ABSTRACT

Using the traveling wave transformation and homogeneous balance simplified the Sharma-Tasso-Olver equation to obtain the reduced ordinary differential equations, using the $exp\left(-G\left(\xi \right)\right)$ -method to get the trigonometric function solution, hyperbolic function solution and the rational function solution. In addition, an exact soliton solution is provided by using the Ansatz method.

Keywords:Sharma-Tasso-Olver Equation, $exp\left(-G\left(\xi \right)\right)$ -Method, Soliton Solution, Ansatz Method

利用exp(-G(ξ))方法和拟设函数法求Sharma-Tasso-Olver方程精确解

张逢燕^1,2，李冬雪³，王俊梅¹

¹山东师范大学，数学与统计学院，山东 济南

²临沂大学，数学与统计学院，山东 临沂

³德州市第十中学，山东 德州

收稿日期：2019年1月22日；录用日期：2019年2月6日；发布日期：2019年2月13日

摘 要

本文运用行波变换和齐次平衡原理对Sharma-Tasso-Olver方程进行化简，得到约化的常微分方程。利用 $exp\left(-G\left(\xi \right)\right)$ 方法和拟设双曲函数法求得方程的三角函数解、双曲函数解、有理函数解和孤子解。

关键词 :Sharma-Tasso-Olver方程， $exp\left(-G\left(\xi \right)\right)$ 方法，孤子解，拟设双曲函数法

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1. 引言

非线性发展方程是国内外研究的热点问题，Sharma-Tasso-Olver (STO)方程在数学和物理领域有着重要的作用，很多专家对其有深入研究。例如，文献 [1] [2] 运用Bäcklund变换求精确解。在 [3] 中介绍扩展双曲函数方法的STO方程的显式行波解。楼森岳等人 [4] 通过使用标准的截断Painlevé分析，Hirota双线性方法和Bäcklund变换方法彻底检查了孤子裂变和聚变。在 [5] 中，Yan通过使用两种类型的Cole-Hopf变换，研究了两类(2 + 1)维广义Sharma-Tasso-Olver积分-微分方程的可积性。他证明了这两个GSTO方程都拥有Painlevé属性和双哈密顿结构。另外，利用耦合Riccati方程方法 [6] ，修正最简单方程方法 [7] ，Exp函数方法 [8] [9] 和李对称分析求出STO方程精确解等 [10] [11] [12] 。

我们研究以下STO方程

$u_t+3\epsilon u^2{u}_x+3\epsilon u_x^2+3\epsilon u{u}_{xx}+\epsilon u_{xxx}=0$ (1)

其中 $u=u\left(x,t\right)$ ， $\epsilon$ 是任意常数。

本文首先对Sharma-Tasso-Olver方程进行了综述。第二部分运用行波变换，利用 $\exp \left(-G\left(\xi \right)\right)$ 方法 [13] [14] [15] 和齐次平衡原理 [16] [17] 将原方程约化成常微分方程，求出方程的三角函数解，双曲函数解和有理函数解。第三部分利用拟设双曲函数的行波变换得到方程的孤子解 [18] [19] 。

2. $exp\left(-G\left(\xi \right)\right)$ 方法

对于方程(1)，我们进行行波变换：

$u\left(x,t\right)=u\left(\xi \right)$ , $\xi =kx-wt$ ,

得到约化的常微分方程：

$-w{u}^{\prime }+3\epsilon k{u}^2{u}^{\prime }+3\epsilon k^2{\left(u^{\prime }\right)}^2+3\epsilon k^{2}u{u}^{″}+\epsilon k^3{u}^{‴}=0,$

积分一次为：

$-wu+\epsilon k{u}^3+3\epsilon k^{2}u{u}^{\prime }+\epsilon k^3{u}^{″}=0.$ (2)

我们假设方程(2)有以下形式的精确解 [14] [15] [16] ：

$u\left(\xi \right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_n{\left(\exp \left(-G\left(\xi \right)\right)\right)}^n},$ (3)

其中 $a_n$ 为任意常数，m为正整数， $G\left(\xi \right)$ 满足以下辅助常微分方程：

$G^{\prime }\left(\xi \right)=\exp \left(-G\left(\xi \right)\right)+\mu \exp \left(G\left(\xi \right)\right)+\lambda ,$ (4)

从辅助方程(4)中我们可以得到不同的精确解。

把(3)和(4)带入(2)，利用齐次平衡原理可以得到 $m=1$ ，则方程(1)的解可以表示为：

$u\left(\xi \right)=a_0+a_1\exp \left(-G\left(\xi \right)\right).$ (5)

