西华大学理学院，四川 成都

收稿日期：2023年12月8日；录用日期：2023年12月28日；发布日期：2024年2月29日

摘要

区间值直觉模糊集能够很好的描述不确定性问题，被广泛的应用于决策问题。区间值直觉模糊熵是区间值直觉模糊集理论中的一个重要工具，一方面可以度量一个模糊集的模糊程度，另一方面在决策问题中可以用来确定属性权重，或者直接进行决策。现存的区间值直觉模糊熵存在一些缺陷，有的出现了违反直觉的情况，有的只满足某些特定的公理化要求，有的形式太过复杂。为了克服现存的区间值直觉模糊熵的缺陷，本文提出了一个新的区间值直觉模糊熵，证明其满足了公理化定义并得到了一些推论。最后通过实例与一些现存的区间值直觉模糊熵进行比较，说明了新的区间值直觉模糊熵在应用方面的有效性和优越性。

关键词

区间值直觉模糊集，熵

A New Entropy for Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Set

Miaofeng Wu, Zichun Chen, Jiaqi Yuan

Department of Mathematic, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: Dec. 8^th, 2023; accepted: Dec. 28^th, 2023; published: Feb. 29^th, 2024

ABSTRACT

Interval-valued intuitionistic fuzzy set can describe the uncertainty problem well and is widely used in decision-making problems. Interval intuitionistic fuzzy entropy is an important tool in the theory of interval intuitionistic fuzzy sets, which can measure the degree of ambiguity of a fuzzy set, and can be used to determine attribute weights or make decisions directly in decision-making problems. The existing interval-valued intuitionistic fuzzy entropy has some defects, some of which are counterintuitive, some of which only meet certain axiomatic requirements, and some of which are too complex. In order to overcome the shortcomings of the existing interval-valued intuitionistic fuzzy entropy, this paper proposes a new interval-valued intuitionistic fuzzy entropy, which proves that it satisfies the axiomatic definition and obtains some inferences. Finally, an example is compared with some existing interval intuitionistic fuzzy entropy, which illustrates the effectiveness and superiority of the new interval-valued intuitionistic fuzzy entropy in application.

Keywords:Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Set, Entropy

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1. 引言

为了表达现实生活中的不确定性信息，美国学者Zadeh [1] 提出了模糊集(Fuzzy set, FS)理论，很快便得到了广泛地应用。为了能够更好地表达不确定性信息，Atanassov [2] 将模糊集推广到了直觉模糊集领域，他定义了隶属度函数和非隶属度函数，对论域中的每个元素在[0, 1]之间来赋值，分别表示元素对模糊集的属于和不属于程度。然而，直觉模糊集在处理模糊信息时也存在一些不足。例如专家由于知识结构的原因，对于一个元素属于和不属于的程度不能用一个准确的数字来评价。于是，Atanassov和Gargov [3] 在1989年将直觉模糊集和区间值模糊集结合起来，提出了区间值直觉模糊集的概念。每个元素对模糊集的隶属度和非隶属度不再是一个精确的数字，而是一个[0, 1]之间的区间。当一个区间值模糊集的隶属度和非隶属度的左右区间相等时，它就退化成了一个直觉模糊集。接着，Atanassov [4] 又提出了区间值直觉模糊集的一些基础性质和运算法则。随着区间值直觉模糊集的提出，吸引了大量的学者对它进行研究。由于区间值直觉模糊集在表达和处理模糊信息方面的优越性，被广泛应用于聚类分析、模式识别、医疗诊断，决策，群决策等问题之中。

