具有Holling II功能反应扩散捕食系统的定性分析 Qualitative Analysis of a Diffusive Predator-Prey System with Holling Type II Functional Response

doi:10.12677/PM.2023.134084

Pure Mathematics
Vol. 13 No. 04 ( 2023 ), Article ID: 64371 , 9 pages
10.12677/PM.2023.134084

具有Holling II功能反应扩散捕食系统的定性分析

王双特¹，于恒国²

●How to Cite this Article

¹乐清市柳市镇第三中学，浙江温州

²温州大学数理学院，浙江温州

收稿日期：2023年3月13日；录用日期：2023年4月14日；发布日期：2023年4月23日

摘要

首先引入一类具有Holling II功能反应和Neumann边界条件的扩散捕食系统，通过本征值研究正平衡点的一致渐近稳定性，并构造V函数给出全局渐近稳定性定理。其次，对于相应的稳定态系统，利用极值原理、Harnack不等式和能量积分推导了先验估计和非常数正解不存在性定理，最后利用单重本征值分支理论讨论了正常数稳态解的局部分支。

关键词

扩散捕食系统，稳定性分析，先验估计，非常数正解，分支理论

Qualitative Analysis of a Diffusive Predator-Prey System with Holling Type II Functional Response

Shuangte Wang¹, Hengguo Yu²

¹Yueqing No.3 Middle School, Wenzhou Zhejiang

²College of Mathematics and Physics, Wenzhou University, Wenzhou Zhejiang

Received: Mar. 13^th, 2023; accepted: Apr. 14^th, 2023; published: Apr. 23^rd, 2023

ABSTRACT

The author firstly introduced a diffusive predator-prey system with Holling type II functional response subject to homogeneous Neumann boundary conditions, presented uniform asymptotic stability via eigenvalues, and also gave global asymptotic stability by constructing a V function. Then, for the corresponding steady state system, prior estimates and theorems about non-existence of non-constant positive solutions were deduced with the help of the maximum principle, the Harnack inequality and energy integration. Finally, local bifurcation from positive constant steady state solution was discussed by using the simple eigenvalue bifurcation theory.

Keywords:Diffusive Predator-Prey System, Stability Analysis, Prior Estimate, Non-Constant Positive Solution, Bifurcation Theory

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

在文献 [1] 中，作者考虑了如下反应–扩散捕食系统：

$u_{t} - D_{1} Δ u = r_{1} u (1 - \frac{u}{K_{1}}) - \frac{α u v}{a + u} - m_{1} u, t > 0, x \in Ω,$ (1a)

$v_{t} - D_{2} Δ v = \frac{α e u v}{a + u} - m_{2} v - d v^{2}, t > 0, x \in Ω,$ (1b)

$\partial_{ν} u = \partial_{ν} v = 0, x \in \partial (Ω), t \geq 0,$ (1c)

$u (0, x) = u_{0} (x) \geq 0 (\equiv 0), v (0, x) = v_{0} (x) \geq 0 (\equiv 0), x \in Ω,$ (1d)

其中正常数 $r_{1}$ ， $K_{1}$ ， $α$ ，a， $m_{1}$ ， $m_{2}$ ，e和d有其各自生物学意义，见上述文献，而正常数 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 称为扩散系数。耦合项 $\frac{α u}{a + u}$ 称为Holling II功能反应，与经典的Lotka-Volterra模型比较，对于种群动力学的研究更具有现实意义 [2] [3] [4] [5] 。 $u = u (t, x)$ 和 $v = v (t, x)$ 分别表示食饵和捕食者的种群密度， $Δ$ 是Laplace算子。条件(1c)称为齐次Neumann边界条件，其意义可参看文献 [6] [7] ；初始条件(1d)表明解是非负的且 $u (t, x) > 0$ 和 $v (t, x) > 0$ [8] 。为方便研究，将系统(1)化为如下无量纲形式 [1] ：

$u_{t} - D_{1} Δ u = u (1 - \frac{u}{K_{1}}) - \frac{α u v}{1 + u} - m_{1} u, t > 0, x \in Ω,$ (2a)

$v_{t} - D_{2} Δ v = \frac{α u v}{1 + u} - m_{2} v - d v^{2}, t > 0, x \in Ω,$ (2b)

