西华大学理学院，四川 成都

Email: 990181245@qq.com

收稿日期：2021年3月12日；录用日期：2021年4月1日；发布日期：2021年4月15日

摘要

本文研究无穷维序列空间在一致框架下的非线性manifold n-宽度 ${\delta }_n\left(W,X\right)$，并得到其精确渐进估计，即当 $1\le p,q\le \infty$ 时 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\succ \prec n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}$，$B_{p,r}$ 表示 $l_{p,r}$ 中的单位球。

关键词

无穷维序列空间，非线性Manifold n-宽度，渐进阶

Nonlinear Width of an Infinite-Dimensional Sequence Space

Xiaohang He, Jiarui Zhao

School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan

Email: 990181245@qq.com

Received: Mar. 12^th, 2021; accepted: Apr. 1^st, 2021; published: Apr. 15^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, we study the nonlinear n-width ${\delta }_n\left(W,X\right)$ of infinite dimensional sequence spaces under consistent framework and obtain its accurate asymptotic estimates. That is ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\succ \prec n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}$ when $1\le p,q\le \infty$.$B_{p,r}$ is the unit sphere in the representation $l_{p,r}$.

Keywords:Infinite-Dimensional Sequence Space, Nonlinear Manifold n-Width, Asymptotic Order

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

函数逼近论是函数论中极其重要的研究领域之一。而n-宽度是逼近论的核心研究方向之一，一直被逼近论方向的研究者所重视。

1936年Kolmogorov [1] 首次提出Kolmogorov n-宽度。关于经典宽度(即最坏情形下的宽度)理论，可见Pinkus [2] 的专著。S. R. Stechkin [3] 1954年研究了在 $p=1,q=2$ 特殊条件下有限维空间的Kolmogorov n-宽度的精确渐进阶与线性n-宽度的精确渐进阶。V. M. Tikhomirov [4] 1976年给出了经典的非线性Alexandroff宽度 $a_n\left(W,X\right)$ 及其精确阶。R. DeVore、R. Howard及C. Micchelli [5] 1989年给出了在Sobolev空间中的经典的非线性manifold n-宽度 ${\delta }_n\left(W,X\right)$ 及其精确渐进阶。De Vore、G. Kyriazis、D. Leviatan及V. Tikhomirov和Dinh Dung及Vu Quoc Thanh [6] [7] 分别讨论了经典的Sobolev函数类和Besov函数类的逼近特征，得出非线性Alexandroff $a_n\left(W,X\right)$ 宽度和非线性Alexandroff ${\delta }_n\left(W,X\right)$ 宽度的精确渐进阶。本文继以上工作，研究无穷维序列空间在一致框架下的非线性manifold n-宽度 ${\delta }_n\left(W,X\right)$，并得到其精确渐进估计。

2. 预备知识

2.1. ${\delta }_n\left(W,X\right)$ 定义

设W是赋范线性空间X的有界子集，

W在X中的非线性manifold n-宽度 ${\delta }_n\left(W,X\right)$ 定义为：

${\delta }_n\left(W,X\right)=\underset{R,G}{\inf }\underset{x\in W}{\sup }\Vert x-R\left(G\left(x\right)\right)\Vert$

其中，下确界是取遍所有的连续映射

$G:W\to R^n$ 和 $R:R^n\to X$

2.2. $l_p$ 及 $l_p^m$ 的相关定义及性质

2.2.1. $l_p$ 定义

设 $1\le p\le \infty ,\forall x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，令

${\Vert x\Vert }_{l_p}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{n\ge 1}{\sup }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

$l_p=\left\{x{|\Vert x\Vert }_{l_p}<\infty \right\}$ 可知 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p}$ 为 $l_p$ 上的一个范数， $l_p$ 为Banach空间。

2.2.2. $l_p$ 具有以下性质

1) 任意的n，令 $e_n=\left(0,\cdots ,0,1,0,\cdots \right)$ ( $e_n$ 的第n个分量是1，其余分量是0)，则 $\left\{e_n\right\}$ 为 $l_p\left(1\le p<\infty \right)$ 的一个基。