熵测度是模糊集理论中的一个重要测度，它在度量模糊集的模糊性方面有着良好的表现。1968年，Zadeh [5] 首次提出了模糊熵的概念，紧接着DeLuca和Termini [6] 于1972年模糊熵应遵守的公理化定义。随着模糊集的推广，Burillo和Bustince [7] 在1996年首次引入了直觉模糊熵的概念并得到了广泛的发展。Szmidt和Kacprzyk [8] 在2001年提出了关于直觉模糊熵的公理化定义并进行了扩展。为了度量区间值直觉模糊集的模糊性，Liu等人 [9] 于2005年首次提出了区间值直觉模糊熵的公理化定义并构造了一个全新的区间值直觉模糊熵函数。通过对DeLuca和Termini所提出的熵的公理化定义进行推广，Zhang等人 [10] 提出了区间值直觉模糊熵的新概念，并发展了一组新的熵公式。紧接着，Gao和Wei [11] 、Jin等人 [12] 分别构造了多种区间值直觉模糊熵。

更多的，熵测度在决策问题中有着重要的作用，它可以用来确定属性权重，还可以进行决策。Zhang等人 [13] 提出了区间值直觉模糊交叉熵，并讨论了他们在模式识别和决策中的应用。Chen等人 [14] 构造了区间值直觉模糊环境下的熵测度并应用于火力配置问题。同年，Ye [15] 利用区间值直觉模糊熵定义了新的加权相关系数，能够处理未知权重下的多属性模糊决策问题。Wei等人 [16] 推导出了区间值直觉模糊环境下的广义熵测度，新的区间值直觉模糊熵测度是对Szmidt和Kacprzyk、Wang和Lei [17] 以及Huang [18] 提出的直觉模糊熵的推广，通过新的区间值直觉模糊熵构造出了新的区间值直觉模糊相似度，并提出了基于新的区间值直觉模糊相似度的多属性决策方法。Ohlan等人 [19] 利用区间面积来构造提出了一种新的广义的区间值直觉模糊熵，通过对比说明了新的熵测度更加有效和灵活。Li [20] 利用指数函数研究了区间值直觉模糊环境下的熵和距离测度，提出了新的熵测度和距离测度以及一种基于加权指数熵测度的多准则决策方法。Li [21] 提出了一种基于J散度的区间值直觉模糊集参数交叉熵度量方法，应用于未知专家权重的多属性群决策之中。

在阅读区间值直觉模糊熵的相关文献和研究时，我们发现现存的区间值直觉模糊熵存在一些缺陷，出现了反直觉，形式太过复杂等问题。因此，本文提出了一种新的区间值直觉模糊熵，验证了其满足广义的区间值直觉模糊熵的公理化定义，接着对其进行了推广并做了验证。以后，通过几个实例，将其与一些现存的区间值直觉模熵进行比较，说明其优越性和有效性。

2. 预备知识

定义 1 [1] 设Z是一个非空有限集合，那么 $\hat{A}=\left\{\langle z,m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)\rangle |z\in Z\right\}$ 是Z上的一个模糊集(Fuzzy set, FS)， $m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)$ 叫做 $z$ 对于集合 $\hat{A}$ 的隶属度。其中 $m{u}_{\hat{A}}\left(z\right):Z\to \left[0,1\right]$ ，满足对任意 $z\in Z$ ， $0\le m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)\le 1$ 。

定义 2 [2] 设 $Z$ 是一个非空有限集合，那么 $\hat{A}=\left\{\langle z,m{u}_{\hat{A}}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right)\rangle |z\in Z\right\}$ 是 $Z$ 上的一个直觉模糊集(Intuitionistic fuzzy set, IFS)， $m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)$ 和 $m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right)$ 叫做 $z$ 对于集合 $\hat{A}$ 的隶属度和非隶属度。其中 $m{u}_{\hat{A}}\left(z\right):Z\to \left[0,1\right]$ ， $m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right):Z\to \left[0,1\right]$ ，满足对任意 $z\in Z$ ， $0\le m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)+m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right)\le 1$ 。对 $Z$ 中任意一个IFS $\hat{A}$ ，称 $m{\pi }_{\hat{A}}\left(z\right)=1-m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right)$ 为 $z$ 对于集合 $\hat{A}$ 的犹豫度。