把(4)和(5)带入(2)，收集 $\exp {\left(-G\left(\xi \right)\right)}^n$ ， $n=0,1,2,3$ 的系数，令其系数方程等于0，可以得到关于 $a_0,a_1,\mu ,\lambda ,w,k,\epsilon$ 的超定方程组：

$\exp {\left(-G\left(\xi \right)\right)}^3:2k^3\epsilon a_1-3\epsilon k^2{a}_1^2+k\epsilon a_1^3=0,$ (6)

$\exp {\left(-G\left(\xi \right)\right)}^2:k^3\epsilon a_1-k^2\epsilon \lambda a_1^2+k^2\epsilon a_1^2{a}_0=0,$ (7)

$\exp \left(-G\left(\xi \right)\right):k^3\epsilon {\lambda }^2{a}_1+2k^3\epsilon \mu a_1-3k^2\epsilon \mu a_1^2-3k^2\epsilon \lambda a_1{a}_0+3k\epsilon a_1{a}_0^2-w{a}_1=0,$ (8)

$\exp {\left(-G\left(\xi \right)\right)}^0:k^3\epsilon \lambda \mu a_1+3k^2\epsilon \mu a_0+k\epsilon a_0^3-w{a}_0=0.$ (9)

求解(6)~(9)，得到两组解分别为：

情况1： $k=k,w=\frac{k^3\epsilon {\lambda }^2-4k^3\epsilon \mu }{4},a_0=\frac{\lambda k}{2},a_1=k$ ，带入方程(5)，得到五种不同的解为：

① 当 ${\lambda }^2-4\mu >0$ ，且 $\mu \ne 0$ 时，

$u_{1.1}=\frac{2k\mu }{-\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }\tanh \left(\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }/2\left(\xi +C\right)\right)-\lambda }+\frac{\lambda k}{2}$ ；(如图1)

② 当 ${\lambda }^2-4\mu <0$ ，且 $\mu \ne 0$ 时，

$u_{1.2}=\frac{2k\mu }{\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}\tan \left(\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}/2\left(\xi +C\right)\right)-\lambda }+\frac{\lambda k}{2}$ ；(如图2)

③ 当 ${\lambda }^2-4\mu >0$ ，且 $\mu =0,\lambda \ne 0$ 时，

$u_{1.3}=\frac{\lambda k}{\cosh \left(\lambda \left(\xi +C\right)\right)+\sinh \left(\lambda \left(\xi +C\right)\right)-1}+\frac{\lambda k}{2}$ ；(如图3)

④ 当 ${\lambda }^2-4\mu =0$ ，且 $\mu \ne 0,\lambda \ne 0$ 时，

$u_{1.4}=-\frac{{\lambda }^{2}k\left(\xi +C\right)}{2\lambda \left(\xi +C\right)+4}+\frac{\lambda k}{2}$ ；(如图4)

⑤ 当 ${\lambda }^2-4\mu =0$ ，且 $\mu =0,\lambda =0$ 时，

$u_{1.5}=\frac{k}{\xi +C}+\frac{\lambda k}{2}$ ，(如图5)

其中 $\xi =kx\frac{k^3\epsilon {\lambda }^2-4k^3\epsilon \mu }{4}t$ ， $k,C$ 为任意常数。

图1. 双曲函数解 $u_{1.1}$

图2. 三角函数解 $u_{1.2}$

图3. 双曲函数解 $u_{1.3}$

图4. 有理函数解 $u_{1.4}$

图5. 有理函数解 $u_{1.5}$

情况2： $k=k,w=k^3\epsilon {\lambda }^2-4k^3\epsilon \mu ,a_0=\lambda k,a_1=2k$ ，带入方程(7)，得到五种不同的解为：

① 当 ${\lambda }^2-4\mu >0$ ，且 $\mu \ne 0$ 时，

$u_{2.1}=\frac{4k\mu }{-\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }\tanh \left(\sqrt{{\lambda }^2-4\mu }/2\left(\xi +C\right)\right)-\lambda }+\lambda k$ ；

② 当 ${\lambda }^2-4\mu <0$ ，且 $\mu \ne 0$ 时，

$u_{2.2}=\frac{4k\mu }{\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}\tan \left(\sqrt{4\mu -{\lambda }^2}/2\left(\xi +C\right)\right)-\lambda }+\lambda k$ ；