$\partial_{ν} u = \partial_{ν} v = 0, t \geq 0, x \in \partial (Ω),$ (2c)

$u (0, x) = u_{0} (x) \geq 0 (\equiv 0), v (0, x) = v_{0} (x) \geq 0 (\equiv 0), x \in Ω .$ (2d)

系统(1)所对应常微分系统(Bazykin捕食系统)研究可参看文献 [9] [10] [11] [12] 。文献 [1] 考虑了系统(2)的全局稳定性和Hopf分支，同时给出了分支方向计算公式。对于系统(1)，当 $d = m_{1} = 0$ 时，文献 [6] 通过数值模拟表明两种群对初值具有敏感性，复杂的时序动态可由空间维度所引发。对于系统(2)，当 $d = m_{1} = 0$ 时，文献 [7] 研究了常数共存稳态解的Hopf分支以及对应扩散系统的稳态分支，由此文献 [13] 则考虑了带有Holling III型功能反应的Turing失稳和Hopf分支。带有Holling II功能反应的扩散捕食系统进一步研究可参考 [14] [15] [16] [17] ，如文献 [16] 研究了当 $d = m_{1} = 0$ 时系统(2)的非常数正稳态解的不存在性。

基于文献 [1] [7] [16] 的基础，本文继续研究系统(2)的稳定性，如局部的和全局的稳定性，同时考虑对应稳定态系统的动力学性质，如正常数解的存在性及其分支问题：

$- D_{1} Δ u = u (1 - \frac{u}{K_{1}}) - \frac{α u v}{1 + u} - m_{1} u, x \in Ω,$ (3a)

$- D_{2} Δ v = \frac{α u v}{1 + u} - m_{2} v - d v^{2}, x \in Ω,$ (3b)

$\partial_{ν} u = \partial_{ν} v = 0, x \in \partial (Ω),$ (3c)

这里 $Ω$ 是 $R^{n} (n \geq 1)$ 上有界区域且带有光滑边界 $\partial (Ω)$ 。最后本文安排如下。第1节给出了平衡点存在性条件，同时给出了系统(2)的一致渐近稳定性和全局稳定性定理，第2节考虑了系统(3)的先验估计，第3节证明了系统(3)的非常数正解不存在性，最后分析了系统(3)正常数解的局部分支。

2. 系统(2)的稳定性分析

本节考虑系统(2)正平衡点的一致渐近稳定性和全局稳定性。

2.1. 正平衡点的存在性

显然 $1 > m_{1}$ 时，有边界平衡点 $E_{2} : = (u_{2}, 0)$ ， $u_{2} : = K_{1} (1 - m_{1})$ 。根据蛛网模型及等倾线方程

$1 - \frac{u}{K_{1}} - \frac{α v}{1 + u} - m_{1} = 0,$ (4a)

$\frac{α u}{1 + u} - m_{2} - d v = 0,$ (4b)

如果条件(H1)： $0 < \frac{m_{2}}{α - m_{2}} < u_{2}$ 成立，则正平衡点 $E_{*} : = (u_{*}, v_{*})$ 存在。进一步的， $\frac{1}{2} (u_{2} - 1) \leq \frac{m_{2}}{α - m_{2}}$ 时 $E_{*}$ 唯一。

另一方面，由方程(4b)可得表达式 $v = \frac{α u - m_{2} u - m_{2}}{(1 + u) d}$ ，代入方程(4a)可得 $u_{*}$ 满足的三次方 $p (x) : = \sum_{i = 0}^{3} a_{i} x^{i} = 0$ ，其中 $a_{3} = d$ ， $a_{2} = [2 + (m_{1} - 1) K_{1}] d$ ， $a_{1} = [(2 m_{1} - 2) d - α (m_{2} - α)] K_{1} + d$ ， $a_{0} = K_{1} [d (m_{1} - 1) - m_{2} α]$ 。当上述条件(H1)成立时，不难得到

$p (\frac{m_{2}}{α - m_{2}}) = \frac{α^{2} d [(α - m_{2}) u_{2} - m_{2}]}{{(m_{2} - α)}^{3}} < 0,$