定义3 [3] 设设 $Z$ 是一个非空有限集合，那么 $\hat{A}=\left\{\langle z,m{u}_{\hat{A}}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right)\rangle |z\in Z\right\}$ 是 $Z$ 上的一个区间值直觉模糊集(Interval-valued intuitionistic fuzzy set, IvIFS)，其中 $m{u}_{\hat{A}}\left(z\right)=\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)\right]$ ， $m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z\right)=\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\right]$ $\in \left[0,1\right]$ 分别叫做 $z$ 对于集合 $\hat{A}$ 的隶属度和非隶属度。对任意 $z\in Z$ ，满足 $0\le m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)+m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\le 1$ 。特别的当 $m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right)=m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)$ ， $m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right)=m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)$ 时，IvIFS $\hat{A}$ 退化为直觉模糊集。类似的 $m{\pi }_{\hat{A}}\left(z\right)=\left[1-m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right),1-m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right)\right]$ 叫做 $z$ 对于集合 $\hat{A}$ 的犹豫度。

定义 4 [4] 设 $\hat{A}=\left\{\langle z,\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\right]\rangle |z\in Z\right\}$ 和

$\hat{B}=\left\{\langle z,\left[m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)\right]\rangle |z\in Z\right\}$ 是两个IvIFS，那么

(1) ${\hat{A}}^c=\left\{\langle z,\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\right],\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)\right]\rangle |z\in Z\right\}$ ;

(2) $\hat{A}\subseteq \hat{B}=\left\{\langle z,\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right)\le m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)\le m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)\right]\rangle \right\}$ ;

(3) $\hat{A}\cap \hat{B}=\left\{\langle \begin{array}{c}z,\left[\min \left\{m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right)\right\},min\left\{m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)\right\}\right],\\ \left[max\left\{m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right)\right\},max\left\{m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)\right\}\right]\end{array}\rangle |z\in Z\right\}$ ;

(4) $\hat{A}\cup \hat{B}=\left\{\langle \begin{array}{c}z,\left[\max \left\{m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right)\right\},\max \left\{m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)\right\}\right],\\ \left[\min \left\{\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right)\right\},\min \left\{m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)\right\}\right]\end{array}\rangle |z\in Z\right\}$

(5) $\hat{A}+\hat{B}=\left\{\langle \begin{array}{c}z,\left[\begin{array}{l}m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right)+m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right)-m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right)\cdot m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right),\\ m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)+m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)-m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)\cdot m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)\end{array}\right],\\ \left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right)\cdot m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\cdot m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)\right]\end{array}\rangle |z\in Z\right\}$

(6) $\hat{A}\cdot \hat{B}=\left\{\langle \begin{array}{c}z,\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z\right)\cdot m{u}_{\hat{B}L}\left(z\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z\right)\cdot m{u}_{\hat{B}R}\left(z\right)\right],\\ \left[\begin{array}{l}m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right)+m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z\right)\cdot m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z\right),\\ m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)+m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z\right)\cdot m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z\right)\end{array}\right]\end{array}\rangle |z\in Z\right\}$

定义5 [21] 一个实值函数 $\xi :IvIFS\left(Z\right)\to \left[0,1\right]$ 叫做区间值直觉模糊集的熵，如果满足以下条件：

(E1) $\xi \left(\hat{A}\right)=0$ 当且仅当 $\hat{A}$ 是一个清晰集；

(E2) 对任意 $z_i\in Z$ ， $\xi \left(\hat{A}\right)=1$ 当且仅当 $\left[m{\text{u}}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]$ ；

(E3) $\xi \left(\hat{A}\right)=\xi \left({\hat{A}}^c\right)$ ；

(E4) 对任意 $z_i\in Z$ ，若当 $\hat{A}\subseteq \hat{B}$ 时， $m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)$ 且 $m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ 或

