ABSTRACT

This paper proves that if two nonconstant meromorphic functions f and g satisfy $\Theta \left(\infty ,f\right)>\frac{1}{2}$,$\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{1}{2}$, there must exist a set $S\subset C$ with 6 elements, and if $E\left(S,f\right)=E\left(S,g\right)$, there is $T\left(r,f\right)\sim T\left(r,g\right)$.

Keywords:Meromorphic Function, Shared Value Set, Characteristic Function

亚纯函数涉及分担值集的一个结果

赖铭，李荣慧

云南师范大学数学学院，云南 昆明

收稿日期：2019年12月20日；录用日期：2020年1月10日；发布日期：2020年1月19日

摘 要

本文证明了若两个非常数亚纯函数f和g满足 $\Theta \left(\infty ,f\right)>\frac{1}{2}$，$\Theta \left(\infty ,g\right)>\frac{1}{2}$，则一定存在含6个元素的集合 $S\subset C$，只要 $E\left(S,f\right)=E\left(S,g\right)$，就有 $T\left(r,f\right)\sim T\left(r,g\right)$。

关键词 :亚纯函数，分担值集，特征函数

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1. 引言及主要结果

本文中的亚纯函数都是定义在复平面C上的，且文中的符号采用的是Nevanlinna值分布论中的基本符号及结果，如： $m\left(r,f\right)$，$N\left(r,f\right)$，$T\left(r,f\right)$，$S\left(r,f\right)$，$\cdots$。

若 $f\left(z\right)$ 为非常数亚纯函数，S为一个非空集合。令 $E\left(S,f\right)=\underset{a\in S}{\cup }\left\{z|f\left(z\right)-a=0\right\}$，这里m重零点在 $E\left(S,f\right)$ 中重复m次，则称 $E\left(S,f\right)$ 为f下S的原象集合。

若两个非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 满足 $E\left(S,f\right)=E\left(S,g\right)$，其中S为一个非空集合，则称S为 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 的CM分担值集。

1968年，F. Gross [1] 研究了将公共值推广到公共值集的一个一般性的情况，如下所示：

定理A：设 $S_j\left(j=1,2,3\right)$ 是三个元素不全相同的有限点集，且每一个点集都不包含另外两个点集的并集。设 $T_j\left(j=1,2,3\right)$ 为与相对应的点集 $S_j\left(j=1,2,3\right)$ 具有相同元素个数的任一点集。令 $T_4=S_4=\left\{\infty \right\}$，若非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 满足 $E\left(S_j,f\right)=E\left(T_j,g\right)$ $\left(j=1,2,3,4\right)$，则 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 代数相关。

1976年，F. Gross [2] 提出了这样一个问题：

问题1：是否存在两个最好是一个有限集合 $S_j\left(j=1,2\right)$，对任意的两个非常数亚纯函数f和g，只要 $E\left(S_j,f\right)=E\left(T_j,g\right)$ $\left(j=1,2\right)$，就有 $f\equiv g$ ？

1993年，仪洪勋 [3] 对上述问题的结论进行了弱化并得到了如下结论：

定理B：设 $S=\left\{a+b,a+bw,\cdots ,a+b{w}^{n-1}\right\}$，其中 $b\ne 0$，$w=\exp \left(2\pi i/n\right)$，$n>8$。若复平面C中的两个非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 满足 $E\left(S,f\right)=E\left(S,g\right)$，则 $\left(g-a\right)=t\left(f-a\right)$，其中 $t^n=1$ 或 $\left(f-a\right)\left(g-a\right)\equiv s$，其中 $s^n=b^{2n}$。

此定理详细证明过程可参见文献 [4]。

定理B中我们可以得知存在一个元素个数大于8的集合，当两个非常数亚纯函数CM分担这个集合的时候，这两个亚纯函数互为分式线性变换。那么，是否存在一个元素个数小于8的集合，我们能得到同样的结论。本文在加入一些限定条件后，给予了肯定的回答。定理如下：