因此 $\frac{m_{2}}{α - m_{2}} < u_{*}$ ，同样 $E_{*}$ 存在。进一步的，如果 $a_{2}, a_{1} \geq 0$ ，则 $E_{*}$ 是唯一的，例如 $K_{1} \leq \frac{1}{2}$ 时条件 $\frac{1}{2} (u_{2} - 1) \leq \frac{m_{2}}{α - m_{2}}$ 成立。类似的，可用 $v_{*}$ 满足的多项式方程验证条件(H1)的合理性。当然也可用Sylvester结式法得到上述三次方程 $p (x) = 0$ 。

2.2. 一致渐近稳定性

设 $0 = μ_{0} < μ_{1} < μ_{2} < \dots$ 是对应于算子 $- Δ$ 在 $Ω$ 上满足条件(2c)的本征值，函数空间

$X : = {u, v \in C^{1} (\bar{Ω}) | \partial_{ν} u = \partial_{ν} v = 0, x \in \partial (Ω)} = \oplus_{j = 0}^{\infty} X_{j},$

其中 $X_{j}$ 是对应于本征值 $μ_{j}$ 的本征子空间。再取 $E_{*}$ 处Jacobi矩阵 $J = {(J_{i j})}_{2 \times 2}$ 及算子

$\hat{L} : = (\begin{matrix} D_{1} Δ + J_{11} & J_{12} \\ J_{21} & D_{2} Δ + J_{22} \end{matrix}),$

${\hat{L}}_{j} : = (\begin{matrix} - D_{1} μ_{j} + J_{11} & J_{12} \\ J_{21} & - D_{2} μ_{j} + J_{22} \end{matrix}),$

其中 $J_{11} = \frac{- u_{*}}{K_{1}} + \frac{α u_{*} v_{*}}{{(1 + u_{*})}^{2}}$ ， $J_{12} = \frac{- α u_{*}}{1 + u_{*}}$ ， $J_{21} = \frac{α v_{*}}{{(1 + u_{*})}^{2}}$ ， $J_{22} = - d v_{*}$ ，则 $X_{j}$ 是 $\hat{L}$ 的不变子空间， $ξ_{j}$ 是 $\hat{L}$ 的对应于 $X_{j}$ 的本征值当且仅当 $ξ_{j}$ 是 ${\hat{L}}_{j}$ 的本征值。定义 ${\hat{L}}_{j}$ 的迹、行列式和判别式分别为 $P_{j} = t r ({\hat{L}}_{j})$ ， $Q_{j} = \det ({\hat{L}}_{j})$ 和 $Δ_{*, j} = P_{j}^{2} - 4 Q_{j}$ ，定义J的迹和行列式分别为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 。对于 $E_{*}$ 的线性稳定性和Turing失稳分析，可参考 [13] 。

定理1：对于系统(2)，如果 $E_{*}$ 存在且 $\frac{1}{K_{1}} \geq \frac{α v_{*}}{1 + u_{*}}$ ，则按照 [18] ， $E_{*}$ 是一致渐近稳定的。

证明：定理的证明来源于 [19] 。显然此时 $J_{11} < 0$ ， $J_{12} < 0$ ， $J_{21} > 0$ ， $J_{22} < 0$ ，因此 $P_{j} \leq A_{1} < 0$ ， $Q_{j} \geq A_{2} > 0$ ， $ξ_{j}$ 都有负实部。再分情况讨论 $j \geq 1$ 时 $ξ_{j}$ 的实部。

情形1. 若 $Δ_{*, j} \leq 0$ ，则 $Re (ξ_{j}) = \frac{1}{2} P_{j} \leq \frac{1}{2} A_{1} < 0$ 。

情形2. 若 $Δ_{*, j} > 0$ ，则两个本征值

$Re (ξ_{j}^{-}) = \frac{1}{2} (P_{j} - \sqrt{Δ_{*, j}}) \leq \frac{1}{2} P_{j} \leq \frac{1}{2} A_{1} < 0,$

$Re (ξ_{j}^{+}) = \frac{1}{2} (P_{j} + \sqrt{Δ_{*, j}}) = \frac{2 Q_{j}}{P_{j} - \sqrt{Δ_{*, j}}} \leq \frac{Q_{j}}{P_{j}} .$