当 $\hat{B}\subseteq \hat{A}$ 时， $m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)$ 且 $m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ ，都有 $\xi \left(\hat{A}\right)\le \xi \left(\hat{B}\right)$ ，则称 $\xi \left(\hat{A}\right)$ 为IvIFS $\hat{A}$ 的熵。

3. 新的区间值直觉模糊熵

3.1. 背景

1998年，Borland等人 [22] 定义了一个 $\alpha$ 阶的概率熵，如下：

设 $\Delta n=\left\{n=\left(n_1,n_2,\cdots ,n_{\text{m}}\right)|{\displaystyle {\sum }_{k=1}^m{n}_k=1}\right\}$ 是一个概率分布， $B_{\alpha }$ 是一个概率熵。

$B_{\alpha }=k{\displaystyle \underset{l}{\sum }\frac{n_l^{\alpha }\left(1-n_l^{1-\alpha }\right)}{\left(1-\alpha \right)}}=k{\displaystyle \underset{l}{\sum }\frac{n_l-n_l^{\alpha }}{\alpha -1}}$ 。

在2019年，Singh和Sharma [23] 将Borland的熵推广到了模糊集中并得到了一个新的模糊熵 $H^{\alpha }\left(\hat{A}\right)$ 。

$H^{\alpha }\left(\hat{A}\right)=\frac{1}{n\alpha }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[{\text{mu}}_{\hat{A}}\left(z_i\right)\left(1-m{u}_{{}_{\hat{A}}}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)\right]+\left[\left(1-m{u}_{\hat{A}}\left(z_i\right)\right)\left(1-{\left(1-m{u}_{\hat{A}}\left(z_i\right)\right)}^{\alpha }\right)\right]};\alpha \ne 0$ ，

其中 $\hat{A}$ 是一个FS。

到2021年，Singh和Sharma [24] 又将该模糊熵进一步推广到了直觉模糊环境中，得到一个新的直觉模糊熵 ${\epsilon }^{\alpha }\left(\hat{A}\right)$ 。

$\begin{array}{c}{\epsilon }^{\alpha }\left(\hat{A}\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}m{u}_{\hat{A}}\left(z_i\right)\left(1-m{u}_{\hat{A}}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)+m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z_{\text{i}}\right)\left(1-m{\upsilon }_{\widehat{{}_A}}^{\alpha }\left(z_{\text{i}}\right)\right)}\\ -m{u}_{\hat{A}}\left(z_i\right)\left(1-m{\upsilon }_{{}_{\hat{A}}}^{\alpha }\left(z_{\text{i}}\right)\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z_{\text{i}}\right)\left(1-m{u}_{{}_{\hat{A}}}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)+1,\\ \alpha >0\end{array}$ (1)

其中 $\hat{A}$ 是一个IFS。

参考Singh和Sharma的方法，我们将在区间值直觉模糊环境中对该熵测度进一步推广。

3.2. 新的熵及其证明

首先，将(1)式进行变换得到

${\epsilon }^{\alpha }\left(\hat{A}\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}1-\left(m{u}_{\hat{A}}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}}\left(z_i\right)\right)}\left(m{u}_{{}_{\hat{A}}}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{{}_{\hat{A}}}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)$ (2)

再将(2)式中的直觉模糊熵 $$ 推广到区间值直觉模糊集中，得到下式

$\begin{array}{c}{\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)=\frac{1}{\text{n}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}1-\left[\begin{array}{l}\theta \left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)\\ +\left(1-\theta \right)\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)\end{array}\right]}\\ \alpha >0,\beta >0,\theta \in \left(0,1\right).\end{array}$ (3)

其中 $\hat{A}$ 是一个IvIFS。

定理1设 $\hat{A}$ 是一个IvIFS，那么(3)式中的熵 ${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 是一个有效的区间值直觉模糊熵。

证明：验证 ${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 是否满足定义(5)中的四个条件(E1-E4)。