③ 当 ${\lambda }^2-4\mu >0$ ，且 $\mu =0,\lambda \ne 0$ 时，

$u_{2.3}=\frac{2\lambda k}{\cosh \left(\lambda \left(\xi +C\right)\right)+\sinh \left(\lambda \left(\xi +C\right)\right)-1}+\lambda k$ ；

④ 当 ${\lambda }^2-4\mu =0$ ，且 $\mu \ne 0,\lambda \ne 0$ 时，

$u_{2.4}=-\frac{{\lambda }^{2}k\left(\xi +C\right)}{\lambda \left(\xi +C\right)+2}+\lambda k$ ；

⑤ 当 ${\lambda }^2-4\mu =0$ ，且 $\mu =0,\lambda =0$ 时，

$u_{2.5}=\frac{2k}{\xi +C}+\lambda k$ ，

其中 $\xi =kx-\left(k^3\epsilon {\lambda }^2-4k^3\epsilon \mu \right)t$ ， $k,C$ 为任意常数。

3. 拟设双曲函数法

假设方程有以下形式的解 [18] [19] ：

$u\left(x,t\right)=A\tan h^{″}\tau$ ， $\tau =B\left(x-vt\right)$ ， (10)

其中A和B是自由参数，p是固定参数，v是孤子速度。

由(10)可以得到：

$u_t=-nvAB\left({\tanh }^{n-1}\tau -{\tanh }^{n+1}\tau \right),$ (11)

$u_x=nvAB\left({\tanh }^{n-1}\tau -{\tanh }^{n+1}\tau \right),,$ (12)

$u_{xx}=n\left(n-1\right)A{B}^2{\tanh }^{n-2}\tau -2n^{2}A{B}^2{\tanh }^n\tau +n\left(n+1\right)A{B}^2{\tanh }^{n+2}\tau ,$ (13)

$\begin{array}{c}{u}_{xxx}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)A{B}^3{\tanh }^{n-3}\tau -\left[n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+2n^3\right]A{B}^3{\tanh }^{n-1}\tau \\ +\left[n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2n^3\right]A{B}^3{\tanh }^{n+1}\tau -n\left(n+1\right)\left(n+2\right)A{B}^3{\tanh }^{n+3}\tau ,\end{array}$ (14)

把(11)~(14)带入方程(1)，得到：

$\begin{array}{l}-nvAB\left({\tanh }^{n-1}\tau -{\tanh }^{n+1}\tau \right)+3\epsilon nv{A}^{2}B\left({\tanh }^{2n-1}\tau -{\tanh }^{2n+1}\tau \right)\\ +3\epsilon {\left[nvAB\left({\tanh }^{n-1}\tau -{\tanh }^{n+1}\tau \right)\right]}^2+3\epsilon A^2{B}^2[n\left(n-1\right){\tanh }^{2n-2}\tau \\ -2n^2{\tanh }^{2n}\tau n\left(n+1\right){\tanh }^{2n+2}\tau ]+\epsilon [n\left(n-1\right)\left(n-2\right)A{B}^3{\tanh }^{n-3}\tau \\ -\left(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+2n^3\right)A{B}^3{\tanh }^{n-1}\tau +\left(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+2n^3\right)A{B}^3{\tanh }^{n+1}\tau \\ -n\left(n+1\right)\left(n+2\right)A{B}^3{\tanh }^{n+3}\tau .\end{array}$ (15)

从(15)的指数可以得到 $2n+2$ 和 $n+3$ 相等，得到 $n=1$ 。代入(29)收集 ${\tanh }^n\tau$ 的系数，令其系数方程等于0，可以得到：

$B=A$ 或者 $B=\frac{A}{2}$ ， $v=\epsilon A^2$

上式给出了自由参数A和B的关系，扰动孤子的速度v。我们就得到了方程(1)的1-孤子解：

$u\left(x,t\right)=A\tanh \left(B\left(x-vt\right)\right)$ 。

4. 结论

本文运用行波变换、齐次平衡原理，利用 $\exp \left(-G\left(\xi \right)\right)$ 方法求出Sharma-Tasso-Olver方程的新显式行波解。这些解包括双曲函数解，三角函数解和有理数解。利用拟设双曲函数得到了方程的1-孤子解。

文章引用

张逢燕,李冬雪,王俊梅. 利用exp(-G(ξ))方法和拟设函数法求Sharma-Tasso-Olver方程精确解
The Exact Solutions of the Sharma-Tasso-Olver Equation Using exp(-G(ξ)) Method and Ansatz Method[J]. 应用数学进展, 2019, 08(02): 219-226. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.82025

参考文献