对于后者，取不依赖于j的正数 $δ_{1} < \min {\frac{A_{2}}{- A_{1}}, \frac{- D_{1} J_{22} - D_{2} J_{11}}{D_{1} + D_{2}}}$ ，有 $Re (ξ_{j}^{+}) < - δ_{1}$ 。

总之，存在不依赖于j的正数 $δ_{2}$ ，使得 $Re (ξ_{j}^{\pm}) < - δ_{2}$ ， $j \geq 0$ ，因此 $\hat{L}$ 的本征谱落在某个区域 ${ξ | Re (ξ) < - δ} (δ > 0)$ 中。由 [18] 中的定理5.1.1可知结论成立。

2.3. 全局渐近稳定性

根据上述结论，对于系统(2)，有如下定理。

定理2：对于系统(2)，如果 $E_{*}$ 存在且唯一，且 $\frac{1}{K_{1}} > \frac{α v_{*}}{1 + u_{*}}$ ，则 $E_{*}$ 全局渐近稳定。

证明：取定正Lyapunov函数 $W (t) = \int_{Ω} [(u - u_{*} - u_{*} \ln \frac{u}{u_{*}}) + A (v - v_{*} - v_{*} \ln \frac{v}{v_{*}})] d x$ ， $A = 1 + u_{*}$ ，利用 $E_{*}$ 满足的方程(4)及Neumann边界条件，对t求导有

$\begin{matrix} {\frac{d W (t)}{d t} |}_{(2)} = \int_{Ω} [- \frac{D_{1} u_{*}}{u^{2}} {| \nabla u |}^{2} - \frac{A D_{2} v_{*}}{v^{2}} {| \nabla v |}^{2} + (\frac{α v_{*}}{(1 + u) (1 + u_{*})} - \frac{1}{K_{1}}) {\hat{u}}^{2} - A d {\hat{v}}^{2}] d x \\ \leq \int_{Ω} [(\frac{α v_{*}}{1 + u_{*}} - \frac{1}{K_{1}}) {\hat{u}}^{2} - A d {\hat{v}}^{2}] d x \leq 0, \end{matrix}$

其中 $\hat{u} = u - u_{*}$ ， $\hat{v} = v - v_{*}$ ，等号成立当且仅当 $(u, v) = (u_{*}, v_{*})$ 。

此外， [1] 中由系统(2)的持久性分析可引出 $E_{*}$ 的若干全局渐进稳定性定理，这对于更复杂的系统，如出现三次的和四次的，具有一定参考。总之，关于 $E_{*}$ 的全局渐进稳定性，具有丰富的结论。

3. 系统(3)的先验估计

本节考虑系统(3)的先验估计。显然由极值原理可得如下定理，证明略。

定理3：对于系统(3)，任意正解满足 $0 \leq u (x) \leq K_{1}$ ， $0 \leq v (x) \leq v_{m}$ ， $x \in \bar{Ω}$ 。

其中上界 $v_{m}$ 不作特别说明时一般指 $v_{m} (K_{1}) : = \frac{α K_{1}}{d (1 + K_{1})}$ 。其次，在上述定理基础上，给出如下定理。

定理4：如果 $1 - m_{1} > α v_{m} (K_{1})$ ， $\frac{α u_{2}}{1 + u_{2}} \neq m_{2}$ ，则对于任意正解及某个 $D_{2}^{*}$ ，存在固定正常数C，使得当 $D_{2} \geq D_{2}^{*}$ 时有

$\begin{array}{l} K_{1} [1 - m_{1} - α v_{m} (K_{1})] \leq u (x) \leq u_{2}, \\ C \leq v (x) \leq v_{m} [(1 - m_{1}) K_{1}], x \in \bar{Ω} . \end{array}$ (5)

并注意到函数 $v_{m} [(1 - m_{1}) K_{1}]$ 。

证明：只需证明正数C存在即可。假设不成立，则存在一列正解 ${u_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ ， ${v_{i}}_{i = 1}^{\infty}$ 及正数 ${D_{2, i}}_{i = 1}^{\infty}$ ， $D_{2, i} \geq D_{2}^{*}$ ，使得 $\min_{\bar{Ω}} {v_{i}} \to 0$ ， $i \to \infty$ ，由Harnack不等式 [20] 可知 $v_{i}$ 在 $\bar{Ω}$ 上一致收敛于0。现构造 $w_{i} = \frac{v_{i}}{{‖ v_{i} ‖}_{\infty}}$ ， ${‖ w_{i} ‖}_{\infty} \equiv 1$ ，则 $(u_{i}, w_{i})$ 满足椭圆问题