(E1) 当 $\hat{A}=\left\{z_i,\langle \left[1,1\right],\left[0,0\right]\rangle |z_i\in Z\right\}$ 或者 $\hat{A}=\left\{z_i,\langle \left[0,0\right],\left[1,1\right]\rangle |z_i\in Z\right\}$ 时。由(3)式可得 $$ 。当 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)=0$ 时，对任意 $z_i\in Z$ ，有

$\frac{1}{\text{n}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}1-\left[\begin{array}{l}\theta \left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)+\\ \left(1-\theta \right)\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)\end{array}\right]}=0$ ，

$\begin{array}{l}\theta \left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)+\\ \left(1-\theta \right)\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)=1\end{array}$ 。

$\left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)=1$ (4)

$\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)=1$ (5)

因为 $\alpha >0$ ， $\beta >0$ ，要使(4~5)成立，则对任意 $z_i\in Z$ ，有

$\left[m{u}_{\hat{A}L}\left({\text{z}}_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[0,0\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[1,1\right]$ ，

或者

$\left[m{u}_{\hat{A}L}\left({\text{z}}_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[1,1\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[0,0\right]$ 。

于是 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)=0$ 当且仅当 $\left(\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]\right)=\left(\left[1,1\right],\left[0,0\right]\right)$ 或者 $\left(\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right],\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]\right)=\left(\left[0,0\right],\left[1,1\right]\right)$ 。(E1)得证。

(E2) 假设 $\hat{A}$ 是一个IvIFS具有相等的隶属度和非隶属度，由(3)式可得 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)=1$ 。

现在假设 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)=1$ ，那么对任意 $z_i\in Z$ ，有

$\frac{1}{\text{n}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}1-\left[\begin{array}{l}\theta \left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)+\\ \left(1-\theta \right)\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)\end{array}\right]}=1$ ，

$\begin{array}{l}\theta \left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)+\\ \left(1-\theta \right)\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)=0\end{array}$ ，

$\left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)=0$ 。

$\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)=0$ 。

可得 $\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]$ 。于是 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)=1$ 当且仅当 $\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]=\left[m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]$ 。(E2)得证。

(E3) 由定义(4)可知

${\hat{A}}^c=\left\{\langle z_i,\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right],\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),{\text{mu}}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z\right\}$ 。

因为 $\alpha >0$ ， $\beta >0$ ，显然

$\left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}{}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}{}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)=\left(m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)$ 。

$\left(m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)=\left(m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)$ 。

于是可得 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)={\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left({\hat{A}}^c\right)$ 。

(E4) 设 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 是两个IvIFS，当 $\hat{A}\subseteq \hat{B}$ 时，由定义(4)可得

$m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\le m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\le m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\ge \text{m}{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\ge \text{m}{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ 。

如果 $m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ ，有 $m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\le m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)$ ， $m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\le m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)$ ，那么可得

$\left(m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)\ge \left(m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{B}L}^{\alpha }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{B}L}^{\alpha }\left(z_i\right)\right)$ (6)

$\left({\text{mu}}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{A}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)\ge \left(m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right)\left(m{u}_{\hat{B}R}^{\beta }\left(z_i\right)-m{\upsilon }_{\hat{B}R}^{\beta }\left(z_i\right)\right)$ (7)

于是就有 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)\le {\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{B}\right)$ 。

同理，当 $\hat{B}\subseteq \hat{A}$ 时，如果 $m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)$ , $m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ ，就可得 $m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\ge m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)$ ， $m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\ge m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)$ 。显然，(6~7)式也成立，也有 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)\le {\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{B}\right)$ 。

综上，对任意 $z_i\in Z$ ，，当 $\hat{A}\subseteq \hat{B}$ 时， $m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)$ 且 $m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\le m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ 或当 $\hat{B}\subseteq \hat{A}$ 时， $m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right)$ 且 $m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\ge m{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)$ ，都有 $\xi \left(\hat{A}\right)\le \xi \left(\hat{B}\right)$ 。(E4)得证。