2) $l_2$ 按照内积 $\langle x,y\rangle ={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_n{y}_n}$ 构成一Hilbert空间，且 $\left\{e_n\right\}$ 为其一组标准正交基，其中 $x=\left\{x_n\right\}$，$y=\left\{y_n\right\}\in l_2$。

3) $l_q\subset l_p,\left(1\le q<p\le \infty \right)$

$l_p\not\subset l_q,\left(1\le q<p\le \infty \right)$

对于 $1\le p\le \infty ,r>0,x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in l_p$，令

$x^r:={\left\{n^r{x}_n\right\}}_{n=1}^{\infty },{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}={\Vert x^{\left(r\right)}\Vert }_{l_p}$

及

$l_{p,r}:=\left\{x\in l_p|{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}<\infty \right\}$

易见 ${\Vert •\Vert }_{l_{p,r}}$ 为 $l_{p,r}$ 上的范数，同时 $l_{p,r}$ 为Banach空间。 $B_{p,r}$ 为 $l_{p,r}$ 中单位球。

令 $1\le q<p\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，(当 $p=\infty$ 时，令 $\frac{1}{p}=0$ )。

对 $\forall x=\left\{x_n\right\}\in l_{p,r}$ 由holder不等式有：

${\Vert x\Vert }_{l_q}\le \{\begin{array}{l}{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{\frac{pr}{p-q}}}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}<\infty ,1\le q<p<\infty \\ {\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-rq}}\right)}^{\frac{1}{q}}<\infty ,p=\infty \end{array}$

则有 $x\in l_q$。于是无穷维序列空间( $1\le q<p\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ ) $\begin{array}{l}{I}_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\\ x\mapsto x\end{array}$ 有界。

2.2.3. $l_p^m$ 的定义

设 $1\le p\le \infty ,x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)\in R^m$，

${\Vert x\Vert }_{l_p^m}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{m}{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{1\le n\le m}{\max }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

则 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 为 $R^m$ 上的范数， $l_p^m$ 为 $R^m$ 依范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 所构成的Banach空间。

$B_p^m$ 表示 $l_p^m$ 的单位球。 ${\left\{{e^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^m$ 为 $l_p^m$ 的基， ${e^{\prime }}_n=\left(0,\cdots ,0,1,0,\cdots \right)\in R^m$ (第n个分量是1，其余分量是0)。

3. 相关符号

1) $c_i,i=\left(0,\text{1},\cdots \right)$ 表示非负常数，其仅与参数 $p,q,r$ 有关；

2) 正函数 $a\left(y\right)$ 和 $b\left(y\right)$，$y\in D$，如果存在正常数 $c_1$ 满足条件 $a\left(y\right)\le c_{1}b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$，若存在正常数 $c_2$ 满足条件 $c_{2}a\left(y\right)\ge b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$ ；

3) 若 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$ 且 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\succ \prec b\left(y\right)$。

4. 引理

4.1. [8] [9] [10] 若 $1\le p<q\le \infty$ 且 $m>n$ 则有

${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)\succ \prec \{\begin{array}{l}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}},p<q\\ {\left(m-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}},p>q\end{array}$

4.2. 离散化引理

对 $\forall k\in N$，记 $N=\left\{1,2,\cdots \right\},S_k=\left\{n\in N|2^{k-1}\le n\le 2^k\right\}$。则对任意的 $k,k^{\prime }\in N$，且 $k\ne k^{\prime }$ 有 $S_k\cap S_{k^{\prime }}=\varnothing ,N={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{S}_k}$。用 $m_k$ 表示 $S_k$ 中元素的个数，则 $m_k=\left|S^k\right|=2^{k-1}$。

以下我们总是假设 $1\le p<\infty$。则 $e_n$ 为 $l_p\left(1\le p<\infty \right)$ 的Schauder基。从而对 $\forall x\in \left\{x_n\right\}\in l_p$，有 $x={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_n{e}_n}$。

对 $k\in N$ 记 $F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}$，则 $\dim F_k=m_k=2^{k-1}$。

