 $\left|z\right|=r\notin E_2$ ，有

$\left|\frac{f}{f^{\left(s\right)}}\right|\le 2r^s.$ (3.9)

由(3.6)~(3.9)，对 $\left|z\right|=r\in E_1\backslash \left(E_0\cup E_2\right)$ ，有

$\exp \left\{r^{\delta }\right\}\le M\cdot \left[T{\left(2r,f\right)}^{2k}+2r^s\cdot \exp \left(r^{\rho \left(A_0\right)+\epsilon }\right)\cdot T{\left(2r,f\right)}^s\right]$ (3.10)

令 $\delta \to \frac{1}{2}$ ，由(3.10)知

${\rho }_2\left(f\right)\ge \frac{1}{2}.$

另外，由引理12知 ${\rho }_2\left(f\right)\le max\left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}$ ，故有

${\mu }_2\left(f\right)\le \max \left\{\mu \left(A_j\right),j\ne 0\right\}<\frac{1}{2}\le {\rho }_2\left(f\right)\le \max \left\{\rho \left(A_j\right),j\ne 0\right\}.$

文章引用

张 杰. 一类高阶复微分方程解的增长性
The Growth of Academic Papers for a Class of Higher Order Differential Equations[J]. 理论数学, 2018, 08(04): 365-372. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84049

参考文献