由上述证明可得， ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 是一个有效的区间值直觉模糊熵。

接下来，我们对新的区间值直觉模糊熵做一些推广，证明其满足以下条件。

定理2设 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 是定义在 $Z=\left\{z_1,z_2,\cdots ,z_n\right\}$ 中的两个IvIFS，其中

$\hat{A}=\left\{\langle z_i,\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right],\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z\right\}$ ，

$\hat{B}=\left\{\langle z_i,\left[m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right],\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z\right\}$ ，

满足对任意 $z_i\in Z$ 都有 $\hat{A}\subseteq \hat{B}$ 或 $\hat{A}\supseteq \hat{B}$ ，则 ${\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}(\hat{A}\cup \hat{B})+{\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}(\hat{A}\cap \hat{B})={\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{A}\right)+{\xi }^{\left(\alpha ，\beta \right)}\left(\hat{B}\right)$ 。

证明：首先将 $Z$ 分成 $Z_1$ ， $Z_2$ 两部分， $Z_1=\left\{z_i\in Z:\hat{A}\subseteq \hat{B}\right\}$ ， $Z_2=\left\{z_i\in Z:\hat{A}\supseteq \hat{B}\right\}$ ，由定义(4)可得，对任意 $z_i\in Z_1$ ，有

$\hat{A}\cup \hat{B}=\left\{\langle z_i,\left[m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right],\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z_1\right\}$ ，

${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cup \hat{B}\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{B}\right)$ 。

$\hat{A}\cap \hat{B}=\left\{\langle z_i,\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right],\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z_1\right\}$ ，

${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cap \hat{B}\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 。

同时对任意 $z_i\in Z_2$ ，有

$\hat{A}\cup \hat{B}=\left\{\langle z_i,\left[m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right],\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z_2\right\}$ ，

${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cup \hat{B}\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 。

$\hat{A}\cap \hat{B}=\left\{\langle z_i,\left[m{u}_{\hat{B}L}\left(z_i\right),m{u}_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right],\left[\text{m}{\upsilon }_{\hat{B}L}\left(z_i\right),\text{m}{\upsilon }_{\hat{B}R}\left(z_i\right)\right]\rangle |z_i\in Z_2\right\}$ ，

${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cap \hat{B}\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{B}\right)$ 。

综上可得 ${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cup \hat{B}\right)+{\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cap \hat{B}\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)+{\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{B}\right)$ 。

推论1设 $\hat{A}$ 和 ${\hat{A}}^c$ 都是IvIFS，由定理2可得

${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cup {\hat{A}}^c\right)+{\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cap {\hat{A}}^c\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left({\hat{A}}^c\right)+{\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 。

${\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cup {\hat{A}}^c\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\cap {\hat{A}}^c\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left({\hat{A}}^c\right)={\xi }^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(\hat{A}\right)$ 。

4. 关于新的熵的比较分析

为了更好的进行比较分析，我们例举了如下几个区间值直觉模糊熵。

4.1. 一些现存的熵

(1) Wei等人 [21] 提出的区间值直觉模糊熵：

${\xi }_W\left(\hat{A}\right)=\frac{1}{\text{n}}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\min \left\{m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right\}+\min \left\{m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right\}+m{\pi }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)+m{\pi }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)}{\max \left\{m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)\right\}+\max \left\{m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right),m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)\right\}+m{\pi }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)+m{\pi }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)}}$ 。

(2) Zhang等人 [25] 提出的区间值直觉模糊熵：

${\xi }_Z\left(\hat{A}\right)=1-\frac{1}{2n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[\left|m{u}_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-\frac{1}{2}\right|+\left|m{u}_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-\frac{1}{2}\right|+\left|m{\upsilon }_{\hat{A}L}\left(z_i\right)-\frac{1}{2}\right|+\left|m{\upsilon }_{\hat{A}R}\left(z_i\right)-\frac{1}{2}\right|\right]}$ 。