定理1：设n为不小于6的整数，若非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以 $S=\left\{w|w^n=1\right\}$ 为CM分担值集，且 $\Theta \left(\infty ,f\right)>1/2$，$\Theta \left(\infty ,g\right)>1/2$，则 $T\left(r,f\right)\sim T\left(r,g\right)$。$\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$。

2. 引理

引理1：若两个非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 以1为CM分担值，则必有以下结论之一发生：

(i) $g\left(z\right)$ 为 $f\left(z\right)$ 的分式线性变换；

(ii) $\left(1-o\left(1\right)\right)T\left(r\right)\le N_2\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{g}\right)+2\bar{N}\left(r,f\right)+2\bar{N}\left(r,g\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),$ (1)

其中 $T\left(r\right)=\max \left\{T\left(r,f\right),T\left(r,g\right)\right\}$。$\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$。

证明：

令

$H=\left\{\frac{f^{″}}{f^{\prime }}-2\frac{f^{\prime }}{f-1}\right\}-\left\{\frac{g^{″}}{g^{\prime }}-2\frac{g^{\prime }}{g-1}\right\},$ (2)

若 $H\equiv 0$，则

$\frac{f^{″}}{f^{\prime }}-2\frac{f^{\prime }}{f-1}\equiv \frac{g^{″}}{g^{\prime }}-2\frac{g^{\prime }}{g-1},$ (3)

对上式左右两边分别积分两次得 $g\left(z\right)$ 为 $f\left(z\right)$ 的分式线性变换，结论(i)成立。

若 $H\cancel{\equiv }0$，则由对数导数引理知：

$m\left(r,H\right)=S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),$ (4)

而H的极点为单极点，且仅来自于f，g的极点处或 $f^{\prime }$，$g^{\prime }$ 的零点但非 $\left(f-1\right)\left(g-1\right)$ 的零点处。兹用 ${\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right)$ 表示 $f^{\prime }$ 的零点但非 $f\left(f-1\right)$ 的零点者所成精简密指量， ${\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{g^{\prime }}\right)$ 作类似表示。则有

$N\left(r,H\right)\le \bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{f}\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{g}\right)+{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right)+{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{g^{\prime }}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),$ (5)

于是

$T\left(r,H\right)\le \bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{f}\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{g}\right)+{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right)+{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{g^{\prime }}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),$ (6)

因f与g公共1值点处H取零值，于是

$\begin{array}{c}{\bar{N}}_{1)}\left(r,\frac{1}{f-1}\right)={\bar{N}}_{1)}\left(r,\frac{1}{g-1}\right)\le N\left(r,\frac{1}{H}\right)\le T\left(r,H\right)+O\left(1\right)\\ \le \bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{f}\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{g}\right)\\ +{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right)+{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{g^{\prime }}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),\end{array}$ (7)

由Nevanlinna第二基本定理知：

$\begin{array}{c}T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\le \bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{f-1}\right)\\ +\bar{N}\left(r,\frac{1}{g-1}\right)-{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right)-{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{g^{\prime }}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),\end{array}$ (8)

注意到

$\begin{array}{l}\bar{N}\left(r,\frac{1}{f-1}\right)+\bar{N}\left(r,\frac{1}{g-1}\right)=2\bar{N}\left(r,\frac{1}{f-1}\right)\le {\bar{N}}_{1)}\left(r,\frac{1}{f-1}\right)+N\left(r,\frac{1}{f-1}\right)\\ \le N\left(r,\frac{1}{f-1}\right)+\bar{N}\left(r,f\right)+\bar{N}\left(r,g\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{f}\right)+{\bar{N}}_{(2}\left(r,\frac{1}{g}\right)\\ +{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{f^{\prime }}\right)+{\bar{N}}_{\text{0}}\left(r,\frac{1}{g^{\prime }}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),\end{array}$ (9)

由(8)，(9)式有

$T\left(r,f\right)+T\left(r,g\right)\le N_2\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{g}\right)+2\bar{N}\left(r,f\right)+2\bar{N}\left(r,g\right)+N\left(r,\frac{1}{f-1}\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),$ (10)

因为

$N\left(r,\frac{1}{f-1}\right)\le T\left(r,f\right)+O\left(1\right),$ (11)