$- D_{1} Δ u_{i} = u_{i} (1 - \frac{u_{i}}{K_{1}} - m_{1} - \frac{α v_{i}}{1 + u_{i}}), x \in Ω,$ (6a)

$- D_{2, i} Δ w_{i} = w_{i} (\frac{α u_{i}}{1 + u_{i}} - m_{2} - d v_{i}), x \in Ω,$ (6b)

$\partial_{ν} u_{i} = \partial_{ν} w_{i} = 0, x \in \partial (Ω) .$ (6c)

对(6)积分有

$\int_{Ω} u_{i} (1 - \frac{u_{i}}{K_{1}} - m_{1} - \frac{α v_{i}}{1 + u_{i}}) d x = 0,$ (7a)

$\int_{Ω} w_{i} (\frac{α u_{i}}{1 + u_{i}} - m_{2} - d v_{i}) d x = 0.$ (7b)

由Sobolev嵌入定理和椭圆方程正则估计可知，存在子列 ${u_{i_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ ， ${w_{i_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ ，使得 $u_{i_{k}} \to \tilde{u}$ ， $w_{i_{k}} \to \tilde{w}$ ， $k \to \infty$ ，其中 $u_{i_{k}}$ ， $w_{i_{k}}$ ， $\tilde{u}$ ， $\tilde{w} \in C^{2} (Ω)$ 。由于 $v_{i_{k}} \to 0$ ， $k \to \infty$ ，故 $(\tilde{u}, 0)$ 也是(3)的解，因此(7a)化为 $\int_{Ω} \tilde{u} (1 - \frac{\tilde{u}}{K_{1}} - m_{1}) d x = 0$ ，这样 $\tilde{u} = u_{2}$ 。再由(7b)可知 $\int_{Ω} \tilde{w} (\frac{α u_{2}}{1 + u_{2}} - m_{2}) d x = 0$ ，这导致矛盾！

4. 系统(3)非常数正解的不存在性

本节考虑系统(3)非常数正解的不存在性。

定理5：对于系统(3)的正解，如果存在正数 $λ_{1}$ ，使得 $λ_{1} D_{1} > 1$ 且 $λ_{1} D_{2} > \frac{α^{2} K_{1} v_{m}}{λ_{1} D_{1} - 1} + α K_{1}$ ，则(3)不存在非常数正解。

证明：首先定义可积函数f的平均为 $\bar{f} = \frac{\int_{Ω} f d x}{| Ω |}$ 。取正解 $u, v$ ，设 $ϕ = u - \bar{u}$ ， $ψ = v - \bar{v}$ ，利用Neumann边界条件可得

$\int_{Ω} D_{1} {| \nabla ϕ |}^{2} d x = \int_{Ω} {[1 - m_{1} - \frac{u + \bar{u}}{K_{1}} - \frac{α \bar{v}}{(1 + u) (1 + \bar{u})}] ϕ^{2} - \frac{α u}{1 + u} ϕ ψ} d x,$ (8a)

$\int_{Ω} D_{2} {| \nabla ψ |}^{2} d x = \int_{Ω} {[\frac{α u}{1 + u} - m_{2} - d (v + \bar{v})] ψ^{2} + \frac{α \bar{v}}{(1 + u) (1 + \bar{u})} ϕ ψ} d x .$ (8b)

引入正数 $η$ 并相加有

$\int_{Ω} (D_{1} {| \nabla ϕ |}^{2} + η D_{2} {| \nabla ψ |}^{2}) d x = \int_{Ω} (A ϕ^{2} + B ϕ ψ + C ψ^{2}) d x,$ (9)

其中

$A = 1 - m_{1} - \frac{u + \bar{u}}{K_{1}} - \frac{α \bar{v}}{(1 + u) (1 + \bar{u})} \leq 1,$