令 $I_k:=F_k\to R^{m_k}$

$x={\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{x}_n{e}_n}\mapsto {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{x}_{2^{k-1}+j-1}}{e^{\prime }}_{2^{k-1}+j-1}$

则对 $\forall x={\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{x}_n{e}_n}\in F_k$ 有

${\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}={\left({{\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }\left|n^r{x}_n\right|}}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\succ \prec {\left({{\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }\left|2^{rk}{x}_n\right|}}^p\right)}^{\frac{1}{p}}=2^{rk}{\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}=2^{rk}{\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$ (1)

且

${\Vert x\Vert }_{l_p}={\left({\displaystyle \underset{n\in S_k}{\sum }{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}={\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$ (2)

因此 $I_k$ 为 $l_p\cap F_k$ 到 $l_p^{m_k}$ 上的等距同构映射。

4.2.1. 上界的离散化定理

设 $1\le q<p\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$。 ${\left\{n_k\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 是非负的整数序列，且 $0\le n_k\le m_k$，${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n$。则 ${\delta }_{n_k}\left(B_{p,r},l_q\right)\ll {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{\delta }_{nk}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)}$。

证明：

由(1)得 $\forall x\in B_{l_{p,r}}\cap F_k$ 有 $1\ge {\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\succ \prec 2^{rk}{\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}}$，

对 $\forall y\in F_k$ 由(2)得 ${\Vert y\Vert }_{l_q}={\Vert I_{k}y\Vert }_{l_p^{m_k}}$，

于是 ${\delta }_{n_k}\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)\ll 2^{-rk}{\delta }_{nk}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$。

由非线性n宽度定义可见存在连续映射：

$G_k:B_{p,r}\cap F_k\to R^{n_k}$ 和 $R_k:R^{n_k}\to l_q\cap F_k$，且 $\dim \left(R_k\circ G_k\right)\le n_k$，

使得任意的 $x\in B_{p,r}\cap F_k$，有

$\underset{G_k,R_k}{\inf }{\Vert x-R_k\left(G_k\left(x\right)\right)\Vert }_{l_q}\le {\delta }_{n_k}\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)$ (3)

现规定： $Gx:={\left\{G_k\left({\delta }_{k}x\right)\right\}}_{k\in N}$

$R_x:={\left\{R_k{x}^k\right\}}_{k\in N},x={\left\{x^k\right\}}_{k\in N},x^k\in R^{n_k}$.

定义连续映射：

$G:B_{p,r}\to R^n$ 和 $R:R^n\to l_q$

有 $\dim R\circ G\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\dim R_k}\circ G_k\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n$

对 $\forall$ 的 $x\in B_{p,r}$ 根据 $R\circ G$ 的定义和(3)有

$\begin{array}{c}\underset{G_k,R_k}{\inf }{\Vert x-R_k\left(G_k\left(x\right)\right)\Vert }_{l_q}\le \underset{G,R}{\inf }{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\Vert {\delta }_{k}x-{\delta }_{k}R\left(G\left(x\right)\right)\Vert }}_{l_q}\\ ={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\underset{G_k,R_k}{\inf }}{\Vert {\delta }_{k}x-R_k\left(G_k\left(x\right)\right)\Vert }_{l_q}\\ \le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }_{n_k}}\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)\\ \le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\end{array}$

即得到定理上界的离散化定理。

4.2.2. 下界的离散化定理

$1\le q<p<\infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p},n=0,1,2,\cdots$

有 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-rk}{\delta }_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$，其中 $n\succ \prec 2^k\ge 2^n$。

证明：由 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)$ 定义得 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg {\delta }_n\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_K\right)$

对 $\forall x\in B_p^{m_k}$，由(1)得 $1\ge {\Vert x\Vert }_{l_p^{m_k}}\ge 2^{rk}{\Vert I_k^{-1}x\Vert }_{l_{p,r}}$

对 $\forall y\in l_q^{m_k}$，则由(2)得 ${\Vert y\Vert }_{l_q^{m_k}}={\Vert I_k^{-1}y\Vert }_{l_q}$。

${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg {\delta }_n\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\cap F_k\right)\gg 2^{-rk}{\delta }_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)$