$N\left(r,\frac{1}{f-1}\right)=N\left(r,\frac{1}{g-1}\right)\le T\left(r,g\right)+O\left(1\right),$ (12)

再由(10)式得

$\left(1-o\left(1\right)\right)T\left(r\right)\le N_2\left(r,\frac{1}{f}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{g}\right)+2\bar{N}\left(r,f\right)+2\bar{N}\left(r,g\right)+S\left(r,f\right)+S\left(r,g\right),$ (13)

$\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$

结论(ii)成立。

3. 定理1的证明

证明：

令

$P\left(w\right)=w^n-1,$ (14)

则

$P^{\prime }\left(w\right)=n{w}^{n-1},P\left(0\right)=-1,$ (15)

因此， $P\left(w\right)$ 无重零点。

令

$F=f^n,G=g^n,$ (16)

由于f和g以S为CM分担值集，故F和G以1为CM分担值。故

$T\left(r,f\right)=\frac{1}{n}T\left(r,F\right)+S\left(r,F\right),$ (17)

$T\left(r,g\right)=\frac{1}{n}T\left(r,G\right)+S\left(r,G\right),$ (18)

兹对F和G应用引理知：(i)或(ii)成立。

若(i)成立，则G为F的分式线性变换，因此

$T\left(r,F\right)\sim T\left(r,G\right),\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$ (19)

再由(17)，(18)式有

$T\left(r,f\right)\sim T\left(r,g\right),\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$ (20)

若(ii)成立，则由(16)，(17)式，已知条件及Nevanlinna第一基本定理得

$\bar{N}\left(r,F\right)=\bar{N}\left(r,f\right)\le \frac{1}{2n}T\left(r,F\right)+S\left(r,F\right),$ (21)

$N_2\left(r,\frac{1}{F}\right)=2\bar{N}\left(r,\frac{1}{f}\right)\le \frac{2}{n}T\left(r,F\right)+S\left(r,F\right),$ (22)

类似地，有

$\bar{N}\left(r,G\right)=\bar{N}\left(r,g\right)\le \frac{1}{2n}T\left(r,G\right)+S\left(r,G\right),$ (23)

$N_2\left(r,\frac{1}{G}\right)=2\bar{N}\left(r,\frac{1}{g}\right)\le \frac{2}{n}T\left(r,G\right)+S\left(r,G\right),$ (24)

令

$T\left(r\right)=\max \left\{T\left(r,F\right),T\left(r,G\right)\right\},$ (25)

再由(21)，(22)，(23)，(24)式有

$N_2\left(r,\frac{1}{F}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{G}\right)+2\bar{N}\left(r,F\right)+2\bar{N}\left(r,G\right)\le \left(\frac{6}{n}+o\left(1\right)\right)T\left(r\right),$ (26)

由已知条件知 $\frac{6}{n}\le 1$，故

$N_2\left(r,\frac{1}{F}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{G}\right)+2\bar{N}\left(r,F\right)+2\bar{N}\left(r,G\right)\le \left(1+o\left(1\right)\right)T\left(r\right),$ (27)

又由(1)式知

$N_2\left(r,\frac{1}{F}\right)+N_2\left(r,\frac{1}{G}\right)+2\bar{N}\left(r,F\right)+2\bar{N}\left(r,G\right)\ge \left(1-o\left(1\right)\right)T\left(r\right),$ (28)

由(27)，(28)式得

$\left(1-o\left(1\right)\right)T\left(r\right)\le \left(1+o\left(1\right)\right)T\left(r\right),$ (29)

因此

$T\left(r,F\right)\sim T\left(r,G\right),\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$ (30)

再由(17)，(18)式有

$T\left(r,f\right)\sim T\left(r,g\right),\left(r\notin E,r\to \infty ,mesE<+\infty \right)$ (31)

定理1得证。

文章引用

赖 铭,李荣慧. 亚纯函数涉及分担值集的一个结果
A Result of Meromorphic Functions Involving Sharing Value Sets[J]. 理论数学, 2020, 10(01): 38-42. https://doi.org/10.12677/PM.2020.101007

参考文献