$B = - \frac{α u}{1 + u} + \frac{α \bar{v} η}{(1 + u) (1 + \bar{u})} \leq α (v_{m} η + K_{1}) = \bar{B},$

$C = [\frac{α u}{1 + u} - m_{2} - d (v + \bar{v})] η \leq α η K_{1} = \bar{C} .$

由Poincare不等式可知，存在正数 $λ_{1}$ 使得

$\int_{Ω} (D_{1} {| \nabla ϕ |}^{2} + η D_{2} {| \nabla ψ |}^{2}) d x \geq λ_{1} \int_{Ω} (D_{1} ϕ^{2} + η D_{2} ψ^{2}) d x,$ (10)

因此

$\int_{Ω} [(1 - λ_{1} D_{1}) ϕ^{2} + \bar{B} | ϕ ψ | + (\bar{C} - λ_{1} D_{2} η) ψ^{2}] d x \geq 0.$ (11)

特别的，取正数 $η_{0} = \frac{K_{1}}{v_{m}}$ ，(11)中的判别式为

$\begin{matrix} Δ_{ϕ ψ} = {\bar{B}}^{2} - 4 (1 - λ_{1} D_{1}) (\bar{C} - λ_{1} D_{2} η_{0}) \\ = 4 η_{0} (λ_{1} D_{1} - 1) [\frac{α^{2} K_{1} v_{m} + (λ_{1} D_{1} - 1) α K_{1}}{λ_{1} D_{1} - 1} - λ_{1} D_{2}] < 0, \end{matrix}$

因此 $ϕ = ψ = 0$ 。

定理6：对于(3)的正解，如果存在正数 $λ_{1}$ ，使得 $λ_{1} D_{1} > 1 + \frac{α K_{1}}{2 (1 + K_{1})} + \frac{α v_{m}}{2}$ 且 $λ_{1} D_{2} > \frac{3 α K_{1}}{2 (1 + K_{1})} + \frac{α v_{m}}{2}$ 成立，则系统(3)不存在非常数正解。

证明：显然由(8)可得

$\int_{Ω} D_{1} {| \nabla ϕ |}^{2} d x \leq \int_{Ω} [ϕ^{2} + \frac{α K_{1}}{2 (1 + K_{1})} (ϕ^{2} + ψ^{2})] d x,$

$\int_{Ω} D_{2} {| \nabla ψ |}^{2} d x \leq \int_{Ω} [\frac{α K_{1}}{1 + K_{1}} ψ^{2} + \frac{α v_{m}}{2} (ϕ^{2} + ψ^{2})] d x .$

将上述不等式相加，并由定理条件及Poincare不等式(10)可知结论成立。

5. 系统(3)的局部分支

本节利用文献 [21] 的单重本征值分支理论，考虑系统(3)正常数解的局部分支，例如以 $δ = d$ 或扩散常数为分支参数。设1.2节中本征值 $μ_{j}$ 是单重的，对应本征函数族 ${φ_{j}}_{j = 0}^{\infty}$ 是 $L^{2} (Ω)$ 中正交归一基，内积为 $〈 U, V 〉 = \int_{Ω} U^{T} V d x$ 。再定义算子 $\hat{K} (δ, E_{*}) = \frac{\partial}{\partial δ} J (δ, E_{*})$ 及映射

$F (δ, u, v) = (\begin{matrix} D_{1} Δ u + u (1 - \frac{u}{K_{1}}) - m_{1} u - \frac{α u v}{1 + u} \\ D_{2} Δ v + \frac{α u v}{1 + u} - m_{2} v - δ v^{2} \end{matrix}) .$

如果有条件(H2)： $μ_{k} D_{1} < J_{11} (E_{*})$ ， $D_{2} < \frac{- J_{12} (E_{*}) J_{21} (E_{*}) D_{1}}{J_{11}^{2} (E_{*})}$ ，则由 $\det {\hat{L}}_{k} (δ, E_{*}) = 0$ 可确定临界值

$δ_{0} = \frac{D_{1} D_{2} μ_{k}^{2} - D_{2} J_{11} (E_{*}) μ_{k} - J_{12} (E_{*}) J_{21} (E_{*})}{v_{*} [J_{11} (E_{*}) - D_{1} μ_{k}]} > 0.$ (12)