5. 结论的证明

5.1. $1\le q<p\le \infty$

首先构造序列，对 $\forall k\in N$，令 $k^{\prime }=\left[\lg n\right]$，

$n_k=\{\begin{array}{l}{m}_{k}1\le k<k^{\prime }\\ 2^{k^{\prime }}\cdot 2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}k\ge k^{\prime }\end{array}$

则 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{k^{\prime }}{\sum }}{2}^k}+{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{k^{\prime }}\cdot 2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}}\ll n$。其中， $0<\beta <1$，则有 $\left\{n_k\right\}$ 满足引理4.2.1上界的离散化定理的条件。

所以由引理4.1有限维非线性空间 ${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)$ 及上界的离散化定理4.2.1，且当 $m=n$ 时， ${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)=0$ 及 $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$。

现给出 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)$ 的上界估计：

$\begin{array}{c}{\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{k^{\prime }}{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)+{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\\ ={\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\left(m_k-n_k\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\left(2^k-2^{k^{\prime }}\cdot 2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{\left(2^k\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k}}\ll 2^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k^{\prime }}\ll n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

现估计 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)$ 的下界：

由 $S_k=\left\{n\in N|2^{k-1}\le n\le 2^k\right\}$ 及 $F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}$ 知，存在一个正常数 $k_1$，使得 $n\succ \prec 2^{k_1}=m_{k_1}\gg 2n$。

由引理4.1有限维非线性空间 ${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)$ 及下界的离散化定理44.2.2得

$\begin{array}{c}{\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-rk}{\delta }_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\gg 2^{-r{k}_1}{\delta }_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\\ \gg 2^{-r{k}_1}{\left(m_{k_1}-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg 2^{-r{k}_1}{\left(2n-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\\ \gg 2^{-r{k}_1}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg {\left(2^{k_1}\right)}^{-r}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

综上，当 $1\le q<p\le \infty$ 时 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\succ \prec n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}$。

5.2. $1\le p<q\le \infty$

同5.1构造 $k^{\prime }$ 使得 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{k^{\prime }}{\sum }}{2}^k}+{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{k^{\prime }}\cdot 2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}}\ll n$。其中， $0<\beta <1$，则有 $\left\{n_k\right\}$ 满足引理4.2.1上界的离散化定理的条件。

所以由引理4.1有限维非线性空间 ${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)$ 及上界的离散化定理4.2.1，且当 $m=n$ 时， ${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)=0$ 及 $r>0$，则有 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)$ 的上界估计：

$\begin{array}{c}{\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{k^{\prime }}{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)+{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\\ ={\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\delta }_{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\left(n_k\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\ll {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}}{\left(2^{k^{\prime }}\cdot 2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\\ \ll {{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}\left(2^k\right)}}^{-r}{\left(2^{k^{\text{'}}}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{\left(2^{\beta \left(k^{\text{'}}-k\right)}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\ll {\left(2^{k^{\prime }}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(2^k\right)}^{-r}}{\left(2^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\\ \ll 2^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k^{\prime }}\ll n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

接下来估计 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)$ 的下界：

由 $S_k=\left\{n\in N|2^{k-1}\le n\le 2^k\right\}$ 及 $F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}$ 知，同样存在一个正常数 $k_1$，使得 $n\succ \prec 2^{k_1}$。

由引理4.1有限维非线性空间 ${\delta }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)$ 及下界的离散化定理4.2.2得

$\begin{array}{c}{\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-rk}{\delta }_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\gg 2^{-r{k}_1}{\delta }_n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\\ \gg 2^{-r{k}_1}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg {\left(2^{k_1}\right)}^{-r}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

综上，当 $1\le p\le q\le \infty$ 时 ${\delta }_n\left(B_{p,r},l_q\right)\succ \prec n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}$。

基金项目

2020年“西华杯”大学生创新创业项目2020108。

文章引用

贺小航,赵家锐. 无穷维序列空间的非线性宽度
Nonlinear Width of an Infinite-Dimensional Sequence Space[J]. 应用数学进展, 2021, 10(04): 871-877. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.104095

参考文献