进一步的，如果 $\frac{\partial δ_{0}}{\partial μ_{k}}$ 定号，或者 $δ_{0}$ 关于 $μ_{k}$ 严格单调，或者 $δ_{0} (μ_{k}) \neq δ_{0} (μ_{j}) (k \neq j)$ ，则 $\det {\hat{L}}_{j} (δ_{0}, E_{*}) \neq 0 (j \neq k)$ 。不难计算得到 $K e r \hat{L} (δ_{0}, E_{*}) = s p a n {φ}$ ， $φ = (\begin{matrix} 1 \\ b_{k} \end{matrix}) φ_{k}$ ，其中 $b_{k} = \frac{α v_{*}}{{(1 + u_{*})}^{2} (D_{2} μ_{k} + δ_{0} v_{*})} > 0$ ，再由Fredholm选择定理知

$c o d i m ℜ \hat{L} (δ_{0}, E_{*}) = d i m K e r \hat{L} (δ_{0}, E_{*}) = 1.$ (13)

考虑伴随算子 $\hat{L} {(δ_{0}, E_{*})}^{*} = \hat{L} {(δ_{0}, E_{*})}^{T}$ ，不难计算得到 $K e r \hat{L} {(δ_{0}, E_{*})}^{*} = s p a n {ψ}$ ， $ψ = (\begin{matrix} 1 \\ b_{k}^{*} \end{matrix}) φ_{k}$ ，其中 $b_{k}^{*} = \frac{- α u_{*}}{(1 + u_{*}) (D_{2} μ_{k} + δ_{0} v_{*})} < 0$ 。最后计算可得

$〈 \hat{K} (δ_{0}, E_{*}) φ, ψ 〉 = {J^{'}}_{11} + b_{k} {J^{'}}_{12} + b_{k}^{*} ({J^{'}}_{21} + b_{k} {J^{'}}_{22}) .$ (14)

其中 ${J^{'}}_{i j} = \frac{\partial}{\partial δ} J_{i j} (δ_{0}, E_{*})$ 。只要 $〈 \hat{K} (δ_{0}, E_{*}) φ, ψ 〉 \neq 0$ ，就有 $\hat{K} (δ_{0}, E_{*}) φ \notin ℜ \hat{L} (δ_{0}, E_{*})$ 。这样就得到下面的定理。

定理7：对于系统(3)及 $E_{*}$ ，如果存在 $μ_{k}$ 使得(H2)和 $〈 \hat{K} (δ_{0}, E_{*}) φ, ψ 〉 \neq 0$ 成立，而 $\frac{\partial δ_{0}}{\partial μ_{k}}$ 定号，或者 $δ_{0}$ 关于 $μ_{k}$ 严格单调，或者 $δ_{0} (μ_{k}) \neq δ_{0} (μ_{j})$ $(k \neq j)$ ，则 $(δ_{0}, E_{*})$ 是方程 $F (δ, u, v) = 0$ 的分支点。此外，对于参数 $| s | ≪ 1$ ，存在方程 $F (δ, u, v) = 0$ 的 $C^{1}$ 函数类 $(δ (s), u (s), v (s))$ 满足

$(δ (0), u (0), v (0)) = (δ_{0}, E_{*}), u (s) = u_{*} + s φ_{k} + o (s), v (s) = v_{*} + s b_{k} φ_{k} + o (s) .$

6. 总结

本文定性分析了一类具有Holling II功能反应和Neumann边界条件的扩散捕食系统及其对应稳态系统(椭圆问题)，包括先验估计，非常数正解的不存在性和局部分支定理。今后可继续考虑全局渐近稳定性条件(例如持久性引出的结论，V函数的构造)，非常数正解的存在性问题(例如嵌入定理和正则性理论，利用拓扑度理论证明非常数正解的存在性)，以及对局部分支作深入研究(例如分支参数的具体化，正常数解局部分支的存在性条件)。

致谢

作者感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见，感谢编辑的细致工作，感谢温州大学的赵敏老师和戴传军老师，感谢乐清市柳市镇第三中学的郑孟老师和赵淑静老师，感谢乐清城南中学的陈谱锦老师

文章引用

王双特,于恒国. 具有Holling II功能反应扩散捕食系统的定性分析
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